1.4 stirling近似公式
striling公式
Stirling公式是以苏格兰数学家詹姆斯·斯特灵命名的一种近似公式，它用于估计一个大数的阶乘。
该公式在数学和科学计算中经常用于涉及大数阶乘的问题。
Stirling公式表达式如下：
n! ≈√(2πn) * (n/e)^n
其中：
- n! 表示非负整数n 的阶乘，即从1 到n 的所有正整数的乘积。
- π是数学常数π，约等于3.14159。
- e 是自然对数的底数，约等于2.71828。
- √(2πn) 表示2πn的平方根。
Stirling公式是一种渐近近似公式，随着n 增大，逼近精度越高。
它在计算大数阶乘时特别有用，因为直接计算大数阶乘可能导致溢出或计算困难。
例如，我们使用Stirling公式来近似计算10 的阶乘：
n = 10
10! ≈√(2π* 10) * (10/2.71828)^10
10! ≈√(62.831853) * (3.678794)^10
10! ≈3598695.618741
实际的10! 的值为3,628,800。
从结果中可以看出，使用Stirling公式得到的近似值与实际值相当接近，特别是当n 增大时。
然而，需要记住Stirling公式仍然是一个近似值，在处理非常小的n 或需要高精度计算时可能不够准确。
用stirling formula表示伽马函数
用stirling formula表示伽马函数1. 什么是伽玛函数？伽玛函数是一种特殊的函数，可以用来描述阶乘的连续乘积。
它的定义如下：$$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt$$其中，$z$ 是一个复数，$\Gamma(z)$ 是伽玛函数。
2. 伽玛函数的性质伽玛函数具有许多重要的性质，其中一些包括：- $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$- $\Gamma(1) = 1$- $\Gamma(n+1) = n!$- $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$这些性质使得伽玛函数在数学和物理学中得到广泛应用。
3. 用斯特林公式表示伽玛函数斯特林公式是一种近似计算阶乘的公式，它的形式如下：$$n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$$将这个公式代入伽玛函数的定义式中，可以得到以下近似公式：$$\Gamma(z) \approx \sqrt{2\pi}^{z-1}\left(\frac{z-1}{e}\right)^{z-1/2}$$这个公式可以用来计算伽玛函数的近似值，特别是当 $z$ 很大时。
4. 例子假设我们要计算 $\Gamma(10)$ 的值。
我们可以使用斯特林公式的近似公式来计算：$$\Gamma(10) \approx\sqrt{2\pi}^{9}\left(\frac{9}{e}\right)^{9/2} \approx 362880$$与精确值 $3628800$ 相比，这个近似值还是相当接近的。
5. 总结伽玛函数是一种重要的特殊函数，具有许多重要的性质。
斯特林公式可以用来近似计算伽玛函数的值，特别是当参数很大时。
stirling指数拟合模型 -回复
stirling指数拟合模型-回复stirling指数拟合模型：一种近似计算方法探索在数学和统计领域，为了解决一些复杂的计算问题，人们经常寻找近似方法来简化计算过程。
其中一种常见的近似方法是使用拟合模型来逼近给定数据的趋势。
Stirling指数拟合模型就是这样一种拟合模型，它以苏格兰数学家詹姆斯·斯特林（James Stirling）的名字命名。
Stirling指数拟合模型背后的核心思想是利用斯特林公式逼近阶乘的计算。
斯特林公式是斯特林在1730年提出的一种近似计算n的阶乘的公式，它给出了一个与阶乘关系非常接近的表达式。
斯特林公式的形式如下：n! ≈√(2πn) * (n/e)^n其中，n!表示n的阶乘，π是圆周率，e是自然对数的底数。
斯特林公式的优势在于它兼顾了精度和计算速度，适用于高阶乘的近似计算。
然而，斯特林公式并不能直接用于拟合数据的趋势。
为了解决这个问题，人们将斯特林公式进行了一些修改，得到了Stirling指数拟合模型。
该模型的形式如下：X_n ≈a * n! * b^n其中，X_n是拟合结果，a和b是待拟合的参数。
Stirling指数拟合模型的核心在于将斯特林公式中的常数项修正为一个与n相关的指数函数。
为了使用Stirling指数拟合模型，我们需要先获得一组待拟合数据。
