第六章第二节线性空间的简单性质及定义

例3，按通常多 项按通常多 数乘运乘运算， 1）数域 P上的一元多 项的一 P[x ] 即数域 P上一元多 项一元多项式 2)数域 P上次数等于定数 n（ n ≥ 1）的 多项式 全体所成的集合; 的集合是否 购集合是 P上的线的线性空
3）数域 P上次数低于定数n的多项多项式全体， 上0所成的集合P 上0所成的集合 解： 1） 构成线线性空间，可以验这两种运算满足线性空间 的8条运运算律 2）不是 线不是线性空间,因为它不含零多项不含零多零元素 （即使添上零也 构即使线性空间，因为两个n次多项多项式的 一定是n次多项多项。
由于该于该空间只有一 素， 而该 空间间中有必须 零元素 素 ，所以 a就是 V的零元素 。 这种由一个零元素组成 的 线性空间 称为 零 空间 。
5*线性空间的元素也称为向量（未必是 有序数组）。
线性空间有时也称为向量空间空间， 这里所谓的向量，笔记和中的向量涵义中的向的多。 以后用小写希腊后用αβγ ... ...代..代表线 V中的元素; 用小写拉丁字母kl数域P中的数。 V的零元素也称零向量，
2） 因为两个n阶可逆方阵的和未必是可逆的， 10 - 10 00 A = , B = 01 0 - 1 ∈ G L2 (P), 但A + B = 00 ∉ G L2 (P); 所以n阶方阵的加法不是G L2 (P)的一个代数运一个 G L2 (P)关于所给的运算不构成P上线线性空间
[x]
n
4）数域 P上次数不低于定数n的多项多项式全体
（3）P
[x] 构成线性空间。因为任给两个次数低于n的
n
多项式f ( x) g ( x)的和f ( x) + g ( x)及kf ( x)的次数 低于n多项式0。且多项式的运算显然符合线性空间的规律。 （4）不构成线性空间。因为两个次数不低于n的 多项式的和可能低于n.
例一
正实实数的全体记 数乘 法运 算 ： a ⊕ b = ab(ab ∈ R)， λ o α = α (λ ∈ R, α ∈ R )
λ
+ +
R
+
，在其中定 义在其中
验证 R 对上述加法与数乘运算 构成线性空间。 证明： ： 首先要 验先要验证对加 乘运运算的封闭， 有 a ⊕ b = ab(ab ∈ R)； 加法的封 闭法 性 ∀ab ∈ R, a ∈ R ， 对数乘的封闭性 ∀λ ∈ R, a ∈ R 有
• 为了对它们统一的加以研究，有必要使向 量的概念更为一般化。推广向量的涵义， 将n维向量空间抽象化，就得到了线性空间 的概念
一。线性空间的定义
• 我们知道数域P上的n维向量 p 是数域P上的所有n n 维向量组成的集合。 中两个向量可以作加法运 p 算，P中一个数和 p n 中一个向量可以作数乘运算。 而且这两种运算满足一些重要的规律。事实上我 p 们还曾经讨论过一些其它的集合，也可作这两种 线性运算。
• 命题三，向量a负向量由a唯一确定 • 这就是说，满足条件4'的(只有一个即a+b=0 时b=-a）
（α + β） = 0 + β = β 那么β + (α + β ) = β + 0 = β + 由条件2' 可得 β = β
1 1 1 1
证明如果除β外还还有一个负向 - β也满满足条件
利用负元素，可以定 义素，α − β = α + − β ) （ 命题4， 从α + β = α + γ推出α = γБайду номын сангаас证明 : 等式α + β = α + γ两边各加上 - α即得 − α + α + β） −α + α + γ）即0 + β = 0 + γ （ = （ 即β = γ
• d对于V中每一个元素a，都有V的一个元素b，似 的a+b=o，b称为a的负元素，记作-a • 2*.数量乘法都满足下面两条规则： • e,1a=a • f, κ (τα) = (κτ )α • 3*.数量乘法与加法满足下面两条规则：
• g, (κ +τ )α = κα+τα • h κ(α + β ) = κα + κβ • 在以上规则中 κτ 表示数域P中的任意数，a,b,y表 示集合V中任意元素。
