统计学的基础知识分解
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率或平均规模。
某种转基因鱼不同世代鱼群保种的规
模分别为：F0代200尾，F1代400尾，F2 代600尾；F3代900尾，F4代1500尾，试
求其平均规模。
1 1 H 1 1 1 457 1 1 1 1 0.00219 5 ( 200 400 600 900 1500 ) 5 (0.0109) 1
均数、中位数、众数三者关系
正态分布时： 均数＝中位数＝众数 正偏态分布时：均数>中位数>众数 负偏态分布时：均数<中位数<众数
5、调和平均数
资料中各观测值 倒数 的 算术平均数 的 倒数，称为 调和平均数，记为H，即
H
1
1 n 1 ( x1
1 x2
1 xn )
1 n
1
1 x
调和平均数主要用于反映变量不同阶段的平均增长
误差：试验中不可控因素所引起的实际观察值 与客观真实值（真值）之差 系统误差 systematic error 随机误差 random error 错误：试验过程中，人为作用引起的差错 如药品称量错误，数据录入错误等
误差（Error）
测量值 = 真值 + 随机误差 +非随机误差 Xi = i + i
第二节 计量资料的统计描述
连续型变量（可测量的变量）
一．频数表与频数分布
二．平均指标（算术均数、几何均数、中位 数、众数） 三．变异指标（极差、百分位数与四分位间 距、方差、标准差、变异系数）
一、频数表与频数分布 (frequency table and frequency distribution)
1. 均数（mean）
X 1 X 2 X n X X n n
f1 X 1 f 2 X 2 f 3 X 3 f k X k f i X i X f1 f 2 f 3 f k f i
适用条件：资料呈正态或近似正态分布的资料
2. 几何均数（geometric mean）
2
2
n
n 1
4.标准差
标准差 （Standard deviation, Std, SD）即方差 的正平方根；其单位与原变量X的单位相同。 总体标准差
2 ( X )
N
样本标准差S
(X X ) X X ∑ ＝
2 2
2
n
n 1
n 1
样本方差为什么要除以（n－1）
统计学是收集、分析、解释与报告 数据资料的一门科学。
第一节 统计学的一些基本概念
1. 总体与样本
2. 变量与随机变量
3. 同质与变异 4. 参数与统计量 5. 误差与错误 6. 准确性与精确性
1. 总体与样本 Population and sample
总体：根据研究目的确定 的同质研究对象的全体(集 合)。如成年人的身高。 分有限总体与无限总体 样本：从总体中随机抽取 的部分观察单位。如某单 位男士的身高
中位数计算公式与实例
先将观察值按从小到大顺序排列，再按 以下公式计算：
x( n1) / 2 Md xn / 2 x1 n / 2 2
n为奇数 n为偶数
特点：仅仅利用了中间的1～2个数据
例 随机抽查了9名中学生某月的到校天 数分别为12，13，14， 14， 15， 15， 15， 17, 19天，求其中位数。
4. 参数与统计量 Parameter and statistic
参数：总体的统计指标，
总体
参 数
抽样
样本
如总体均数、标准差，采 用希腊字母分别记为μ、
推断
统计量
σ。通常是固定的常数。
统计量：样本的统计指标，如样本均数、标准差，采用拉 丁字母分别记为
X、S
。 参பைடு நூலகம்附近波动的随机变量 。
5. 误差与错误 Error and mistake
抽样与推断
从总体中得到样本的方法：抽样。 （抽样方法与样本量） 从样本推论总体的方法：统计推断 （区间估计，假设检验等）
2、变量与随机变量 Variable and random variable
变量——可以测量的任何特征或属性。 Any characteristic or attribute that can be measured。
精密度(precision) 、也称可靠度（reliability） 或重复性(repeatability）：重复观察时观察 值与其均值的接近程度，受随机误差的影响 （常用指标：一致百分率、Kappa值）。
准确度差、精密度好
准确度？精密度差
准确度和精密度都好
准确度和精密度都差
系统误差使数据偏离了其理论值，影响数据的准确度。 随机误差使数据相互分散，影响了数据的精密度。
160名正常成年女子的 血清甘油三酯（mmol/L）
编号 1 2 3 4 血清甘油三脂 0.51 0.52 0.59 0.61 编号 … 153 154 155 血清甘油三脂 … 1.65 1.66 1.67
