2020-2021学年湖北省武汉二中广雅中学八年级(上)训练数学试卷(一)

2020-2021学年湖北省武汉二中广雅中学八年级（上）训练数学
试卷（一）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）有4cm和6cm的两根小棒，请你再找一根小棒，并以这三根小棒为边围成一个三角形，下列长度的小棒可选的是()
A．1cm B．2cm C．7cm D．10cm
2．（3分）如图，在ABC
∠的度数是()
∠=︒，则外角ABD
C
∆中，50
∠=︒，70
A
A．110︒B．120︒C．130︒D．140︒
3．（3分）如图，AD BC
⊥，GC BC
⊥，垂足分别是D、C、F，下列说法中，
⊥，CF AB
错误的是()
A．ABC
∆中，GC是边BC上的高∆中，AD是边BC上的高B．ABC
C．GBC
∆中，CF是边BG上的高∆中，GC是边BC上的高D．GBC
4．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
5．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为4cm 、8cm ，则该等腰三角形的周长是( )
A ．12cm
B ．16cm
C ．16cm 或20cm
D ．20cm
6．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
7．（3分）如图，BE 、CF 是ABC ∆的角平分线，80ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，EB 、CF 相交于D ，则CDE ∠的度数是( )
A ．130︒
B ．70︒
C ．80︒
D ．75︒
8．（3分）下列说法中，正确的个数有( )
①若三条线段中有两条线段之和大于第三条线段，则以这三条线段为边可作一个三角形； ②一个三角形中，至少有一个角不小于60︒；
③三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角；
④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180︒．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．（3分）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下
去，则第10个图形需要黑色棋子的个数是( )
A ．140
B ．120
C ．99
D ．86
10．（3分）如图，BD 、BE 分别是ABC ∆的高线和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH BE
⊥交BD 于点G ，交BC 于点H ．下列结论：①1()2
F BAC C ∠=∠-∠；②1()2
BEF BAF C ∠=∠+∠； ③2FGD ABE C ∠=∠+∠；④DBE F ∠=∠．其中正确的个数是( )
A ．①②④
B ．①②③
C ．②③④
D ．①②③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）五边形的内角和是 ，外角和是 ，对角线有 条． 12．（3分）三角形的两边长分别为3和5，那么第三边a 的取值范围是 ．
13．（3分）如图，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为 ．
14．（3分）已知，AD 是ABC ∆的高，80BAD ∠=︒，20CAD ∠=︒，则BAC ∠= ．
15．（3分）如图，ABC ∆中，D 是AB 的中点，且:3:1AE CE =，1CEP S ∆=，则BPC S ∆= ．
16．（3分）一个锐角三角形，所有内角的度数均为正整数，且最小角是最大角的15
，则这个锐角三角形三个内角的度数为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程组（不等式组）:
（1）解方程组37251x y x y -=⎧⎨+=-⎩
；
（2）解不等式组239
3
122
x x +<⎧⎪⎨--⎪⎩，并在数轴上表示解集． 18．（8分）如图，在ABC ∆中，B ∠的平分线BD 交AC 边于点D ，点E 在CA 的延长线上，
128BAE ∠=︒，48C ∠=︒，试求BDE ∠的度数．
19．（8分）某校组织七年级同学到教育基地学习，在安排男生宿舍时如果每间宿舍住4人，则还剩20人未住下，如果每间宿舍住8人，则没有空房，且有一间宿舍未住满，求该校七年级有多少名男生参加学习？
20．（8分）如图，每个小正方形的边长为1，三角形ABC 的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上．
（1）平移三角形ABC ，使顶点A 平移到点D 的位置，得到三角形DEF ，画出三角形DEF （点B 的对应点为点)E ；
（2）若50A ∠=︒，在（1）中所作的图中，求出直线AC 与直线DE 相交所得的锐角的度数，并说明理由；
（3）线段AB 扫过的面积为 ．
21．（8分）如图，ABC ∆中，2B C ∠=∠，AE 平分BAC ∠．
（1）若AD BC ⊥于D ，35C ∠=︒，求DAE ∠的大小；
（2）若EF AE ⊥交AC 于F ，求证：2C FEC ∠=∠．
22．（10分）某公司为员工配备办公用品，计划购买A 、B 两种计算器共100个，要求A 种计算器数量不低于B 种的14，且不高于B 种的13．已知A 、B 两种计算器的单价分别是150元/个、100元/个，设购买A 种计算器x 个．