这组数据可以是实际观测到的数据，也可以是通过其他方法得到的数据。
接下来，我们可以利用最小二乘法或其他适当的拟合方法来确定参数a和b的值。
在确定了参数值之后，我们就可以利用Stirling指数拟合模型来近似计算其他n对应的X_n值。
通过将n带入拟合模型中，我们可以得到相应的近似计算结果。
当然，Stirling指数拟合模型并不是完美的。
它的适用范围有限，并且在一些极端情况下可能会存在误差。
因此，在使用该模型进行近似计算时，我们需要慎重选择数据和参数，以及恰当的验证方法来评估其准确性。
总之，Stirling指数拟合模型是一种近似计算方法，它利用斯特林公式的思想来拟合数据的趋势。
一些很有趣的概率学问题
一些很有趣的概率学问题说到概率，有些好玩的东西不得不提。
比如，你知道吗，23个人中至少两个人生日相同的概率竟然超过了1/2；假如你们班上有50个人的话，那更不得了，至少两人生日相同的概率达到97% ！如果你会计算这个概率问题的话，你可以亲自证实这一点。
本文适宜的读者是知道上述问题怎么算的高中朋友，上述问题也是高中阶段学的一些基本概率知识。
上面的问题都是简单概率，它包含了一个最基本的原则，即使没有系统地学习过，平常人们也都在无形之中使用它：概率等于你要算的东西除以总的数目。
比如。
我们要计算23个人中任何两个人都不在同一天生的概率。
假设2月29日与其它日期出现概率相同的话（这是为了便于计算我们做出的假设，它有悖于常理），那么它的概率为A(366,23)/366^23。
它约为0.493677。
因此，至少两人在同一天生的概率为1-0.493677=0.506323。
当然，对于“你要算的东西除以总的数目”的认识是片面的，比如“投两个骰子出现的数字和从2到12共有11种可能，问数字和大于10的概率”这一问题的答案并不是2/11，因为这11个点数和出现的概率不是相等的，我们只能从投出的两个数字共6*6=36种情况中进行统计，可能的情况只有(5,6)、(6,5)和(6,6) （不会有人说还有(6,7)之类的吧），答案应该是3/36=1/12。
这些都是废话，我不细说了。
但是，你有想过这个问题吗：要是这些数目是无穷的怎么办？换句话说，统计的东西不是“离散”的怎么办？比如看这样一个问题。
明天早上我要和MM 约会，但是具体见面时间我忘了，好像是8:00-9:00的某个时候。
那么我随便在这个时段中选一个时间去等MM，最多等她半个小时，正好能见到MM的概率是多少（假设MM先到的话不会等我）。
这个问题和我们平时见到的问题不同的地方在于，它的“情况”是连续的，不是离散的，不能逐一统计数目。
咋办呢？我们注意到，我的时间随机取一个，MM的时间随机取一个，对于某些组合我们是有缘分的（这些组合无穷多）。
组合数学
组合数学中的基本原理及其应用卡特兰数Catalan，Eugene，Charles，卡特兰（1814～1894）比利时数学家，生于布鲁日（Brugge），早年在巴黎综合工科学校就读。
1856年任列日（Liege）大学数学教授，并被选为比利时布鲁塞尔科学院院士。
卡特兰一生共发表200多种数学各领域的论著。
在微分几何中，他证明了下述所谓的卡特兰定理：当一个直纹曲线是平面和一般的螺旋面时，他只能是实的极小曲面。
他还和雅可比（Jacobi，C·G·J）同时解决了多重积分的变量替换问题，建立了有关的公式。
1842年，他提出了一种猜想：方程x z－y t＝1没有大于1的正整数解，除非平凡情形32－23＝1。
这一问题至今尚未解决。
（mathoe注：即除了8、9这两个连续正整数都是正整数的方幂外，没有其他。
1962年我国数学家柯召以极其精湛的方法证明了不存在三个连续正整数，它们都是正整数的方幂，以及方程x2－y n＝1，n ＞1，xy≠0无正整数解。
并且还证明了如果卡特兰猜想不成立，其最小的反例也得大于1016。
）此外，卡特兰还在函数论、伯努利数和其他领域也做出了一定的贡献。
卡特兰通过解决凸n边形的剖分得到了数列C n。
凸n＋2边形用其n－1条对角线把此凸n＋2边形分割为互不重叠的三角形，这种分法的总数为C n。
为纪念卡特兰，人们使用“卡特兰数”来命名这一数列。
据说有几十种看上去毫不相干的组合计数问题的最终表达式都是卡特兰数的形式。
卡特兰数在数学竞赛、信息学竞赛、组合数学、计算机编程等都会有其不同侧面的介绍。
前几个卡特兰数：规定C0＝1，而C1＝1，C2＝2，C3＝5，C4＝14，C5＝42，C6＝132，C7＝429，C8＝1430，C9＝4862，C10＝16796，C11＝58786，C12＝208012，C13＝742900，C14＝2674440，C15＝9694845。