5 6 7 8 …
0.61 0.62 0.63 0.64 …
156 157 158 159 160
预备内容：
统计学基础知识
统计学—statistics
“a science dealing with the collection, analysis, interpretation and presentation of masses of numerical data”. ----Webster 国际大辞典
二. 平均指标
总称为平均数（average）反映了资料的 集中趋势（central tendency）。常用的有： 1. 算术均数（arithmetic mean），简称 均数（mean） 2. 几何均数（geometric mean） 3. 中位数 （median） 4. 众数（mode） 5. 调和均数（harmonic mean） 6. 截尾平均值（5% trimmed mean）
与自由度（degrees of freedom）有关。 自由度是数学名词，在统计学中，n个数据如 不受任何条件的限制，则n个数据可取任意值，称 为有n个自由度。若受到k个条件的限制，就只有 （n－k）个自由度了。 例如一个有5个观察值的样本，因为受到统计 数 x 的约束，在5个离均差中，只有4个数值可以 在一定范围内自由变动取值，而第五个离均差必 _ 须满足 ( x x) 0 这一限制条件。
离均差和( x1 ) ( x2 ) ... ( xn ) ∑ ( X - ) 0 离均差平方和（Sum of square ）SS ∑ ( X - )2 总体方差 2
2 ( X ) ∑
N
2
样本方差S
2
(X X ) ∑ n 1
X X ＝
1. 极差（Range）（全距）
R X max X min
优点：简便
580 560 540 520 500
缺点：1. 只利用了两个
极端值
480 460 440 420
2. n大，R也会大
3. 不稳定
2. 百分位数与四分位数间距 Percentile and quartile range
Frequency
几种平均数之间的关系
对于同一资料：
算术平均数 > 几何平均数 > 调和平均数 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。
截尾平均值
5% trimmed mean：将一组数中去掉 最小的5％数值，再去掉最大的5％，然后 将剩余的90％计算平均值得出的数值。 减小了极端值的影响。
三. 变异（variation）指标
25% 75%
1.6m
1.8m
X
百分位数 ：数据从小到大排列，在百分尺度下， 所占百分比对应的值。记为Px。 四分位间距Quartile range：QR＝P75－ P25 四分位半间距Quartile deviation：QD＝QR/2
3. 方差
方差 （variance）也称均方差（mean square deviation），样本观察值的离均差平方 和的均值。表示一组数据的平均离散情况。
M X 91 X 5 15(天)
2
如果只调查了前八位中学生，则： M X 8＋X 8 2 （X 4＋X 5）2 （ 14＋15）2 14.5(天) ＋1 2 2
4. 众数（mode）
出现次数（或频数）最多的观 察值；在频数分布图中对应于高峰 所在位置的观察值。 适用于大样本；较粗糙。
X G n X1 X 2 X n
1 lg X G (lg X 1 lg X 2 lg X n ) n lg X 1 X G lg n
lg X
n
几何均数的适用条件与实例
适用条件：呈倍数关系的等比资料或对数正态 分布（正偏态）资料；如增长速度、抗体滴度资料 抗体的效价滴度的倒数分别为：10、100、 1000、10000、100000，求几何均数。
1．随机误差（抽样误差）：
影响因素众多，变化无方向性，不可避免，但可 用统计方法进行分析。 2．系统误差 受确定因素影响，大小变化有方向性。 偏差bias 3．非系统误差（错误） 可以避免 研究者偶然失误而造成的误差。
6. 准确性与精确性
准确度(accuracy)或真实性(validity)：观察值 与真值的接近程度，受系统误差的影响(常用 指标：如灵敏度、特异性)。
如热量值、蛋白质含量、碳水化合物含量。
随机变量——在概率论中称变量为随机 变量
3、变量（随机变量）的分类
离散型变量（discrete variable）： 计数资料（15，17，24，…）
连续性变量（continuous variable）： 计量资料（1.65, 1.73, 1.77，…） 有序变量（ordinal variable）： 等级资料（优、良、中、差）