• 为了能把这些对象统一的加以研究，从而使所得 的结果更有广泛的应用，我们引入了线性空间的 概念 • 定义一 • 设V是一个非空集合，P是一个数域。在集合V的 元素之间定义了一种运算，叫做加法。也就是说， 给出了一个法则，按照这个法则，对于V中任意 γ 两个元素α和β，在V中有唯一的元素 与它 γ γ =α +β 们对应。 称为 α和β的和，记作
命 题题五，当且仅 k = 0 或 α = 0时 k α = 0 证明 : 1' 因 为 0α = ( 0 + 0) α = 0α + 0α ， 故命 题命题四 0α = ( 0 又因 0 k = ( 0 + 0) k = 0 k + 0 k 同理可得 0 k = 0 2' 为了证明从可以推出
α的负元素 - α也称为α的负向量。
二、线性空间的性质
• 在深入讨论线性空间之前，我们先从定义 出发来证明一些有关线性空间的简单性质。 这些性质在今后的讨论中经常用到。 • 首先，从线性空间定义种的1' 2'两条规律 可得： • 命题一，任意有限多个向量相加时，可以 不计其次序先后 • 命题二，零向量是惟一的
4' 对任何a ∈ R 有负负元 a ∈ R 使a ⊕ a = a a = 1;
-1 -1 -1
+
+
5'1 o a = a = a （ 1是R中的数，而不是
υ 6' λ o (υ o a) = λ o a （ υ）= λυ） a = （ o
+
R
+
中的元素）
λ
a λ υ λ υ λ υ 7' λ + υ） a = a = a a = a ⊕ a = λ o a ⊕ υ o a （ o λ λ λ λ λ 8' λ （a ⊕ b) = λ （ab) = ab = a b = a ⊕ b ; o o
• 在数域P中的数与几何V中的元素之间定义了一种 元算叫做数量乘法。也就是说对于数与P中任意 一个数κ与V中任意一个元素α ，在V中都有一个元 素α 与它们对， 称为κ 与 α的数量乘积记作 = σ
σ κα
• 如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 就称为数域P山的一个线性空间。 • 1*，加法满足下列四条规则 • a a+b=b+a • b (a+b)+y=a+(b+y) • c在V中要有一零元素0.对于V中任一元素o 都有a+o=a，具有这个性质的元素0称为V 的零元素
• 由以上例子可知，要判定一个集合关于一 个给定的法则构成线性空间，必须先检验 给定的法则是不是符合要求的运算。然后 再逐个验证线性空间定义的8条规则成立。 要判定一个集合关于给定的法则不构成线 性空间，只须举出一个反例说明某一条件 不符合即可。
例4
设 V 是由所有封 闭由所 [a, b ]上连连续的函数组成的 和 ， 而且任意 连且任意连续 一个 实个实数仍然是连 数， 可以 证以 V 对于这两种线性运算满 足定 义定义 8条运运算律 所以 V 是实实数域上的一个线 空间间 我们们知道，两个 [a, b ]上连连续的函数之和仍 [a, b ]上连连续
λ
+ + +
λ oα = α ∈ R 。
下面验证满足8条运算律
1' a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a; ⊕ 2' a ⊕ b） c = (ab)c = a (bc) = a ⊕ (b ⊕ c); （ 3' R 中存在零元素1， 对对任a ∈ R 使 a ⊕ 1 = a1 = a;
1 + +
• 根据定义，解析几何中的多维空间是是实数域上 的线性空间。以前定义的数域P上的n维向量空间p 是数与P上的线性空间。 • 4*,。凡满足上述8条规律的加法及乘法运算，就 4*, 8 称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称 为线性空间。
n
因此， 对于所定义的运算构成线性空间 R 例二。按照矩 阵二。按及数域矩阵数域矩阵的， 下列集合是否构列集合P上的线的线性? 1)P 上全体m × n矩阵阵的集 P
4' 对任何a ∈ R 有负负元 a ∈ R 使a ⊕ a = a a = 1;