（1）用含x 的代数式表示购买这两种计算器所需费用y = （元)；
（2）请求出A 种计算器可购买的最大数量；
（3）由于市场行情波动，实际购买时，A 种计算器单价下调了3(0)m m >元/个，同时B 种计算器单价上调了2m 元/个，公司预计用12000元至12500元购买这100个计算器，在（2）的结论下，当A 种计算器购买最多时，求整数m 的最大值．
23．（10分）（1）如图1，四边形ABCD 中，ABC ∠和BCD ∠的平分线交于点P ，已知140A D ∠+∠=︒，求P ∠的度数；
（2）如图2，在四边形ABCD 中，ABC ∠和ADC ∠外角的三等分线交于点P ，已知3ABC ABP ∠=∠，3ADE ADP ∠=∠，请写出A ∠、C ∠与P ∠的数量关系，并证明；
（3）如图3，E 在CD 边的延长线上，F 在AD 边的延长线上，BAD ∠和DEF ∠的平分线交于点P ，请直接写出B ∠、C ∠、F ∠、P ∠的数量关系： ．
24．（12分）如图1，平面直角坐标系中，(,0)A a ，(0,)B b ，(1,3)C --，AC 交y 轴于D 点，BC 交x 轴于E 23(2)0a b --=．
（1）求ABC ∆的面积和D 点坐标；
（2）如图2，M点在x轴上，直线DM交线段AB于N点，若
17
8
BCN
S
∆
=，求M点坐标；
（3）如图3，G点在线段OA上，H点在线段AB上，BGHα
∠=，OBG
∠和AHG
∠的平
分线交于P点，当P
∠变化的过程中，始终有
OAB
P
∠
∠
为定值，求α的值．
2020-2021学年湖北省武汉二中广雅中学八年级（上）训练数学
试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）有4cm和6cm的两根小棒，请你再找一根小棒，并以这三根小棒为边围成一个三角形，下列长度的小棒可选的是()
A．1cm B．2cm C．7cm D．10cm
【分析】根据三角形的三边关系可得64
<+，再解不等式可得答
-<第三根小棒的长度64
案．
【解答】解：设第三根小棒的长度为xcm，
由题意得：6464
-<<+，
x
解得：210
<<，
x
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．角形的两边差小于第三边．
2．（3分）如图，在ABC
∠的度数是()
∠=︒，则外角ABD
C
∠=︒，70
∆中，50
A
A．110︒B．120︒C．130︒D．140︒
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：由三角形的外角性质的，5070120
ABD A C
∠=∠+∠=︒+︒=︒．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
3．（3分）如图，AD BC
⊥，垂足分别是D、C、F，下列说法中，
⊥，CF AB
⊥，GC BC
错误的是()
A．ABC
∆中，GC是边BC上的高∆中，AD是边BC上的高B．ABC
C．GBC
∆中，CF是边BG上的高∆中，GC是边BC上的高D．GBC
【分析】根据三角形的高线的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、AD BC
⊥，
∴∆中，AD是边BC上的高正确，故本选项错误；
ABC
B、AD是ABC
∆的边BC上的高，GC不是，故本选项正确；
⊥，
C、GC BC
∴∆中，GC是边BC上的高正确，故本选项错误；
GBC
D、CF AB
⊥，
∴∆中，CF是边BG上的高正确，故本选项错误．
GBC
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的高，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．4．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
【分析】根据三角形的稳定性即可解决问题．
【解答】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
5．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为4cm、8cm，则该等腰三角形的周长是()
A ．12cm
B ．16cm
C ．16cm 或20cm
D ．20cm
【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
【解答】解：当腰长为4cm 时，448cm +=，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为8cm 时，符合三边关系，其周长为88420cm ++=．
故该三角形的周长为20cm ．
故选：D ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目
一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
【解答】解：多边形的外角和是360︒，根据题意得：
180(2)3360n ︒-=⨯︒
解得8n =．
故选：C ．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方
程的问题来解决．
7．（3分）如图，BE 、CF 是ABC ∆的角平分线，80ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，EB 、CF 相交于D ，则CDE ∠的度数是( )
A ．130︒