1.67 1.69 1.7 1.71 1.77
组段 （1） 0.5～ 0.6～ 0.7～ 正 正正
划记 （2）
频数，f （3） 3 9 12
组中值，X （4） 0.55 0.65 0.75
0.8～
0.9～ 1.0～ 1.1～ 1.2～
正正
正正正 正正正 正正正正 正正正
13
17 18 20 18
0.85
0.95 1.05 1.15 1.25
1.3～
1.4～ 1.5～ 1.6～ 1.7～1.8 合计
正正正
正正 正 正
17
13 9 8 3
1.35
1.45 1.55 1.65 1.75
160
茎叶图
男子血清总胆固醇水平（mmol/L） Stem-and-Leaf Plot
Frequency 5.00 13.00 34.00 32.00 35.00 17.00 10.00 4.00 Stem width: Each leaf: Stem & Leaf 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 78999 0111222333444 5555555566666666777778888999999999 00000001111111222223333334444444 55555555566666666677777888888899999 00112222233333344 5555677899 0022 1.00 1 case (s)
反映数据的离散度（Dispersion ）。即 个体观察值的变异程度。常用的指标有：
1. 2.
3. 4. 5.
极差（Range） (全距) 百分位数与四分位数间距 Percentile and Quartile range 方差 Variance 标准差 Standard Deviation 变异系数 Coefficient of Variation
1 2 3 4 5 lg 10 lg 10 lg 10 lg 10 lg 10 1 X G lg 1000 5
此例的算术均数为22222，显然不能代表滴 度的平均水平。 对于同一资料，几何均数 < 均数
3. 中位数（median）
中位数是将一批数据从小至大排列后 位次居中的数据值，符号为Md，反映一批 观察值在位次上的平均水平。 适用条件：适合各种类型的资料。尤 其适合于 ① 大样本偏态分布的资料； ② 资料有不确定数值； ③ 资料分布不明等。
某种转基因鱼不同世代鱼群保种的规
模分别为：F0代200尾，F1代400尾，F2 代600尾；F3代900尾，F4代1500尾，试
求其平均规模。
1 1 H 1 1 1 457 1 1 1 1 0.00219 5 ( 200 400 600 900 1500 ) 5 (0.0109) 1
均数、中位数、众数三者关系
正态分布时： 均数＝中位数＝众数 正偏态分布时：均数>中位数>众数 负偏态分布时：均数<中位数<众数
5、调和平均数
资料中各观测值 倒数 的 算术平均数 的 倒数，称为 调和平均数，记为H，即
H
1
1 n 1 ( x1
1 x2
1 xn )
1 n
1
1 x
调和平均数主要用于反映变量不同阶段的平均增长
误差：试验中不可控因素所引起的实际观察值 与客观真实值（真值）之差 系统误差 systematic error 随机误差 random error 错误：试验过程中，人为作用引起的差错 如药品称量错误，数据录入错误等
误差（Error）
测量值 = 真值 + 随机误差 +非随机误差 Xi = i + i
第二节 计量资料的统计描述
连续型变量（可测量的变量）
一．频数表与频数分布
二．平均指标（算术均数、几何均数、中位 数、众数） 三．变异指标（极差、百分位数与四分位间 距、方差、标准差、变异系数）
一、频数表与频数分布 (frequency table and frequency distribution)
1. 均数（mean）
X 1 X 2 X n X X n n
f1 X 1 f 2 X 2 f 3 X 3 f k X k f i X i X f1 f 2 f 3 f k f i
适用条件：资料呈正态或近似正态分布的资料
2. 几何均数（geometric mean）
2
2
n
n 1
4.标准差
标准差 （Standard deviation, Std, SD）即方差 的正平方根；其单位与原变量X的单位相同。 总体标准差
2 ( X )
N
样本标准差S
(X X ) X X ∑ ＝
2 2
2
n
n 1
n 1
样本方差为什么要除以（n－1）
统计学是收集、分析、解释与报告 数据资料的一门科学。
第一节 统计学的一些基本概念