-1 -1 -1
+
+
5'1 o a = a = a （ 1是R中的数，而不是 6' λ o (υ o a) = λ o a （aυ）= λυ） a = （ o
υ λ
R
+
中的元素）
a = a ⊕ a = λ o a ⊕υ o a λ λ λ λ λ 8' λ （a ⊕ b) = λ （ab) = ab = a b = a ⊕ b ; o o
3）因 为P中一个数与行列式为1的矩阵矩阵相乘所n阶方阵的 行列式未必等于1， 10 − 10 例如A = , B = 01 0 − 1 ∈ S L2 (P), K = 2 ∈ P, 但kA的行列式为 20 = 4 ≠ 1即kA ∉ S L2 (P)， 02 所以数与矩阵以数与矩能作为P与S L2 (P)的一个运一个运S L2 (P) 关于所给的运算构不成P上的线的线性空间。
=a
7' λ + υ） a = a （ o
λ +υ
λ
υ
λ
υ
1' a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a; 2' a ⊕ b） c = (ab)c = a(bc) = a ⊕ (b ⊕ c); （ ⊕ 3' R 中存在零元素1， 对对任a ∈ R 使 a ⊕ 1 = a1 = a;
1 + +
n
n
• 例如，元素属于数域P上的 m × n 矩阵可以作加法 以及P中的数与矩阵的乘法。数域P上的一元多项 m×n 式环 P [x ] ,P [x ] 中两个元素可以作加法，P中一 个数与 P [x ] 中一个元素可以作数乘。更一般的， 对于函数也可以定义加法以及数与数的乘法。如果 我们自习分析，可以发现这些集合对于这两种运算 都具有n维向量空间的一些性质。
• 在第三章中，我们把有序数组称为向量，并对它 定义了加法和数乘运算。容易验证这些运算满足 有很大的推广 殊情形 现 8条规律。我们把对于运算封闭的有序数组的集 合称为向量空间。当然，那些只是现在定义的特 殊情形，现在的定义有很大的推广： • 1，向量不一定是有序数组 • 2，线性空间种的运算要求满足8条运算律，当然 也就不一定是有序数组的加法及数乘运算。如：
例5
数域P按照自身的加法和乘法构成P上的一个线的空间。 例6 V = {a} 只包含一个元素， 对包意数域P，定 义a ⊕ a = a k o a = a （ 为为了与通常的加法乘法区别法区别，我们"⊕" 和"o" 来表示所 定义义的加法和数量乘，以下同此）. 容易验易验证对于这两算满满足定义种8条规规律， 此它是数域P上的一个线的一个线性空间。
这就是说，满足定义中条件3'的向量只有一个 证明：如果线性空间V中有两有两个和零 01 , 02 都满满足条件3 。
0 是零向量，所以 0 + 0 = 0 ; 一方面，由于 0 也是零向量，所以 0 + 0 = 0 ; 因此 0 = 0 即零向量是惟一的
1 1 2 2 2 1 2 1 1 2
考虑虑 01 + 02 的和一方面，由于
m×n
+
;
2） P上全体n阶可逆方阵的集合G Ln (P); 3） P上全体行列式等于1的n阶方阵的集合S Ln (P);
解： ）因 为因为对α = (a ij) , β = (a ij) 1
mn
mn
= k (a ij)
mn
= kα + lα ;
所以按线性空间的定义定 P 例如，
m×n
构成P上线线性空间
线性空间的定义与简单性质
• 第三章我们曾经介绍过n维向量空间的概念，它是 以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时 考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，也就 n 构成了数域P上n维向量空间 p
• n=3时就是几何空间，所以n维向量空间是 几何空间的推广。通过n维向量空间是我们 有可能吧一些反映不同研究对象的有序数 组在线性运算下的性质作统一的讨论。 • 但是，在一些数学问题和实际问题中，还 会遇到其他对象，（非有序数组），对它 们也可进行这两种线性运算。