B ．70︒
C ．80︒
D ．75︒
【分析】由BE 、CF 是ABC ∆的角平分线，80ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，根据角平分线的定义，可求得EBC ∠与FCB ∠的度数，然后又三角形外角的性质，求得CDE ∠的度数．
【解答】解：BE 、CF 是ABC ∆的角平分线，80ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，
1402CBE ABC ∴∠=∠=︒，1302
FCB ACB ∠=∠=︒， 70CDE CBE FCB ∴∠=∠+∠=︒．
故选：B ．
【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义，注意掌握数形结合思想的应用．
8．（3分）下列说法中，正确的个数有( )
①若三条线段中有两条线段之和大于第三条线段，则以这三条线段为边可作一个三角形； ②一个三角形中，至少有一个角不小于60︒；
③三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角；
④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180︒．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【分析】分别根据三角形的三边关系，三角形的内角和定理，三角形的外角性质以及多边形的内角和公式逐一判断即可．
【解答】解：①若三条线段中有两条线段之和大于第三条线段，则以这三条线段为边可作一个三角形，说法错误；改正为：若任意两条线段之和大于第三条线段，则以这三条线段为边可作一个三角形；
②一个三角形中，至少有一个角不小于60︒，说法正确；
③三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，说法正确；
④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180︒，说法正确． 所以正确的个数有3个．
故选：C ．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，三角形的内角和定理，多边形的内角与外角以及三角形的外角性质，熟记相关知识是解答本题的关键．
9．（3分）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下
去，则第10个图形需要黑色棋子的个数是( )
A ．140
B ．120
C ．99
D ．86
【分析】结合图形，发现：第1个图形中黑色棋子的个数是233⨯-；第2个图形中黑色棋子的个数是344⨯-；依此类推即可求解．
【解答】解：第10个图形需要黑色棋子的个数是111212120⨯-=（个)． 故选：B ．
【点评】此题要能够根据多边形的周长的方法进行计算，注意每个顶点的重复．
10．（3分）如图，BD 、BE 分别是ABC ∆的高线和角平分线，点F 在CA 的延长线上，FH BE ⊥交BD 于点G ，交BC 于点H ．下列结论：①1
()2F BAC C ∠=∠-∠；②
1
()2
BEF BAF C ∠=∠+∠； ③2FGD ABE C ∠=∠+∠；④DBE F ∠=∠．其中正确的个数是
( )
A ．①②④
B ．①②③
C ．②③④
D ．①②③④
【分析】①根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③证明DBE BAC C ∠=∠-∠，根据①的结论，证明结论正确； ④根据BD FD ⊥，FH BE ⊥和FGD BGH ∠=∠，证明结论正确； 【解答】解：
BD FD ⊥，
90FGD F ∴∠+∠=︒，
FH BE ⊥，
90BGH DBE ∴∠+∠=︒， FGD BGH ∠=∠，
DBE F ∴∠=∠，故④正确； BE 平分ABC ∠，
ABE CBE ∴∠=∠，
BEF CBE C ∠=∠+∠， 22BEF ABC C ∴∠=∠+∠， BAF ABC C ∠=∠+∠，
2BEF BAF C ∴∠=∠+∠，即1
()2
BEF BAF C ∠=∠+∠，故②正确；
AEB EBC C ∠=∠+∠， ABE CBE ∠=∠， AEB ABE C ∴∠=∠+∠， BD FC ⊥，FH BE ⊥， FGD FEB ∴∠=∠，
FGD CBE C ABE C ∴∠=∠+∠=∠+∠，故③错误， 90ABD BAC
∠=︒-∠，9090DBE ABE ABD ABE BAC CBD DBE BAC ∠=∠-∠=∠-︒+∠=∠-∠-︒+∠，
90CBD C ∠=︒-∠，
DBE BAC C DBE ∴∠=∠-∠-∠，
DBE F ∠=∠，
F BAC C DBE ∴∠=∠-∠-∠， 1
()2
F BAC C ∴∠=∠-∠；故④正确；
故选：A ．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）五边形的内角和是 540︒ ，外角和是 ，对角线有 条． 【分析】利用多边形内角和公式和对角线总条数计算公式进行计算即可．
【解答】解：五边形的内角和是180(52)540
︒⨯-=︒，外角和是360︒，
对角线条数：5(53)
5
2
⨯-
=．
故答案为：540︒；360︒；5．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形内角和公式：
180(2)(3
n n
︒-且n为整数），对角线总条数计算公式：
(3)
(3
2
n n
n
-
，且n为整数）．
12．（3分）三角形的两边长分别为3和5，那么第三边a的取值范围是28