递推公式圆周上有标号为1，2，3，4，……，2n的共计2n个点，这2n个点配对可连成n条弦，且这些弦两两不相交的方式数为卡特兰数C n。
3 第三章 高分子的溶液性质
溶度参数
溶度参数 = 1/2 = CED E V
内聚能密度 = E / V 零压力下单位体积的液体变 成气体的气化能，也叫内压。
高分子没有气态，如何测定CED或d ？
溶度参数d 的测定
粘度法 溶胀法 浊度滴定法
高聚物的溶度参数与溶剂的 溶度参数相同，那么此溶剂 就是该高聚物得良溶剂，高 分子链在此良溶剂中就会充 分伸展，扩张。因而，溶液 粘度最大
P 58
假设已有 j 个高分子被无规地放 在晶格内，因而剩下的空格数 为( N - jx )个空格。那么第( j+1 ) 个高分子放入时的排列方式 Wj+1为多少？
第( j+1 )个高分子的第一个“链段”可以放在( N – jx ) 个空格中的任意一个格子内，其放置方法数为：
N jx
第( j+1 )个高分子的第二个“链段”只能放在与第一格 链段相邻空格子中。
高聚物的密度为：1.19
PMMA可以溶解在：
把上述数据代入公式得：
丙酮：1=10.0；
2 = F / V = F ( / Mu) 三氯甲烷：1= 9.3 = 786.7(1.19 / 100.1)
= 9.35
结晶非极性聚合物：先熔融，后溶解。 二者都是吸热过程，ΔHM >0，即便是溶度
参数相近，也得升高温度才能溶解。
②稀溶液：分子量测定及分子量分级（分布）用到的稀 溶液。
科学研究
由于高分子稀溶液是处于热力学平衡态的真溶液， 所以可以用热力学状态函数来描述，因此高分子稀溶 液已被广泛和深入的研究过，也是高分子领域中理论 比较成熟的一个领域，已经取得较大的成就。
通过对高分子溶液的研究，可以帮助了解高分 子的化学结构，构象，分子量及其分布；
2.1 点缺陷
2.1 点缺陷一点缺陷的类型及形成1 定义点缺陷：在三维方向上尺寸都很小（远小于晶体或晶粒的线度）的缺陷。
2 点缺陷的类型金属中常见的基本点缺陷有：空位、间隙原子和置换原子。
图1所示。
在晶体中，位于点阵结点上的原子并非静止的，而是以其平衡位置为中心作热振动。
原子的振动能是按几率分布，有起伏涨落的。
当某一原子具有足够大的振动能而使振幅增大到一定限度时，就可能克服周围原子对它的制约作用，跳离其原来的位置，使点阵中形成空结点，称为空位。
空位就是未被占据的原子位置。
原子离开正常格点，跳到间隙位置，或者说，间隙原子就是进入点阵间隙中的原子。
间隙原子可以是晶体中正常原子离位产生，也可以是外来杂质原子。
置换原子：位于晶体点阵位置的异类原子。
图1 点缺陷的类型空位和间隙原子3 点缺陷形成的物理模型点缺陷形成最重要的环节是原子的振动。
在前面的学习中我们已经知道：晶体中的原子在其所处的原子相互作用环境中受到两种作用力：(1)原子间的吸引力；(2)原子间的斥力。
这两个力的来源与具体表述，请同学们回忆学过的知识。
在这对作用力的平衡条件下，原子有各自的平衡位置。
重要的是原子在这个平衡位置上不是静止不动，而是以一定的频率和振幅作振动，这就是原子的热振动。
温度场对这一振动行为起主要作用。
温度越高，振动得越快，振幅越大。
而且，每个原子在宏观统计上表现出不同的振动频率和振幅，宏观表现上是谱分布。
这种描述相信能在同学思维空间里建立明确的图象：原子被束缚在它的平衡位置上，但原子却在做着挣脱束缚的努力。
现在我们设想这样一种情况：当温度足够高使得原子的振幅变得很大，以致于能挣脱周围原子对其的束缚(请读者考虑为什么振幅大，原子可以脱离平衡位置)。
因此，这个原子就成为“自由的”，它将会在晶体中以多余的原子方式出现？如果没有正常的格点供该原子“栖身”，那么这个原子就处在非正常格点上即间隙位置。
显然，这就是我们前面所说的间隙式原子。
由于原子挣脱束缚而在原来的格点上留下了空位。
组合数学第一章
1.2排列与组合
[解法1]标号可产生5!个14个元的全排列。 故若设x为所求方案，则 x· 5!=14! ∴x=14!/5!=726485760
1.2排列与组合
[解法2]在14个元的排列中先确定“1” 的位置，有C(14,5)种选择，在确定人 的位置，有9！种选择。 故 C(14,5)· 即所求 9!
k+1
1.3 Stirling近似公式
• 由(1-3-2) (2k)!! < ———— · < ———— ， (2k-1)!! π (2k-2)!! ———— — (2k+1)!! (2k)!! 2 (2k-1)!! 1< —————— < (2k)!! 2 1 —— [——] ·2k+1 (2k-1)!!
