第7章 小波变换和多分辨率处理

Digital Image Processing, 2nd ed.
第7章 小波变换和多分辨率处理
Wavelets and Multiresolution Processing
小波变换是基于具有变化的频率和有 限持续时间的小型波进行的。它是多 分辨率理论的分析基础。 本章将从多分辨率的角度解释小波变 换。介绍图像编码，噪声去除和边缘 提取等一些应用实例。
表7.1中的一维滤波器也可用于图像处理的二 维可分离滤波器。如图7.5所示。可分离滤波 器首先应用于某一维(如垂直向)，再应用于另 一维(如水平向)。
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
例7.2 图7.1中花瓶的4频段子带编码 图7.6显示了一个8抽头正交滤波器的冲激响应。
7.1背景 Background
(7.1.4)
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
等式中X(-z)项是序列x(n)混叠的或调制的Z变 换。其反Z变换是：
Z −1[ X (− z )] = (−1) n x(n)
由式(7.1.4)可将系统输出表达为：
ˆ ( z ) = 1 G ( z )[ H ( z ) X ( z ) + H (− z ) X (− z )] X 0 0 0 2 1 + G1 ( z )[ H1 ( z ) X ( z ) + H1 (− z ) X (− z )] 2
P( z ) = G0 ( z ) H 0 ( z ) = 2 H 0 ( z ) H1 (− z ) det(H m ( z ))
(7.1.16)
由于 det(H m ( z )) = − det(H m (− z ))
−2 P(− z ) = G1 ( z ) H1 ( z ) = H 0 (− z ) H1 ( z ) det(H m ( z ))
图7.2 (b) 建立金字塔的方框图
7.1背景 Background
7.1.1 图像金字塔
传递由3个连续步骤组成：
3.计算步骤2的预测值和步骤1的输入之间的差 异。以j级预测残差进行标识的这个差异将用于 原始图像的重建(见例7.1)。在没有量化差异的 情况下，预测残差金字塔可以用于生成相应的 近似金字塔，包括原始图像，而没有误差。
图7.2 (b) 建立金字塔的方框图
7.1背景 Background
7.1.1 图像金字塔
例7.1 高斯和拉普拉斯金字塔 图7.3显示了图7.1中花瓶的一种可能的近似值和预测残差金字塔。
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
子带编码是另一种与多分辨率分析相关的重要图 像技术。在子带编码中，一幅图像被分解成为一 系列限带分量的集合，称为子带。子带可以重组 在一起无失真地重建原始图像。每个子带通过对 输入进行带通滤波而得到。 因为所得到的子带带宽要比原始图像的带宽小， 子带可以进行无信息损失的抽样。原始图像的重 建可以通过内插、滤波和叠加单个子带来完成。
(7.1.2)
以2为因子的内插，可以由变换对定义为：
x(n / 2) n = 0,2,4,L x ( n) = ⇔ X up ( z ) = X ( z 2 ) (7.1.3) 其它 0
up
如果对x(n)先抽样再内插得到
1 1 1 ˆ ( z ) = X ( z 2 ) + X (− z ) 2 X 2
图7.2 (a) 一个金字塔图像结构
7.1背景 Background
7.1.1 图像金字塔
金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低 分辨率的近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率 就降低。
图7.2 (a) 一个金字塔图像结构
7.1背景 Background
7.1.1 图像金字塔
如图7.2(b) 框图所表明的，近似值和预测残差金 字塔都是以一种迭代的方式进行计算。
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
表7.1 完美重建滤波器族
在双正交的基础上进一步要求：
〈 g i (n), g j (n + 2m)〉 = δ (i − j )δ (m) i, j = {0,1}
(7.1.22)
这对可完美重建的滤波器族定义了正交性。
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
表7.1 完美重建滤波器族
从表7.1的第3列中选取适当的输入，做反Z 变换，可得：
g1 (n) = (−1) g 0 (2 K − 1 − n)
n
hi (n) = g i (2 K − 1 − n)
i = {0,1}
(7.1.23)
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
其中分析调制矩阵Hm(z)为：
(7.1.11)
H 0 ( z ) H 0 (− z ) H m ( z) = H1 ( z ) H1 (− z )
(7.1.12)
H1 (− z ) G0 ( z ) 2 G ( z ) = det( H ( z )) − H (− z ) 0 1 (7.1.13) m
(7.1.24)
其中，F是一个N×N图像矩阵，H是N×N 变换矩阵，T是N×N变换的结果。
7.1背景 Background
7.1.3 哈尔变换
哈尔变换的变换矩阵H包含哈尔基函数hk(z)，它 们定义在连续闭区间z∈[0,1]，k=0,1,2…,N-1，这 里N=2n。 为生成H矩阵，定义整数k，即k=2p+q-1(这里 0≤p≤n-1, p=0时，q=0或1，p≠0时， 0≤q≤2p)。 可得哈尔基函数为：
H 0 (− z )G0 ( z ) + H1 (− z )G1 ( z ) = 0
(7.1.9) (7.1.10)
H 0 ( z )G0 ( z ) + H1 ( z )G1 ( z ) = 2
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
一维矩阵表达式：
[G0 ( z ) G1 ( z )]H m ( z ) = [2 0]
X ( z ) = ∑ x( n) z − n
−∞
∞
(7.1.1)
其中z是一个复变量(如果用ejω代替z，式 (7.1.1)将成为x(n)的离散傅里叶变换)。 Z变换处理采样率变化非常方便。