a
<<．【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系：5335
a
-<<+，
解得：28
a
<<．
故答案为：28
a
<<．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，题目比较基础，只要掌握三角形的三边关系定理即可．
13．（3分）如图，则A B C D E F
∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为360︒．
【分析】连接AD，利用三角形内角和定理可得12
B C
∠+∠=∠+∠，然后利用四边形内角和为360︒可得答案．
【解答】解：连接AD，
在AOD
∆和BOC
∆中，
AOD BOC
∠=∠，
12
B C
∴∠+∠=∠+∠，
12
B C BAF EDF BAF EDF EDA FAD
∴∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠，
360
EDA FAD E F
∠+∠+∠+∠=︒，
360
BAF EDF B C E F
∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，
故答案为：360︒．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握四边形内角和为360︒． 14．（3分）已知，AD 是ABC ∆的高，80BAD ∠=︒，20CAD ∠=︒，则BAC ∠= 100︒或60︒ ． 【分析】分高AD 在ABC ∆内部和外部两种情况讨论求解即可． 【解答】解：①如图1，当高AD 在ABC ∆的内部时， 8020100BAC BAD CAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒；
②如图2，当高AD 在ABC ∆的外部时， 802060BAC BAD CAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
综上所述，BAC ∠的度数为100︒或60︒． 故答案为：100︒或60︒．
【点评】本题考查了三角形的高线，难点在于要分情况讨论．
15．（3分）如图，ABC ∆中，D 是AB 的中点，且:3:1AE CE =，1CEP S ∆=，则BPC S ∆= 4 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，得到ADC BCD S S ∆∆=，PAD PBD S S ∆∆=，进一步得到BPC APC S S ∆∆=，结合同高不等底的三角形面积关系求出3AEP S ∆=，
即可求得4APC S ∆=，得到BPC ∆的面积为4． 【解答】解：连接PA ，
D 是AB 的中点，
ADC BCD S S ∆∆∴=，PAD PBD S S ∆∆=， BPC APC S S ∆∆∴=，
:3:1AE CE =，1CEP S ∆=， 33AEP CEP S S ∆∆∴==， 4APC S ∆∴=， 4BPC S ∆∴=，
故答案为4．
【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握等底同高的三角形面积的关系，不等底的三角形面积关系是解题的关键．
16．（3分）一个锐角三角形，所有内角的度数均为正整数，且最小角是最大角的1
5
，则这
个锐角三角形三个内角的度数为 17︒，78︒，85︒ ．
【分析】设最小角是x ，则可以表示出另外两个角，根据角之间的大小关系可列不等式，解不等式即可得到这个三角形的最大角的度数．
【解答】解：设最小角是x ，则最大角是5x ，中间一个是18051806x x x --=-， 该三角形是锐角三角形，
1806590x x x ∴︒-<︒，
4
16
1811
x ∴<， 17x ∴=︒， 585x ∴=︒．
∴这个锐角三角形三个内角的度数为17︒，78︒，85︒．
故答案为：17︒，78︒，85︒．
【点评】此题主要考查三角形内角和定理，关键是正确表示出三个角． 三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解方程组（不等式组）: （1）解方程组37251x y x y -=⎧⎨+=-⎩
；
（2）解不等式组2393122
x x +<⎧⎪
⎨--⎪⎩，并在数轴上表示解集．
【分析】（1）①5⨯+②能求出x ，把x 的值代入①求出y 即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）37251x y x y -=⎧⎨+=-⎩
①
②，
①5⨯+②得：1734x =， 解得：2x =，
把2x =代入①得：67y -=， 解得：1y =-，
所以原方程组的解为2
1x y =⎧⎨=-⎩
；
（2）2393122
x x +<⎧⎪⎨--⎪⎩①
②，
解不等式①得：3x <， 解不等式②得：2x -，
∴不等式组的解集为23x -<，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，解二元一次方程组的应用，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键．
18．（8分）如图，在ABC ∆中，B ∠的平分线BD 交AC 边于点D ，点E 在CA 的延长线上，128BAE ∠=︒，48C ∠=︒，试求BDE ∠的度数．
【分析】结合图形根据三角形的外角的性质，先求ABC ∠的度数，运用角平分线的定义求CBD ∠，再根据三角形的外角的性质求解．