P(n,r)=n(n-1)··(n-r+1) ·· ·· 有时也用[n]r记n(n-1)··(n-r+1) ·· ··
1.2排列与组合
若球不同，盒子相同，则是从n个中取r个 的组合的模型。若放入盒子后再将盒子标 号区别，则又回到排列模型。每一个组合 可有r!个标号方案。 故有 C(n,r)· r!=P(n,r),
前言
• 本学期主要讲组合分析（计数和枚举） 以及组合优化的一部分（线性规划的单 纯形解法）。 • 组合分析是组合算法的基础。
前言
组合数学经常使用的方法并不高深 复杂。最主要的方法是计数时的合理分 类和组合模型的转换。 但是，要学好组合数学并非易事， 既需要一定的数学修养，也要进行相当 的训练。
第一章
前言
1666年莱布尼兹所著《组合学论文》 一书问世，这是组合数学的第一部专著。 书中首次使用了组合论（Combinatorics） 一词。
Stirling 公式
谈Stirling 公式（转）彭宇煦12位粉丝1楼甲、一个机率问题什麽是一个事件(event) 的几率？这是机率论最基本也是争论最多的一个问题。
举最简单的例子来说明：丢一个公正铜板(fair coin)，出现正面(head) 的机率为这是什麽意思呢？常识性的解释大致是，将此铜板独立地丢「很多」次，那麽正面出现的次数「大约」占一半，这是在随机的说不准中很确定的事情。
所谓的「平均律」(the law of averages) 或「大数法则」(the law of large numbers) 隐隐约约就是指着这个解释。
不过，常识往往是含糊的或自相矛盾的，需要加以精炼。
事实上，「数学是精炼的常识」(Mathematics is refined comm on sense)。
常识是我们作观念探险之旅的出发点。
问1：丢2n 次铜板，正面恰好出现n 次的机率有多大？根据组合学，丢2n 次铜板，共有22n 种可能结果，假设每一种结果发生的机会均等，那麼2n 次中有n 次为正面的结果共有2nCn 种，故得机率为我们更有兴趣的问题是，当n 趋近时，p2n 会趋近於多少？上述常识性的解释似乎是说，，这成立吗？这需要对(1)式作精确的估算，於是引出了下面的问2：当n 很大时，如何估算？更明确地说：当n 趋近时，n! 的渐近相等式(Asymptotically equal formula) 是什麼？即要找一个「好用」(an) 使得我们希望找到这样的(an)，然后代入(1)式中计算出极限值，就可以检验上述常识性的机率解释是否正确。
n! 的渐近相等式存在吗？如何找？这就来到了Stirling 公式的大门口。
在文献上，有许多文章论述Stirling 公式的简化证明或机率式的证明，不过都只是在已经知道公式后，给出证明而已，并没有说出如何「看出」或「猜出」公式的追寻、探险过程。
因此令人有「美中不足」或「未尽妙理」的感觉。
本文我们就试著来补上这个缺憾，展示一种推测式的猜想过程。
组合数学中的Stirling数性质
组合数学中的Stirling数性质Stirling数是组合数学中一系列重要的数学对象，它们在许多领域都有广泛的应用，包括代数学、离散数学、概率论等。
Stirling数分为第一类Stirling数和第二类Stirling数，它们都有一些重要的性质和应用。
一、第一类Stirling数第一类Stirling数，通常用符号${{S(n,k)}}$表示，表示将一个n个元素的集合划分成k个非空的环排列的方法数。
具体来说，${{S(n,k)}}$表示n个元素的集合被划分成k个环排列的方法数。
第一类Stirling数有一些基本的性质。
首先，当n等于k时，${{S(n,k)}}$等于1。
其次，当n大于k时，${{S(n,k)}}$即等于将n个元素划分成k个环排列的方法数。
第一类Stirling数还满足递推关系，即${{S(n,k) = S(n-1,k-1) + (n-1) \cdot S(n-1,k)}}$这个递推关系可以用来计算第一类Stirling数，并且可以用来证明第一类Stirling数的一些性质。
二、第二类Stirling数第二类Stirling数，通常用符号${{S(n,k)}}$表示，表示将一个n个元素的集合划分成k个非空的子集的方法数。
具体来说，${{S(n,k)}}$表示n个元素的集合被划分成k个非空的子集的方法数。
第二类Stirling数也有一些基本的性质。
首先，当n等于k时，${{S(n,k)}}$等于1。
其次，当n小于k时，${{S(n,k)}}$等于0，因为无法将n个元素划分成k个非空的子集。
第二类Stirling数也满足递推关系，即${{S(n,k) = k \cdot S(n-1,k) + S(n-1,k-1)}}$这个递推关系可以用来计算第二类Stirling数，并且可以用来证明第二类Stirling数的一些性质。
三、Stirling数的应用Stirling数在组合数学中具有广泛的应用。
1.4 组合数学之—stirling近似公式
1.4 Stirling近似公式
1.4 Stirling近似公式
组合计数的渐进值问题是组合论的一个研究方向。 Stirling公式给出一个求n!的近似公式，它对从 事计算和理论分析都是有意义的。 1) Wallis公式
I n sin xdx n 0, 1, 2,
n dx =nlnn－n+1 1
1 1 tn=－ 2 ln1+ln2+…+ln(n－1)+－ 2 lnn 1 =ln(n!)－－ 2 lnn
tn的几何意义是由x轴,x=n,以及连接(1,0), (2,ln2),…,(n－1,ln(n－1)),(n,lnn)诸点而 成的折线围成的面积。
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.4 SБайду номын сангаасirling近似公式
1 0<An－tn<Tn－tn=－ 8
所以 n! ~ 2πn (－) n→∞ 令bn=An －tn.序列b1,b2,…是单调增，而且有上 界，故有极限，令 limbn=b1 1 由(1-3-4),(1-3-5) 得 2 n －ln(n!)+－lnn bn=nlnn－n+1 = lnn－n+1－ln(n!)+－ln n√ n n ln(n!)=1－bn+ lnn －ln n √ －lne n n ∴n!=e 1-bnn (－) √ e
1.4 Stirling近似公式
所以
1 π (2k)!! 2 · —— = — lim , [ —— ] 2 2k+1 k→∞ (2k-1)!! 1 π (2k)!!(2k)!! 2 — ·—— lim = , [ ———— ] 2 2k+1 k→∞ (2k)! π 2 (k!) 2 1 · —— = — lim [ —— ] 2k+1 2 k→∞ (2k)!
