平均变化率与瞬时变化率概念

平均变化率与瞬时变化率概念

1．已知函数f (x )=的图象上的一点及临近一点,则 ． 2．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为

3、求在点x=1处的导数.

4、求函数在处的导数 4、一质点运动的方程为283s t =-。（1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；

（2）求质点在t=1时的瞬时速度

【课堂练习】

1、已知函数，下列说法错误的是（ ）

A 、叫函数增量

B 、叫函数在[]上的平均变化率

C 、在点处的导数记为

D 、在点处的导数记为

2、若质点A 按规律运动，则在秒的瞬时速度为（ ）

A 、6

B 、18

C 、54

D 、81

3、设函数可导，则=（ ） A 、 B 、 C 、不存在 D 、以上都不对

4、函数在处的导数是______________

5、已知自由下落物体的运动方程是，(s 的单位是m,t 的单位是s)，求： （1）物体在到这段时间内的平均速度； （2）物体在时的瞬时速度；

（3）物体在=2s 到这段时间内的平均速度； （4）物体在时的瞬时速度。

x x +-2)2,1(--A )2,1(y x B ∆+-∆+-=∆∆x

y 32+=t s )3,3(t ∆+22+=x y x y =

1=x )(x f y =)()(00x f x x f y -∆+=∆x

x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00x x x ∆+00,)(x f 0x y ')(x f 0x )(0x f '22t s =3=t )(x f x

f x f x ∆-∆+→∆3)1()1(lim 0)1(f ')1(3

1f 'x

x y 1+=1=x 221gt s =

0t t t ∆+00t 0t s t 1.21=s t 2=

平均变化率达标检测：

1． 设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ） A B C D

2． 一质点运动的方程为，则在一段时间内的平均速度为（ ）

A －4

B －8

C 6

D －6

3． 在曲线的图象上取一点（1,2）及附近一点，则为（ ） A B C D 4．函数的平均变化率的物理意义是指把看成物体运动方程时，在区间内的 .

5．函数的平均变化率的几何意义是指函数图象上两点、连线的

6．函数在处有增量，则在到上的平均变化率是

7．函数在附近的平均变化率是

8.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.

()x f y =x 0x x x ∆+0y ∆()x x f ∆+0()x x f ∆+0()x x f ∆⋅0()()00x f x x f -∆+221t s -=[]2,112+=x y ()y x ∆+∆+2,1x

y ∆∆21+∆+∆x x 21-∆-∆x x 2+∆x x

x ∆-∆+12()x f y =()x f y =[]21,t t ()x f y =()x f y =()()111,x f x P ()()222,x f x P 8232--=x x y 31=x 5.0=∆x ()x f 1x x x ∆+12x y =0x x =

导数的几何意义： 【例】已知曲线31433

y x =+， （1） 求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

（2） 求曲线过点P(2,4)的切线方程；

（3） 求斜率为4的曲线的切线方程。

分析：切点坐标→切线斜率→点斜式求切线方程

解答：（1）(2,4)P 在曲线31433

y x =+上，且2y x '= ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=2|x y ='=4;

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

（2）设曲线31433y x =

+与过点P(2,4)的切线相切于点A （x 0，301433

x +），则切线的斜率020|x x k y x ='==，∴切线方程为y -（301433x +）=20x （x -0x ），即23002433

y x x x =-+ ∵点P(2,4)在切线上，∴4=220x -302433x +，即3200340x x -+=，∴322000440x x x +-+=， ∴（x 0+1）(x 0-2)2=0

解得x 0=-1或x 0=2

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.

（3）设切点为（x 0,y 0）

则切线的斜率为k=x 02=4, x 0=±2.切点为（2，4），（-2，-4/3）

∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2)

即4x-y-4=0和12x-3y+20=0

注：（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决。