高考专题函数的单调性与最值

2.2函数的单调性与最值[知识梳理]

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)函数单调性的三种等价形式

设任意x1，x2∈[a，b]且x1

①x1－x2<0，若f(x1)－f(x2)<0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；若f(x1)－f(x2)>0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

②f(x1)－f(x2)

x1－x2

>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；

f(x1)－f(x2)

x1－x2

<0⇔f(x)在

[a，b]上是减函数．

③(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

注：研究函数单调区间的注意事项

(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性．

(2)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．

(3)函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝1

x

分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．2．函数的最值

函数的最大值对应图象最高点的纵坐标，函数的最小值对应图象最低点的纵坐标．

注：(1)函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在．

(2)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间上的端点值就是函数的最值．

[诊断自测] 1．概念思辨

(1)函数y ＝1

x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) (2)设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，那么f (x )在[a ，b ]上是增函数⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2

>0⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0.( )

(3)函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上为增函数，则函数y ＝f (x )的增区间为[0，＋∞)．( )

(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√

2．教材衍化

(1)(必修A1P 39B 组T 3)下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )

A ．y ＝2x

B ．y ＝log 12

x C ．y ＝x －1 D ．y ＝x 3

答案 C

解析 函数y ＝2x 在区间(－∞，0)上是增函数； 函数y ＝log 12

x 在区间(－∞，0)上无意义；

函数y ＝x －1在区间(－∞，0)上是减函数； 函数y ＝x 3在区间(－∞，0)上是增函数．故选C. (2)(必修A1P 45B 组T 4)已知函数f (x )＝

⎩⎨⎧

－x 2－ax －5(x ≤1)，

a

x (x >1)

是R 上的增函数，则a 的取值范围是

( )

A ．－3≤a <0

B ．－3≤a ≤－2

C ．a ≤－2

D ．a <0

答案 B

解析

∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

－x 2－ax －5(x ≤1)，a

x (x >1)

是R 上的增函数，设

g (x )＝－x 2

－ax －5(x ≤1)，h (x )＝a

x (x >1)，

由分段函数的性质可知，函数g (x )＝－x 2－ax －5在(－∞，1]单调递增，函数h (x )＝a

x 在(1，＋∞)单调递增，且g (1)≤h (1)，∴

⎩⎪⎨⎪⎧ －a

2≥1，

a <0，－a －6≤a ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

a ≤－2，a <0，a ≥－3，

解得－3≤a ≤－2.故选B. 3．小题热身

(1)(2014·天津高考)函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为

( )

A ．(0，＋∞)

B ．(－∞，0)

C ．(2，＋∞)

D ．(－∞，－2)

答案 D

解析 由x 2－4>0得x <－2或x >2.令u ＝x 2－4，易知u ＝x 2－4在(－∞，－2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y ＝log 12 u 为减

函数，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)．故选D.

(2)(优质试题·保定期末)直角梯形OABC 中AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截该梯形所得位于l 左边图形面积为S ，则函数S ＝f (t )的图象大致为( )

答案 C

解析 由题意可知：当0

2·t ·2t ＝t 2， 当1

2＋(t －1)·2＝2t －1；

所以f (t )＝⎩⎨

⎧

t 2，0

2t －1，1

结合不同段上函数的性质，可知选项C 符合．故选C.

题型1 函数单调性的判断与证明

典例

已知函数f (x )＝x 2＋1－ax ，其中a >0.

(1)若2f (1)＝f (－1)，求a 的值；

(2)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[0，＋∞)上为单调减函数．

本题用定义法．

解 (1)由2f (1)＝f (－1)，

可得22－2a ＝2＋a ，得a ＝23.

(2)证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1

＝x 21＋1－

x 22＋1－a (x 1－x 2)

＝

x 21－x 2

2

x 21＋1＋x 22＋1

－a (x 1－x 2)

＝(x 1－x 2)⎝

⎛⎭

⎪⎫

x 1＋x 2

x 21＋1＋

x 22＋1 －a . ∵0≤x 1

∴0<

x 1＋x 2

x 21＋1＋x 22＋1

<1.

又∵a ≥1，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递减． 方法技巧

确定函数单调性(区间)的常用方法

1．定义法：本例采用了定义法．一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形．见典例．

2．图象法：如冲关针对训练1.