第一类Stirling数的两个计算公式
（ １ （ 一 ）ｎ ３ （ 一 ） ５ （ｎ 一 ０ § ： 一 ）凡 ２ （ 一 ） ｎ ４ （ ）３ ５Ｉ 一 ｔ 二
２ ×１ ４ ０
± 墨 鱼
。
证明 当 ｎ ０时 ， ≥１ 在式 （ ） １ 中取 ｔ ５得 ． （ ｎ Ｓ （ ， ５ ： Ｓ ， ） ｎ 凡一 ）＋Ｓ （ ， ２ 凡 ｎ一１ Ｓ （ 一１Ｉ一 ）十Ｓ （ ） １Ｉ ， ５ ｔ ｔ ２ ，
９月
第 一 类 Ｓｉｉｇ数 的两个 计 算 公 式 ｔｌ ｒｎ
拓 磊 ， 高 丽， 晶霞 柴
（延安大学 数学与计算机科学学院 ， 陕西 延安 ７ ６０ ） １０ ０
摘
要 ： 用第一 类 Ｓｉｉｇ 与 第二 类 Ｓｉｉｇ 的 关 系式 ， 出第一 类 Ｓｆｎ 利 ｔ ｎ数 ｌ ｆ ｔ ｎ数 ｌ ｆ 给 ｔｉ ｉ ｇ数 Ｓ （ ｒ一５ ，ｌ ｌ １ ， ｔ ）Ｓ
≥ ６时， （ ，一 ） Ｃ ＋ ０ ： ５ ： Ｓ ｎｎ ３ ＝ ： １Ｃ ＋１Ｃ； ２ ≥８ Ｓ（ 一 ） ＋ ５ ： １５ ： 时，２ ， ４ ＝ ２Ｃ ＋ ０Ｃ ＋ １５ ： ０Ｃ ；
定义 ２
令 ＝ ５ （ ｋ ［ ］ ， ，） 称
，
时 ， ２ ｎ ｎ一 Ｓ （ ∑Ｓ （ ， ） １ ｎ—ｋ 一ｔ ０ ， ）＝ 。
一
≥８时 ，ｌ 凡 ／一 ）＝ Ｓ（ ， ４ ７ ，
ｎ ｎ一１ （ ｆ ） ｎ一２ ｆ ３ （ ４ （ ５ ０ 十 ｎ＋２ ） ｎ一 ） ｎ一 ） １ ｎ 一３ ｎ ５
２ ×ｌ ４ ０
步 给 出第 一 类 Ｓｉｉｇ数 ｜ （ ， ｔｌ ｒｎ ｓ Ｉ ｎ一５ ，１ １ １一 ｌｔ ）５ （７ １ ，， ，
原子排列中的缺陷
缺陷的存在只是晶体中局部的破坏。作为 一种统计，一种近似，一种几何模型，我 们仍然继承这种学说。因为缺陷存在的比 例通常情况下毕竟只是一个很小的量。例 如20℃时，Cu的空位浓度为3.8×1017m-3， 充分退火后Cu中的位错密度为1012m-3（空 位、位错都是以后要介绍的缺陷形态）。 从占有原子百分数来说，晶体中的缺陷在 数量上是微不足道的。
缺陷（Defect）的概念 大多数固体是晶体，晶体正是以其特殊的构
型被人们最早认识。因此目前(至少在20世纪80年 代以前)人们理解的“固体物理”主要是指晶体。 当然这也是因为客观上晶体的理论相对成熟。在 晶体理论发展中，空间点阵的概念非常重要。
空间点阵中，用几何上规则的点来描述晶体 中的原子排列，并连成格子，这些点被称为格点， 格子被称为点阵，这就是空间点阵的基本思想， 它是对晶体原子排列的抽象。空间点阵在晶体学 理论的发展中起到了重要作用。可以说，它是晶 体学理论的基础。现代的晶体理论基于晶体具有 宏观平移对称性，并因此发展了空间点阵学说。
色心
色心是一种非化学计量比引起的空位缺陷。该空位能够 吸收可见光使原来透明的晶体出现颜色，因而称它们为色心, 最简单的色心是F心。
所谓F心是离子晶体中的一个负离子空位束缚一个电子构 成的点缺陷。形成过程是碱卤晶体在相应的过量碱金属蒸汽 中加热，例如：NaCl晶体在Na蒸汽中加热后呈黄色；KCl晶 体在K蒸汽中加热后呈紫色；LiF在Li蒸汽中加热后呈粉红色。
23
间隙缺陷（interstitial defect） 外来原子进入晶体中占据非晶格位置而形成的 缺陷。
如氢、碳等。间隙缺陷的浓度与温度无关
置换型缺陷（substitutional defect） 外来原子替换格点位置的原子所形成的缺陷
Stirling渐进公式的一个新的构造证明
li m e- Νn = e- Ν = 2Π
(5)
n→∞
T hu s (3) m ay be rew rit ten in the fo rm
n! = (n e) n 2Πn exp (Ν- Νn).