1. 总体与样本
2. 变量与随机变量
3. 同质与变异 4. 参数与统计量 5. 误差与错误 6. 准确性与精确性
1. 总体与样本 Population and sample
总体：根据研究目的确定 的同质研究对象的全体(集 合)。如成年人的身高。 分有限总体与无限总体 样本：从总体中随机抽取 的部分观察单位。如某单 位男士的身高
中位数计算公式与实例
先将观察值按从小到大顺序排列，再按 以下公式计算：
x( n1) / 2 Md xn / 2 x1 n / 2 2
n为奇数 n为偶数
特点：仅仅利用了中间的1～2个数据
例 随机抽查了9名中学生某月的到校天 数分别为12，13，14， 14， 15， 15， 15， 17, 19天，求其中位数。
4. 参数与统计量 Parameter and statistic
参数：总体的统计指标，
总体
参 数
抽样
样本
如总体均数、标准差，采 用希腊字母分别记为μ、
推断
统计量
σ。通常是固定的常数。
统计量：样本的统计指标，如样本均数、标准差，采用拉 丁字母分别记为
X、S
。 参பைடு நூலகம்附近波动的随机变量 。
5. 误差与错误 Error and mistake
抽样与推断
从总体中得到样本的方法：抽样。 （抽样方法与样本量） 从样本推论总体的方法：统计推断 （区间估计，假设检验等）
2、变量与随机变量 Variable and random variable
变量——可以测量的任何特征或属性。 Any characteristic or attribute that can be measured。
精密度(precision) 、也称可靠度（reliability） 或重复性(repeatability）：重复观察时观察 值与其均值的接近程度，受随机误差的影响 （常用指标：一致百分率、Kappa值）。
准确度差、精密度好
准确度？精密度差
准确度和精密度都好
准确度和精密度都差
系统误差使数据偏离了其理论值，影响数据的准确度。 随机误差使数据相互分散，影响了数据的精密度。
160名正常成年女子的 血清甘油三酯（mmol/L）
编号 1 2 3 4 血清甘油三脂 0.51 0.52 0.59 0.61 编号 … 153 154 155 血清甘油三脂 … 1.65 1.66 1.67
5 6 7 8 …
0.61 0.62 0.63 0.64 …
156 157 158 159 160
预备内容：
统计学基础知识
统计学—statistics
“a science dealing with the collection, analysis, interpretation and presentation of masses of numerical data”. ----Webster 国际大辞典
二. 平均指标
总称为平均数（average）反映了资料的 集中趋势（central tendency）。常用的有： 1. 算术均数（arithmetic mean），简称 均数（mean） 2. 几何均数（geometric mean） 3. 中位数 （median） 4. 众数（mode） 5. 调和均数（harmonic mean） 6. 截尾平均值（5% trimmed mean）
与自由度（degrees of freedom）有关。 自由度是数学名词，在统计学中，n个数据如 不受任何条件的限制，则n个数据可取任意值，称 为有n个自由度。若受到k个条件的限制，就只有 （n－k）个自由度了。 例如一个有5个观察值的样本，因为受到统计 数 x 的约束，在5个离均差中，只有4个数值可以 在一定范围内自由变动取值，而第五个离均差必 _ 须满足 ( x x) 0 这一限制条件。
离均差和( x1 ) ( x2 ) ... ( xn ) ∑ ( X - ) 0 离均差平方和（Sum of square ）SS ∑ ( X - )2 总体方差 2
2 ( X ) ∑
N
2
样本方差S
2
(X X ) ∑ n 1
X X ＝
1. 极差（Range）（全距）
R X max X min
优点：简便
580 560 540 520 500
缺点：1. 只利用了两个
极端值
480 460 440 420
2. n大，R也会大
3. 不稳定
2. 百分位数与四分位数间距 Percentile and quartile range
Frequency
几种平均数之间的关系
对于同一资料：
算术平均数 > 几何平均数 > 调和平均数 上述五种平均数，最常用的是算术平均数。
截尾平均值
5% trimmed mean：将一组数中去掉 最小的5％数值，再去掉最大的5％，然后 将剩余的90％计算平均值得出的数值。 减小了极端值的影响。
