函数的连续性及极限的

第四节 函数的连续性及极限的应用

1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，

lim x x →f (x )存在，且0

lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.

2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.

(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0

lim x x →f (x )存在；

(3)0

lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点

的函数值.

如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0

处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．

3.函数连续性的运算:

①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)?g(x)，

)

()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。

②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。

4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：

如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数

f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.

f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在

函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限

存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )，

f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，

在b 点处左极限存在等于f (b ). 5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：

如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有

+

→a

x lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-

→b x lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )

在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理

如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值

7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 二、 问题讨论 ●点击双基

（x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要

解析：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A

（x ）=x

x

πcos

π

cos

的不连续点为

=0 =

1

22

+k （k =0,±1,±2,…） =0和x =2k π（k =0,±1,±2,…）

=0和x =

1

22

+k （k =0,±1,±2,…） 解析：由cos x π=0,得x π=k π+2π（k ∈Z ）,∴x =)(1

22Z ∈+k k .

又x =0也不是连续点,故选D 答案：D

3.下列图象表示的函数在x =x 0处连续的是

x

y

①

②

A.① ②③ C.①④ D.③④

答案：A

4.四个函数:①f （x ）=x

1;②g （x ）=sin x ;③f （x ）=|x |;④f （x ）

=ax 3+bx 2+cx +d .其中在x =0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上）

答案：②③④

例1：讨论下列函数在给定点或区间上的连续性

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-≠+-=)

0(1)0(11)()1(11

x x e e x f x x ，点x=0； ⎩⎨

⎧->+-≤+=)

1(4

)

1(2

)()2(2x x x x x f ，点x=－1。

解：（1）当x →0－时，-∞→x

1，0lim 10=-

→x

x e ，因此-

→0lim

x 1

111+-x

x

e e =－1，

而+

→0

lim

x 1

1

11

+-x

x

e e =+

→0

lim x )1

21(1+-

x

e =1，∵)(lim )(lim 0

x f x f x x +-→→≠，

∴)(x f 在x=0处极限不存在，因此)(x f 在x=0处不连续。 （2）∵3)2(lim )(lim 211=+=-

-

-→-→x x f x x ，=+-→)(lim 1x f x 3)4(lim 1=++

-→x x ，3)1(=-f ，

∴)1(3)(lim 1

-==-→f x f x ，因此函数)(x f 在x=－1处连续。

【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续（闭区间的端点例外）。