第三节 两个正态总体的假设检验

第三节 两个正态总体的假设检验

上一节介绍了单个正态总体的数学期望与方差的检验问题，在实际工作中还常碰到两个正态总体的比较问题.

1.两正态总体数学期望假设检验

（1） 方差已知，关于数学期望的假设检验（Z 检验法） 设X ~N (μ1,σ12），Y ~N （μ2，σ22），且X ，Y 相互独立，σ12与σ22已知，要检验的是

H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.(双边检验)

怎样寻找检验用的统计量呢？从总体X 与Y 中分别抽取容量为n 1，n 2的样本X 1，X 2，…，

1

n X 及Y 1，Y 2，…，2

n Y ，由于

2111~,X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝

⎭，2

222~,Y N n σμ⎛⎫

⎪⎝⎭，

E （X -Y ）=E （X ）-E （Y ）=μ1-μ2， D （X -Y ）=D （X ）+D （Y ）=

2

2

1

21

2

n n σσ+

，

故随机变量X -Y 也服从正态分布，即

X -Y ~N (μ1-μ2，

2

2

1

21

2

n n σσ+

).

从而

~N （0，1）.

于是我们按如下步骤判断.

（a ） 选取统计量 Z

， （8.16）

当H 0为真时，Z ~N （0，1）.

（b ） 对于给定的显著性水平α，查标准正态分布表求z α/2使

P {｜Z ｜＞z α/2}=α，或P {Z ≤z α/2}=1-α/2. （8.17） （c ） 由两个样本观察值计算Z 的观察值z 0：

z 0

x y

.

（d ） 作出判断：

若｜z 0｜＞z α/2，则拒绝假设H 0，接受H 1； 若｜z 0｜≤z α/2，则与H 0相容，可以接受H 0.

例8.7 A ，B 两台车床加工同一种轴，现在要测量轴的椭圆度.设A 车床加工的轴的椭

圆度X ~N （μ1，σ12），B 车床加工的轴的椭圆度Y ~N （μ2，σ22），且σ12=0.0006(mm 2)，σ22=0.0038(mm 2)，现从A ，B 两台车床加工的轴中分别测量了n 1=200，n 2=150根轴的椭圆度，并计算得样本均值分别为=0.081(mm),=0.060(mm).试问这两台车床加工的轴的椭圆度是否有显著性差异？（给定α=0.05)

解 ① 提出假设H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2. ② 选取统计量

Z

X Y

-，

在H 0为真时，Z ~N （0，1）.

③ 给定α=0.05，因为是双边检验，α/2=0.025.

P {｜Z ｜＞z α/2}=0.05, P {Z ＞z α/2}=0.025，

P {Z ≤z α/2}=1-0.025=0.975.

查标准正态分布表，得

z α/2=z 0.025=1.96.

④ 计算统计量Z 的观察值z

z 0

x y

=

.

⑤ 作判断：由于｜z 0｜=3.95＞1.96=z α/2，故拒绝H 0，即在显著性水平α=0.05下，认为两台车床加工的轴的椭圆度有显著差异.

用Z 检验法对两正态总体的均值作假设检验时，必须知道总体的方差，但在许多实际问题中总体方差σ12与σ22往往是未知的，这时只能用如下的t 检验法.

（2） 方差σ12，σ22未知，关于均值的假设检验（t 检验法） 设两正态总体X 与Y 相互独立，X ~N （μ1，σ12），Y ~N （μ2，σ22），σ12，σ22未知，但知σ12=σ22，检验假设

H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.(双边检验) 从总体X ，Y 中分别抽取样本X 1，X 2，…，1

n X 与Y 1，Y 2，…，2

n Y ，则随机变量

t

()

X

Y

μ

μ---t （n 1+n 2-2），

式中

S w 2=

2

2

1122

12(1)(1)2

n S n S n n -+-+-，S 12，S 22分别是X 与Y 的样本方差.

当假设H 0为真时，统计量

t ~t （n 1+n 2-2）. （8.18）

对给定的显著性水平α，查t 分布得t α/2（n 1+n 2-2），使得

P {｜t ｜＞t α/2（n 1+n 2-2）}=α. （8.19）

再由样本观察值计算t 的观察值

t 0x y

， （8.20）

最后作出判断：

若｜t 0｜＞t α/2（n 1+n 2-2），则拒绝H 0； 若｜t 0｜≤t α/2（n 1+n 2-2），则接受H 0.

例8.8 在一台自动车床上加工直径为2.050毫米的轴，现在每相隔两小时，各取容量都为10的样本，所得数据列表如表8-3所示.

表8-3

假设直径的分布是正态的，由于样本是取自同一台车床,可以认为σ1=σ2=σ，而σ是未知常数.问这台自动车床的工作是否稳定？（取α=0.01)

解 这里实际上是已知σ12=σ22=σ2，但σ2未知的情况下检验假设H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.我们用t 检验法，由样本观察值算得：

x =2.063, y =2.059，

s 12=0.00000956， s 22=0.00000489，

s w 2=

2

2

12990.0000860.000044

10102

18

s s ⨯+⨯+=

+-=0.0000072.

由（8.20）式计算得

t 0=3.3.

对于α=0.01，查自由度为18的t 分布表得t 0.005(18)=2.878.由于｜t 0｜=3.3＞t 0.005(18)=2.878,于是拒绝原假设H 0：μ1=μ2.这说明两个样本在生产上是有差异的，可能这台自动车床受时间的影响而生产不稳定.

2. 两正态总体方差的假设检验（F 检验法(F -test )） （1） 双边检验

设两正态总体X ~N （μ1，σ

12

），Y ~N （μ2，σ

22

）

，X 与Y 独立，X 1，X 2，…，1

n X 与

Y 1，Y 2，…，2

n Y 分别是来自这两个总体的样本，且μ1与μ2未知.现在要检验假设H 0：σ

1

2

=

σ

2

2

；H 1：σ12≠σ22.

在原假设H 0成立下，两个样本方差的比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小.于是我们选取统计量 F =

212

2

S S . （8.21）

显然，只有当F 接近1时，才认为有σ

12

=σ

2

2

.

由于随机变量F *=

2

2112222

//S S σσ

~F （n 1-1，n 2-1）,所以当假设H 0：σ

12

=σ

2

2

成立时,统计量

F =

212

2

S S ~F （n 1-1，n 2-1）.