三. 变异（variation）指标
25% 75%
1.6m
1.8m
X
百分位数 ：数据从小到大排列，在百分尺度下， 所占百分比对应的值。记为Px。 四分位间距Quartile range：QR＝P75－ P25 四分位半间距Quartile deviation：QD＝QR/2
3. 方差
方差 （variance）也称均方差（mean square deviation），样本观察值的离均差平方 和的均值。表示一组数据的平均离散情况。
M X 91 X 5 15(天)
2
如果只调查了前八位中学生，则： M X 8＋X 8 2 （X 4＋X 5）2 （ 14＋15）2 14.5(天) ＋1 2 2
4. 众数（mode）
出现次数（或频数）最多的观 察值；在频数分布图中对应于高峰 所在位置的观察值。 适用于大样本；较粗糙。
X G n X1 X 2 X n
1 lg X G (lg X 1 lg X 2 lg X n ) n lg X 1 X G lg n
lg X
n
几何均数的适用条件与实例
适用条件：呈倍数关系的等比资料或对数正态 分布（正偏态）资料；如增长速度、抗体滴度资料 抗体的效价滴度的倒数分别为：10、100、 1000、10000、100000，求几何均数。
1．随机误差（抽样误差）：
影响因素众多，变化无方向性，不可避免，但可 用统计方法进行分析。 2．系统误差 受确定因素影响，大小变化有方向性。 偏差bias 3．非系统误差（错误） 可以避免 研究者偶然失误而造成的误差。
6. 准确性与精确性
准确度(accuracy)或真实性(validity)：观察值 与真值的接近程度，受系统误差的影响(常用 指标：如灵敏度、特异性)。
如热量值、蛋白质含量、碳水化合物含量。
随机变量——在概率论中称变量为随机 变量
3、变量（随机变量）的分类
离散型变量（discrete variable）： 计数资料（15，17，24，…）
连续性变量（continuous variable）： 计量资料（1.65, 1.73, 1.77，…） 有序变量（ordinal variable）： 等级资料（优、良、中、差）
1.67 1.69 1.7 1.71 1.77
组段 （1） 0.5～ 0.6～ 0.7～ 正 正正
划记 （2）
频数，f （3） 3 9 12
组中值，X （4） 0.55 0.65 0.75
0.8～
0.9～ 1.0～ 1.1～ 1.2～
正正
正正正 正正正 正正正正 正正正
13
17 18 20 18
0.85
0.95 1.05 1.15 1.25
1.3～
1.4～ 1.5～ 1.6～ 1.7～1.8 合计
正正正
正正 正 正
17
13 9 8 3
1.35
1.45 1.55 1.65 1.75
160
茎叶图
男子血清总胆固醇水平（mmol/L） Stem-and-Leaf Plot
Frequency 5.00 13.00 34.00 32.00 35.00 17.00 10.00 4.00 Stem width: Each leaf: Stem & Leaf 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 78999 0111222333444 5555555566666666777778888999999999 00000001111111222223333334444444 55555555566666666677777888888899999 00112222233333344 5555677899 0022 1.00 1 case (s)
反映数据的离散度（Dispersion ）。即 个体观察值的变异程度。常用的指标有：
1. 2.
3. 4. 5.
极差（Range） (全距) 百分位数与四分位数间距 Percentile and Quartile range 方差 Variance 标准差 Standard Deviation 变异系数 Coefficient of Variation
1 2 3 4 5 lg 10 lg 10 lg 10 lg 10 lg 10 1 X G lg 1000 5
此例的算术均数为22222，显然不能代表滴 度的平均水平。 对于同一资料，几何均数 < 均数
3. 中位数（median）
中位数是将一批数据从小至大排列后 位次居中的数据值，符号为Md，反映一批 观察值在位次上的平均水平。 适用条件：适合各种类型的资料。尤 其适合于 ① 大样本偏态分布的资料； ② 资料有不确定数值； ③ 资料分布不明等。