(6)
F ina lly, no t ice tha t
Νn = - 1 -
∞
∞
∑ ∑ 1
2
ck -
2. Proof of (2). N o tice tha t
∞
∑j= 2
(j - 1) 2j (j + 1)
(- 1) j k
=
1 12k 2
-
1 12k 3
+
3 40k 4
-
…
—6—
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d ef
= n-
1 2
log n
+
Νn.
H ere w e have lim nΝn= - 1-
1 2
Χ+
a=
Ν.
In o rder to determ ine Ν, let u s take an t i- loga rithm of the above. W e have
nn n ! = enn- 1 2eΝn ,
-
…,
so tha t 0< ak < 1 3k 2 and 0< ck < 1 2k 2, (k = 1, 2, 3, …). W e deno te
∞
∞
∑ ∑ ak = a, ck = Χ (Eu ler’s con stan t).
浅谈Stirling数极其简单应用
浅谈Stirling数极其简单应用摘要组合数学中的许多问题是数学中的精华，组合数学的应用也涉及到自然科学的许多领域。
本文对Stirling数进行了研究。
本文的工作分为三部分：第一部分，介绍了Stirling数的概念和性质；第二部分列举了关于两类Stirling数之间的几个关系式。
重点介绍了两类Stirling阵之间的关系，并分别用Stirling阵和Stirling展开式证明了两类Stirling数的反演和互逆关系;第三部分则简单介绍了两类Stirling数的简单应用。
关键词：Stirling数；基本性质；关系；简单应用AbstractThe problems in combination of mathematics is the essence of mathematics.the application of combination of mathematics relates to many fields of natural science.This paper is divided into three parts: the first part,introduces the concept and the characteristics of Stirling number ; the second part lists several relations which is about two Stirling number . It focuses on the relations between the two types of Stirling array, using the Stirling matrix and Stirling expansion to proved the inversion and reciprocal relationship of the two kinds of Stirling numbers; the third part introduces the simple application of the two kinds of the Stirling numbers.Keywords Stirling number; basic characteristics; relations; simple application目录引言 (4)第一章 Stirling数的概念及其性质 (2)1.1 第一类、第二类Stirling函数的概念 (2)1.2 两类Stirling函数的性质 (3)1.3 两类Stirling数的解析表达式 (5)第二章两类Stirling数之间的关系式 (7)2.1 两类Stirling数之间的反演关系 (7)2.2 两类Stirling阵之间的关系 (8)第三章 Stirling数的推广和简单应用 (11)3.1 第一类Stirling数简单应用 (11)3.2 利用第二类Stirling数分配计数 (11)总结 (13)参考文献 (14)谢辞 (15)引言组合数学是既古老又年轻的数学分支，她的渊源可以追溯到公元前2200年中国的大禹治水时代，中外历史上许多著名的数学游戏是她古典部分的主要内容。
斯特林公式Stirling Formular
题目：关于阶乘的近似公式1.相关历史与进程历史上对阶乘的估计在数学上有着重要的作用，首先是它在概率论与数理统计中，最早可以追溯到1733年一位法国的数学家de Moivre 的工作，同时也是第一次遇到对整数阶乘的估计问题。
在他研究Gauss 分布和中心极限定理时发现了如下公式：!constant nn n e ⎛⎫≈ ⎪⎝⎭然后，瑞典数学家Stirling在试图给出二项分布的一般的近似值时，发现了未知的常数：constant =Stirling 公式：!nn n n e σ⎫≈=⎪⎭紧接着他就得到如下的结果，并发表在了Miscellaneis Analyticis Supplementum 中：221111ln[(1)!]~ln()ln(2)222(21)k k k B n n n n k k nπ-≥⎛⎫---++ ⎪-⎝⎭∑ (1)公式(1)也被称为Stirling 级数，其中的2k B 称为Bernoulli 数，定义如下：0011,0kj j k B B j =+⎛⎫== ⎪⎝⎭∑其中1k ≥。
将(1)式的前m 项记为2211exp 2(21)nm k m k k B n e k k x τ-=⎛⎫⎫= ⎪⎪-⎭⎝⎭∑同时Euler 提出了一个函数，它可以作为整数的阶乘在正实数中的拟合。
