构造直角三角形利用勾股定理

专题构造直角三角形运用勾股定理解题
重点强化一作垂线→构造直角三角形
1．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，求BC的长．
解：过A点作AD⊥BC于D点．在Rt△ACD中，∵AC＝10，∠C＝60°，∴CD＝AC＝5，AD＝5．∵AB＝14，∴BD＝＝11，∴BC＝CD+BD＝16．
2.如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AC＝6，求AB，BC的长．
解：过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABC中，∵∠C＝30°，AC＝6，∴AD＝AC＝3，
根据勾股定理得DC＝3．在Rt△ADB中，∠B＝45°，∴AD＝BC＝3，
根据勾股定理得AB＝3，∴BC＝BD+DC＝3+3．
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求△ABC的面积．
解：过A作AD⊥BC于D，则BD＝5．在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，
则AD＝＝12，∴S△ABC＝BC•AD＝×10×12＝60．
4.如图，△ABC的外角∠CBD＝75°，∠A＝45°，BC＝30，求AB的长．
解：作BE⊥AC于点E．∵∠CBD＝75°，∠A＝45°，∴∠C＝30°．
∵BC＝30，∴BE＝15．∵∠A＝45°，∴AE＝BE＝15，∴AB＝AE＝15×＝30．
5.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，三角形的面积为12cm2，且底边上的高为4cm，求△ABC的周长．
解：作BC边上的高线AD，则AD＝4cm，∵△ABC的面积为12cm2，
∴BC•AD＝12，即×BC×4＝12．则BC＝6．∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝3．
在直角△ABD中，由勾股定理得AB＝＝＝5．
则△ABC的周长＝2AB+BC＝10+6＝16．即△ABC的周长是16．
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝90°，∠CBD＝30°，∠C＝45°，如果AB＝，求CD的长．
解：过点D作DE⊥BC于E．∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴AD＝AB＝，∴由勾股定理可得BD＝
＝2．∵∠CBD＝30°，∴DE＝BD＝×2＝1．∵Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∠C＝45°，
∴由勾股定理可得CD＝＝．
7．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13．求BC边上的中线长．
解：作BC边上的高AD和中线AE，设BD＝x，则CD＝14﹣x．
根据勾股定理，得AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即225﹣x2＝169﹣（14﹣x）2，解得x＝9．
则AD＝＝12．∴DE＝BD﹣BE＝9﹣7＝2，∴AE＝＝，
重点强化二补形→构造直角三角形
8．如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，求剪去的直角三角形的斜边长．
解：延长AB，DC相交于F，则△BFC是直角三角形，由勾股定理得
BC2＝（15﹣3）2+（20﹣4）2＝122+162＝400，∴BC＝20．
即剪去的直角三角形的斜边长为20cm．
9.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．
解：连接AC．∵∠B＝90°，∴AC2＝AB2+BC2．∵AB＝BC＝2，∴AC2＝8．
∵∠D＝90°，∴AD2＝AC2﹣CD2．∵CD＝1，∴AD2＝7，∴．
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AD＝8，AB＝7，求BC和CD的长．
解：延长AB，DC相交于E，
在Rt△ADE中，由勾股定理得AE2﹣DE2＝AD2，且AE＝2AD，
得AE＝16，DE＝8，∴BE＝AE﹣AB＝9．
在Rt△BEC中，由勾股定理得BC2+BE2＝CE2，且CE＝2BC，
∴BC＝3，CE＝6，∴CD＝DE﹣CE＝2．
11．如图，在四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，AD＝2，求四边形ABCD的面积．
解：延长BA，CD交于点E，∵∠BAD＝135°，∴∠EAD＝45°，∴ED＝AD＝2，EB＝BC＝2，∴四边形ABCD的面积＝×2×2﹣×2×2＝4，
12．如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，CD＝2，BC＝11，求AC的长．
解：延长AD，BC交于点E．∵∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，∴∠E＝30°．
∵CD＝2，∴CE＝2CD＝4，∴AB＝，∴AC＝＝14．
13.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．
解：连接BD．∵AB＝AD，∠A＝60°．∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝AD＝8，∠1＝60°．
∵∠1+∠2＝150°，∴∠2＝90°．设BC＝x，则CD＝16﹣x，由勾股定理得x2＝82+（16﹣x）2，
解得x＝10，16﹣x＝6，∴BC＝10，CD＝6．
课后提升
1．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝2m，CD＝1m．求这块草地的面积和周长．
解：分别延长AD，BC交于点E．∵∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠DCE＝∠DEB＝∠A＝45°，∴AB＝BE，CD＝DE，
∵AB＝2m，CD＝1m，∴BE＝2m，DE＝1m，
∴BC＝BE﹣CE＝2﹣，AD＝AE﹣DE＝2﹣1，
∵S△ABE＝AB•BE＝2，S△CDE＝CD•DE＝0.5，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CDE＝2﹣0.5＝1.5（m2）．
四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝2+2﹣+1+2﹣1＝4+（m）
所以这块草地的面积为1.5m2．周长为（4+）m．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B，C）．若线段AD长为正整数，求点D的个数．
解：过A作AE⊥BC．∵AB＝AC，∴EC＝BE＝BC＝4，∴AE＝＝3．
∵D是线段BC上的动点（不含端点B，C）．∴3≤AD＜5，∴AD＝3或4．
∵线段AD长为正整数，∴AD的可以有三条，长为4，3，4，∴点D的个数共有3个．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．若△ABC的腰不变，将底变为12cm，得到△A′B′C′，甲同学说，这两个等腰三角形面积相等；乙同学说，这两个等腰三角形面积一定不相等．甲、乙同学的说法对吗？
请做出判断，并说明理由．
解：甲的说法对，乙的说法不对；理由：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝10 cm，BC＝16 cm，∴BD＝CD＝8 cm，∴AD＝6 cm，∴S△ABC＝×BC×AD＝48 cm2；
如图2，过点A′作A′D′⊥B′C′于点D′，∵A′B′＝A′C′＝10 cm，B′C′＝12 cm，
∴B′D′＝C′D′＝6 cm，∴A′D′＝8 cm，∴S△A′B′C′＝×B′C′×A′D′＝48 cm2，
∴S△ABC＝S△A′B′C′．。