中考数学总复习 专题五 阅读理解型问题教学案

专题五 阅读理解型问题

阅读理解能力是初中数学课程的主要目标，是改变学生学习方式，实现自主探索主动发展的基础．

阅读理解型问题，一般篇幅较长，涉及内容丰富，构思新颖别致．这类问题，主要考查解题者的心理素质，自学能力和阅读理解能力，考查解题者的观察分析能力、判辩是非能力、类比操作能力、抽象概括能力、数学归纳能力以及数学语言表达能力．这就要求同学们在平时的学习活动中，逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑、会创新和独立获取新知识的良好习惯．

阅读理解题型分类：

题型一：考查掌握新知识能力的阅读理解题

命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查我们自学能力和阅读理解能力，能考查我们接收、加工和利用信息的能力．

题型二：考查解题思维过程的阅读理解题

言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在，是提高我们数学水平的前提．数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础，这类试题就是为检测我们理解解题过程、掌握基

本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的．

题型三：考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题

理解知识不是拘泥于形式地死记硬背，而是要把握知识的内涵或实质，理解知识间的相互联系，形成知识脉络，从而整体地获取知识．这类试题意在检测我们对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力．

题型四：考查归纳、探索规律能力的阅读理解题

对材料信息的加工提炼和运用，对规律的归纳和发现能反映出我们的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力．这类试题意在检测我们的“数学化”能力以及驾驭数学的创新意识和才能．

方法技巧

解决阅读理解问题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”，具体做法： ①认真阅读材料，把握题意，注意一些数据、关键名词；

②全面分析，理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和方法，提取有价值的数学信息； ③对有关信息进行归纳、整合，并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答．

阅读新知识，解决新问题

【例1】 (2012·绍兴)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的准外心．

举例：如图①，若PA ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心．

应用：如图②，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝12

AB ，求∠APB 的度数．

探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC ＝5，AB ＝3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长．

解：应用：①若PB ＝PC ，连接PB ，则∠PCB ＝∠PBC ，∵CD 为等边三角形的高，∴AD ＝BD ，∠PCB ＝30°.∴∠PBD ＝∠PBC＝30°，∴PD ＝33DB ＝36AB.与已知PD ＝12

AB 矛盾，∴PB ≠PC.②若PA ＝PC ，连接PA ，同理可得PA≠PC.

③若PA ＝PB ，由PD ＝12

AB ，得PD ＝AD ＝BD ，∴∠APD ＝∠BPD ＝45°.∴∠APB ＝90°. 探究：∵BC＝5，AB ＝3，∴AC ＝BC 2－AB 2＝52－32＝4.①若PB ＝PC ，设PA ＝x ，则x

2＋32＝(4－x)2，∴x ＝78，即PA ＝78

.②若PA ＝PC ，则PA ＝2.③若PA ＝PB ，由图知，在Rt △PAB 中，不可能．∴PA＝2或78

. 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，读懂题意，在仔细阅读之后弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论．

1．(2014·兰州)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；

(2)如图，将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD ，DC ，CE ，已知∠DCB＝30°.

①求证：△BCE 是等边三角形；

②求证：DC 2＋BC 2＝AC 2，即四边形ABCD 是勾股四边形．

解：(1)正方形、矩形、直角梯形均可

证明：(2)①∵△ABC≌△DBE，∴BC ＝BE ，∵∠CBE ＝60°，∴△BCE 是等边三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE ＝BC ，AC ＝ED ；∴△BCE 为等边三角形，∴BC ＝CE ，∠BCE ＝60°，

∵∠DCB ＝30°，∴∠DCE ＝90°，在Rt △DCE 中，DC 2＋CE 2＝DE 2，∴DC 2＋BC 2＝AC 2.

阅读解题过程，模仿解题策略

【例2】 (2014·黔南州)先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式：

mx ＋nx ＋my ＋ny ＝(mx ＋nx)＋(my ＋ny)＝x(m ＋n)＋y(m ＋n)＝(m ＋n)(x ＋y)；也可以mx ＋nx ＋my ＋ny ＝(mx ＋my)＋(nx ＋ny)＝m(x ＋y)＋n(x ＋y)＝(m ＋n)(x ＋y)．

以上分解因式的方法称为分组分解法，请用分组分解法分解因式：a 3－b 3＋a 2b －ab 2.

解：a 3－b 3＋a 2b －ab 2＝a 3＋a 2b －(b 3＋ab 2)＝a 2(a ＋b)－b 2(a ＋b)＝(a ＋b)(a 2－b 2)＝(a

＋b)2(a －b)．

【点评】 本题考查了多项式的分解因式，阅读材料之后弄清题中的分组分解法是解本题的关键．

2．探究问题：

(1)方法感悟：

如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF ＝45°，连接EF ，求证：DE ＋BF ＝EF.

感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB 与AD 重合，由旋转可得AB ＝AD ，BG ＝DE ，∠1＝∠2，∠ABG ＝∠D＝90°，∴∠ABG ＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，∴点G ，B ，F 在同一条直线上．∵∠EAF＝45°，∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°.∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝45°，即∠GAF＝∠__EAF__.又∵AG ＝AE ，AF ＝AF ，∴△GAF ≌__△EAF__，∴__GF__＝EF ，故DE ＋BF ＝EF.

(2)方法迁移：

如图②，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12

∠DAB.试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想． (3)问题拓展：

如图③，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，E ，F 分别为DC ，BC 上的点，满足∠EAF＝12

∠DAB，试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得DE ＋BF ＝EF.请直接写出你的猜想．(不必说明理由)

解：

(2)DE ＋BF ＝EF.理由如下：假设∠BAD 的度数为m °，将△ADE 绕点A 顺时针旋转m °得到△ABG，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：AB ＝AD ，BG ＝DE ，∠1＝∠2，∠ABG ＝∠D＝90°，

∴∠ABG ＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，∴点G ，B ，F 在同一条直线上．∵∠EAF＝12

m °，∴∠2＋∠3＝∠BAD －∠EAF ＝m °－12m °＝12m °.∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝12

m °，即∠GAF ＝∠EAF.又∵AG＝AE ，AF ＝AF ，∴△GAF ≌△EAF ，∴GF ＝EF.又∵GF＝BG ＋BF ＝DE ＋BF ，∴DE ＋BF ＝EF ； (3)当∠B 与∠D 互补时，可使得DE ＋BF ＝EF.

阅读探索规律，推出一般结论