这函数便是Γ-函数：10()t z z e t dt +∞-Γ=⎰，也可以定义为极限的形式：!()lim(1)()zn n n z z z z n →∞Γ=++而且显然有(1)!n n Γ+=，而且目前对阶乘的估计也或多或少的用Γ-函数来描述，甚至利用Γ-函数的性质来发现新的更好的渐进函数。
之后，关于!n 的渐进公式的探索逐渐缓慢下来。
直到最近才有了新的突破。
2.第一种有关!n 的渐进形式——含有幂级数的渐进公式依靠幂级数来求数值解的思想一直是较好的方法。
其中在Stirling 所处的时期便已经有了一个幂级数展开，而且拥有着各种相似的形式，如在Abramowitz 和Stegun [1]的书中记载着：3571111!exp 1236012601680nn n e n n n n ⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎭⎝⎭但是在1763年Bayes [5]在给Canton 的信中说：Stirling 给出的这个幂级数展开并不是一个收敛级数。
三角函数的近似计算
三角函数的近似计算
简介
三角函数是数学中的重要概念，主要指正弦函数、余弦函数、
正切函数和余切函数。
在实际问题中，常常需要进行三角函数运算，但计算精确的三角函数值并不容易。
因此，我们需要使用一些近似
的方法来计算三角函数值。
常用近似方法
泰勒级数展开法
泰勒级数展开法是一种常见的计算三角函数值的方法。
该方法
通过对三角函数的泰勒级数进行截断来近似计算三角函数值。
例如，对于正弦函数，它的泰勒级数展开式为：
$$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-
\frac{x^7}{7!}+\cdots$$
在实际计算中，我们可以选择一定的级数截断，即只考虑前几项，来近似计算正弦函数值。
插值法
插值法是另一种常见的计算三角函数值的方法。
该方法通过构造一个多项式函数来近似三角函数。
例如，我们可以选择拉格朗日插值多项式来近似计算正弦函数值。
拉格朗日插值多项式的表达式为：
$$f(x)=\sum_{i=0}^{n}y_i\prod_{j=0,j\neq i}^{n}\frac{x-
x_j}{x_i-x_j}$$
其中，$y_i$表示已知函数值，$x_i$为对应的自变量取值。
在实际计算中，我们可以选择若干个离目标点较近的点，来构造拉格朗日插值多项式来近似计算正弦函数值。
结语
以上是三角函数的近似计算方法的简单介绍。
在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的计算方法，以求得尽可能精确的计算结果。
组合数学 —— 斯特林数(Stirling)
【第一类斯特林数】1.定理第一类斯特林数 S1(n,m) 表示的是将 n 个不同元素构成 m 个圆排列的数目。
2.递推式设人被标上1,2,.....p，则将这 p 个人排成 m 个圆有两种情况：在一个圆圈里只有标号为 p 的人自己，排法有 S1(n-1,m-1) 个。
p 至少和另一个人在一个圆圈里。
这些排法通过把 1,2....n-1 排成 m 个圆再把 n 放在 1,2....n-1 任何一人左边得到，因此第二种类型排法共有 (n-1)*S1(n-1,m) 种。
我们所做的就是把 {1,2,...,p} 划分到 k 个非空且不可区分的盒子，然后将每个盒子中的元素排成一个循环排列。
综上，可得出第一类Stirling数定理：边界条件：：有 n 个人和 n 个圆，每个圆只有一个人：如果至少有 1 个人，那么任何的安排都至少包含一个圆3.应用举例第一类斯特林数除了可以表示升阶函数和降阶函数的系数之外还可以应用到一些实际问题上，比如很经典的解锁仓库问题。
问题说明：有 n 个仓库，每个仓库有两把钥匙，共 2n 把钥匙。
同时又有 n 位官员。
求：①如何放置钥匙使得所有官员都能够打开所有仓库？（只考虑钥匙怎么放到仓库中，而不考虑官员拿哪把钥匙。
）②如果官员分成 m 个不同的部，部中的官员数量和管理的仓库数量一致。
那么有多少方案使得，同部的所有官员可以打开所有本部管理的仓库，而无法打开其他部管理的仓库？（同样只考虑钥匙的放置。
）分析：①打开仓库将钥匙放入仓库构成一个环：1号仓库放2号钥匙，2号仓库放3号钥匙……n号仓库放1号钥匙，这种情况相当于钥匙和仓库编号构成一个圆排列方案数是 (n-1)! 种。
②对应的将 n 个元素分成 m 个圆排列，方案数就是第一类斯特林数 S1(n,m)，若要考虑官员的情况，只需再乘上 n! 即可。
4.算法实现const int mod=1e9+7;//取模LL s[N][N];//存放要求的第一类Stirling数void init(){memset(s,0,sizeof(s));s[1][1]=1;for(int i=2;i<=N-1;i++){for(int j=1;j<=i;j++){s[i][j]=s[i-1][j-1]+(i-1)*s[i-1][j];if(s[i][j]>=mod)s[i][j]%=mod;}}}【第二类斯特林数】1.定理第二类斯特林数 S2(n,m) 表示的是把 n 个不同元素划分到 m 个集合的方案数。
斯特林公式的推导过程
斯特林公式的推导过程斯特林公式啊，那可是个挺有趣的东西呢。
咱们就像探索一个神秘的宝藏一样，去推导它吧。
斯特林公式主要是对阶乘的一种近似。
咱们就从阶乘说起吧。
n的阶乘，也就是n!，它等于从1乘到n。
这就像盖房子，一块砖一块砖地垒起来。
1×2×3×…×n，数字越来越大，到后面增长得可快啦。
那怎么去推导斯特林公式呢？咱们可以从积分的角度去想想看。
就好比走一条弯弯曲曲的路，积分就是把这条路上的小段小段加起来。
咱们先考虑对数形式。
ln(n!)，这就相当于ln(1)+ln(2)+ln(3)+…+ln(n)。
这时候啊，咱们可以把它看作是一个求和的过程，就像把一堆小珠子一个一个串起来一样。
我们可以用积分来近似这个求和。
把ln(x)从1到n做积分。
这就像是用一个平滑的面去覆盖那些参差不齐的小珠子。
