高中数学曲线与方程

9.9 曲线与方程

一、填空题

1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的是________． 解析 (x －y )2

＋(xy －1)2

＝0⇔⎩⎨

⎧

x －y ＝0，

xy －1＝0，

∴⎩⎨⎧

x ＝1，y ＝1

或⎩⎨

⎧

x ＝－1，y ＝－1.

故此方程表示两个点． 答案 两个点 2．方程|y |－1＝1－

x －1

2

表示的曲线是________．

解析

原方程等价于⎩⎨⎧

|y |－1≥01－(x －1)2

≥0

(|y |－1)2＝1－(x －1)2

⇔⎩⎨⎧ |y |－1≥0(x －1)2＋(|y |－1)2＝1

⇔⎩⎨⎧

y ≥1(x －1)2＋(y －1)2＝1或⎩⎨⎧

y ≤－1(x －1)2＋(y ＋1)2

＝1 答案 两个半圆

3. 动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程为_______．

解析 考查抛物线定义及标准方程,知P 的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线,p=2,所以其方程为28y x =. 答案 28y x =

4．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为________． 解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)， 由PM →＝λMQ →得⎩⎨⎧

x －x 0＝λ(x 0－x )，y －y 0＝－λy

(λ＞0)，

∴⎩⎨⎧

x 0＝x ，y 0＝(λ＋1)y .

由于x 20＋y 20＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1，∴M 的轨迹为椭圆． 答案 椭圆

5.设P 为双曲线2214

x y -=上一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 的中点,则点M 的轨迹方程是 .

解析 设M(x,y),则P(2x,2y)代入双曲线方程即得.

答案 2241x y -=

6．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点

P 的轨迹是________．

解析 由条件知PM ＝PF . ∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF . ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案 椭圆

7．若△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．

解析 如图AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 2

16

＝1(x >3)．

答案

x 29

－

y 216

＝1(x >3)

8．对于曲线C ：

x 24－k

＋

y 2k －1

＝1，给出下面四个命题：

①曲线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜5

2.

其中所有正确命题的序号为________．

解析 根据椭圆和双曲线的定义，可得当⎩⎨⎧

4－k>0，

k －1>0，

4－k≠k－1，

即⎩⎪⎨

⎪⎧

k<4，k>1，k ≠52

时，表示椭圆；当k<1或k>4时，表示双曲线． 答案 ③④

9．在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫

a 2，0(a >0)，且满足条

件sin C －sin B ＝1

2sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．

解析 由正弦定理得

AB 2R －AC 2R ＝12×BC 2R

， ∴AB －AC ＝1

2BC ，由双曲线的定义知动点A 的轨迹为双曲线右支．

答案

16x 2

a 2－16y 2

3a

2＝1(x >0且y ≠0) 10．已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O

为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是______________．

解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2

→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫－x

2

，－y 2，又P 在椭圆上，

则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭

⎪

⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b

2＝1(a ＞b ＞0)．

答案 x 24a 2＋y 2

4b 2

＝1(a ＞b ＞0)

11．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．

解析 设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1和d 2.

由弦心距、半径、半弦长间的关系得，

⎩

⎪⎨

⎪⎧

2r 2

－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，即⎩⎨⎧

r 2

－d 21＝169，

r 2

－d 22＝144，

消去r 得动点M 满足的几何关系为d 22－d 21＝25， 即

3x －2y ＋32

13

－

2x －3y ＋2

2

13

＝25.

化简得(x ＋1)2－y 2＝65.

此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程． 答案 (x ＋1)2－y 2＝65

12．直线x a ＋y

2－a

＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是______．

解析 (参数法)设直线x a ＋y

2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2－a )，A 、B

中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a

2

，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，

x ≠1.

答案 x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)

13．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一