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
时域中以2为因子的抽样对应到Z域中为：
1 1 1 2 2 xdown (n) = x(2n) ⇔ X down ( z ) = X ( z ) + X (− z ) 2
7.1背景 Background
7.1.1 图像金字塔
传递由3个连续步骤组成：
2.对上一步的输出进行内插—因子仍为2—并进行过滤。 这将生成与输入等分辨率的预测图像。由于在步骤1的 输出像素之间进行插值运算，插入滤波器决定了预测 值与步骤1的输入之间的近似程度。如果插入滤波器被 忽略了，预测值将是步骤1输出的内插形式，复制像素 的块效应将变得很明显。
(7.1.19)
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
由式(7.1.9)和式(7.1.10)开始，并将H0和G0表 示成G1和H1的函数，可得：
〈 g1 (k ), h1 (2n − k )〉 = δ (n)
〈 g 0 (k ), h1 (2n − k )〉 = 0
(7.1.20)
〈 g1 (k ), h0 (2n − k )〉 = 0
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小波变换和傅里叶变换的区别
傅里叶展开函数族是频率变化及持续时间无限的 正弦波；小波变换的展开函数是持续时间有限及 频率变化的小波。
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主要内容
背景 多分辨率展开 一维小波变换 快速小波变换 二维小波变换 小波包
k
0
(k )h0 (n − k ) + (−1)
n
∑g
k
0
(k )h0 (n − k ) = 2δ (n)
冲激函数δ(n)在n =0时等于1，而在其他情况下 等于0。由于奇次方项相互抵消，可得：
∑g
k
0
(k )h0 (2n − k ) = 〈 g 0 (k ), h0 (2n − k )〉 = δ (n)
7.1.2 子带编码
例7.2 图7.1中花瓶的4频段子带编码 图7.7显示图7.1中花瓶的512×512图像基于图7.6滤波器的4频段分离
7.1背景 Background
7.1.3 哈尔变换
哈尔变换(Haar)是与多分辨率分析有关的图 像处理手段之一。 哈尔变换本身是可分离的，也是对称的， 可以用下述矩阵形式表达： T=HFHT
(7.1.17)
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
因此 G1 ( z ) H1 ( z ) = P(− z ) = G0 (− z ) H 0 (− z )
G0 ( z ) H 0 ( z ) + G0 (− z ) H 0 (− z ) = 2
(7.1.18)
做反Z变换可得：
∑g源自文库
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
图7.4(a)显示了两段子带编译码系统的基本部分。
图7.4 （a）一维子带编码和解码的两频带滤波器组，（b）频谱分离特性
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
离散傅里叶变换的一般推广(Z变换)是研究如图 7.4(a)所示的离散时间、数据采样系统的理想工 具。序列x(n)(n=0,1,2,…)的Z变换是：
图7.2 (b) 建立金字塔的方框图
7.1背景 Background
7.1.1 图像金字塔
传递由3个连续步骤组成：
1.计算输入图像减少的分辨率近似值。通过对 输入进行滤波并以2为步长进行抽样实现(即子 抽样)。没有滤波器，在金字塔的上一层混淆变 得显著，子抽样点对所采取的区域没有很好的 代表性。
图7.2 (b) 建立金字塔的方框图
更有普遍意义的表达式
〈 hi (2n − k ), g j (k )〉 = δ (i − j )δ (n)
i, j = {0,1}
(7.1.21) 满足该条件的滤波器组称为具有双正交性。
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
表7.1给出了式(7.1.9)和式(7.1.10)的通 解。虽然它们都能满足式(7.1.21)的双 正交要求，但各自的求解方式不同， 定义的可完美重建的滤波器类也不同。 每类中都依一定规格设计了一个“原 型”滤波器，而其他滤波器由原型计 算产生。
第7章 小波变换和多分辨率处理
7.1背景
Background 从数学的观点看，图像是一个亮度值的二维矩阵，像边界 和对比强烈区域那样的突变特性的不同组合会产生统计值 的局部变化。如图7.1所示。
图7.1 一幅自然图像和它的局部直方图变化
7.1背景 Background
7.1.1 图像金字塔
图像金字塔是以多分辨率来解释图像的一种有效 但概念简单的结构。
(7.1.15)
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
因此，FIR综合滤波器是分析滤波器的交叉 调制的副本，有且仅有一个符号相反。 式(7.1.9)到式(7.1.13)也可以用来证明分析和 综合滤波器的双正交性。令低通分析滤波器 和综合滤波器传递函数的乘积为P(z)。由式 (7.1.13)代入G0，可得：
(7.1.5)
(7.1.6)
滤波器h0(n)的输出由下述变换对定义：
h0 (n) ∗ x(n) = ∑ h0 (n − k ) x(k ) ⇔ H 0 ( z ) X ( z )
k
(7.1.7)
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
与傅里叶变换一样，时域(或空间域)的卷积 等价于Z域的乘积。整理式(7.1.6)可得： ˆ ( z ) = 1 [ H ( z )G ( z ) + H ( z )G ( z )] X ( z ) X 0 0 1 1 2 (7.1.8) 1 + [ H 0 (− z )G0 ( z ) + H1 (− z )G1 ( z )] X (− z ) 2 对于输入的无失真重建，假定下列条件：
7.1背景 Background
7.1.2 子带编码
忽略时延，令α=2，对式(7.1 .13)做反Z变换， 可得到：
g 0 (n) = (-1)n h1 (n)
g1 (n) = (−1)
如果 α=-2，
n +1
(7.1.14)
h0 (n)
g 0 (n) = (-1)
n +1
h1 (n)
g1 (n) = (−1) n h0 (n)