做这个积分呢，得到的结果是xln(x) - x在1到n上的值。
算出来就是nln(n) - n + 1。
不过这只是个近似呀。
就像你用布去包一个形状不规则的东西，总会有一些缝隙的。
那怎么让这个近似更精确呢？这时候就需要一些修正啦。
我们发现啊，这个近似值和实际的ln(n!)之间有个差值。
这个差值呢，就像调整衣服的尺寸一样，要找到一个合适的调整量。
通过一些数学上的巧妙处理，经过复杂的推导和计算，就像是在迷宫里找出口一样。
我们可以得到斯特林公式的一种形式：n! ≈ √(2πn) * (n / e)^n。
这整个推导过程就像是一场冒险。
从最初简单地看待阶乘，到用积分去近似，再到发现差值进行修正，一步一步地，就像爬山一样，一步一个脚印地到达了山顶，得到了斯特林公式。
斯特林公式在很多地方都特别有用呢。
在概率论里，计算一些复杂的组合数的时候，要是没有斯特林公式，就像在黑暗里摸瞎一样困难。
在数学分析里，处理一些极限问题，它也能像一把锋利的剑，一下子把难题砍开。
推导斯特林公式的过程虽然有点复杂，可就像解一道超级大的谜题一样。
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1 12 n
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
Bye Bye!
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.4 Stirling近似公式
令 Tn ln 2 ln(n 1) ln n Tn是由三部分面积之和构成的。一是曲线y=lnx在x=k点 的切线和x轴，以及x=k－1/2,x=k+1/2包围的梯形，当 k=2,3,…,n-1时的面积之和；一是由y=lnx在x=1点的切线， x=3/2线，以及x轴围城的梯形；另一是由y=lnn,x=n－ 1/2,x=n及x轴包围的矩形面积。 因而有
I 2n1 I 2n I 2n1
(2n)!! (2n 1)!! (2n 2)!! (2n 1)!! (2n)!! 2 (2n 1)!!
1 ( 2 (2n)!! 2 1 ) (2n 1)!! 2n 1
2n 1 1, (n ) 2n
3
n-1 n
x
1 1 1 ln 1 ln 2 ln( n 1) ln n ln n! ln n 2 2 2
tn的几何意义是由x轴,x=n,以及连接(1, 0),(2, ln2), …,(n－1, ln(n－1)), (n, lnn)诸点而成的折线围成的面积。
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.2 一一对应原理
1.4 Stirling近似公式
1.4 Stirling近似公式
组合计数的渐进值问题是组合论的一个研究方向。 Stirling公式给出一个求n!的近似公式，它对从事计算和 理论分析都是有意义的。
1.4.1 Wallis公式
I n sin n xdx n 0, 1, 2,
2 0
则有递推关系
n -1 I I n2 n 2 n n I 0 1, I 1 2
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.4 Stirling近似公式
令
1 3 5 (n 2) n n是奇数。 n!! 2 4 6 (n 2) n n是偶数。
所以
n n 2n ( ) n an n ( ) n e lim( e 2 ) 1 lim n n n! n! an
即
n n n! 2n ( ) e
n n 注意 lim(n! 2n ( ) ) n e
n n n n 2n ( ) n! 2n ( ) e e e
则
(n 1)!! n!! I 1 In (n 1)!! I0 n!!
n是奇数。 n是偶数。
其中
I0
2
,
I1 1
;
1.4 Stirling近似公式
当
0 x
2
时，由于 0 sin x 1
t n An Tn
1 0 An t n Tn t n 8
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1 8
1 2
1.4 Stirling近似公式
令 bn=An －tn，则
1 bn An t n n ln n n 1 ln n! ln n 2 由于
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.4 Stirling近似公式
所以
lim(
n
(2n)!! 2 1 ) (2n 1)!! 2n 1 2
(2n)!!(2n)!! 2 1 lim( ) n (2n)! 2n 1 2
2 2 n (n!) 2 2 1 lim( ) n (2n)! 2n 1 2
1 1 n bn 1 - bn (1 ) ln(1 ) 1 0 2n n
所以，序列{bn}是单调增的，而且有上界，故有极限。
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.4 Stirling近似公式
令 an=e1-bn， liman=a，则有
1 ln n! n ln n n 1 ln n bn 2
n! e
1bn
n n n n n ( ) an n ( ) e e
将上式代入Wallis公式，有
4 an n lim( 2 ) n a 2 2 n 4n 2
即 lim a n a
n
2
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.4 Stirling近似公式
Yiqiang Wei <weiyiqiang@>
1.4 Stirling近似公式
1.4.2 stirling公式
令 An 1 ln xdx n ln n n 1 An的几何意义是由x轴,x=n,曲线 y=lnx围成的面积 令
tn
0 1 2
n
y Y=lnx