【解答】解：1284880ABC BAE C ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 1
402
CBD ABC ∠=∠=︒，
484088BDE C CBD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质和角平分线的定义，属于基础题型．
19．（8分）某校组织七年级同学到教育基地学习，在安排男生宿舍时如果每间宿舍住4人，则还剩20人未住下，如果每间宿舍住8人，则没有空房，且有一间宿舍未住满，求该校七年级有多少名男生参加学习？
【分析】设共有x 间男生宿舍，则该校七年级有(420)x +名男生参加学习，根据“如果每间宿舍住8人，则没有空房，且有一间宿舍未住满”，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出x 的取值范围，再结合x 为正整数即可得出结论．
【解答】解：设共有x 间男生宿舍，则该校七年级有(420)x +名男生参加学习， 依题意，得：4208(1)4208x x x x +>-⎧⎨+<⎩
，
解得：57x <<． 又
x 为正整数，
6x ∴=， 42044x ∴+=．
答：该校七年级有44名男生参加学习．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
20．（8分）如图，每个小正方形的边长为1，三角形ABC 的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上．
（1）平移三角形ABC ，使顶点A 平移到点D 的位置，得到三角形DEF ，画出三角形DEF （点B 的对应点为点)E ；
（2）若50A ∠=︒，在（1）中所作的图中，求出直线AC 与直线DE 相交所得的锐角的度数，
并说明理由；
（3）线段AB 扫过的面积为 10 ．
【分析】（1）分别作出B ，C 的对应点E ，F 即可． （2）利用平行线的性质解决问题即可． （3）根据平行四边形的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）如图，三角形DEF 即为所求． （2）//DE AB ， 150A ∴∠=∠=︒，
∴直线AC 与直线DE 相交所得的锐角的度数为50︒．
（3）2510ABED S =⨯=平行四边形， 故答案为10．
【点评】本题考查平移变换，平行线的性质，平行四边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）如图，ABC ∆中，2B C ∠=∠，AE 平分BAC ∠． （1）若AD BC ⊥于D ，35C ∠=︒，求DAE ∠的大小； （2）若EF AE ⊥交AC 于F ，求证：2C FEC ∠=∠．
【分析】（1）首先计算出B ∠，BAC ∠的度数，然后可得37.5EAC ∠=︒，再根据直角三角形两锐角互余可得DAC ∠的度数，进而可得答案；
（2）首先证明DAE FEC ∠=∠，然后再根据三角形内角和定理可得3
902EAC C ∠=︒-∠，再
利用角之间的和差关系可得DAE DAC EAC ∠=∠-∠，利用等量代换可得1
2
DAE C ∠=∠，进
而可得结论．
【解答】（1）解：35C ∠=︒，2B C ∠=∠， 70B ∴∠=︒， 75BAC ∴∠=︒，
AE 平分BAC ∠，
37.5EAC ∴∠=︒， AD BC ⊥， 90ADC ∴∠=︒， 55DAC ∴∠=︒，
5537.517.5DAE ∴∠=︒-︒=︒；
（2）证明：EF AE ⊥， 90AEF ∴∠=︒， 90AED FEC ∴∠+∠=︒， 90DAE AED ∠+∠=︒， DAE FEC ∴∠=∠，
AE 平分BAC ∠，
1113
(180)(1803)902222
EAC BAC B C C C ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒-∠=︒-∠，
DAE DAC EAC ∠=∠-∠，
331
(90)9090222DAE DAC C C C C ∴∠=∠-︒-∠=︒-∠-︒+∠=∠，
1
2
FEC C ∴∠=∠，
2C FEC ∴∠=∠．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和为180︒，直角三角形两锐角互余．
22．（10分）某公司为员工配备办公用品，计划购买A 、B 两种计算器共100个，要求A 种计算器数量不低于B 种的
1
4
，且不高于B 种的13．已知A 、B 两种计算器的单价分别是150
元/个、100元/个，设购买A 种计算器x 个．
（1）用含x 的代数式表示购买这两种计算器所需费用y = 5010000x + （元)； （2）请求出A 种计算器可购买的最大数量；
（3）由于市场行情波动，实际购买时，A 种计算器单价下调了3(0)m m >元/个，同时B 种计算器单价上调了2m 元/个，公司预计用12000元至12500元购买这100个计算器，在（2）的结论下，当A 种计算器购买最多时，求整数m 的最大值．
【分析】（1）设购买A 种计算器x 个，则购买B 种计算器(100)x -个，根据总价=单价⨯数量，即可得出y 与x 之间的函数关系式； （2）根据“购买A 种计算器数量不低于B 种的
1
4
，且不高于B 种的13”，即可得出关于x 的
一元一次不等式组，解之取其最大值即可得出结论；
（3）根据总价=单价⨯数量结合公司预计用12000元至12500元购买这100个计算器，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买A 种计算器x 个，则购买B 种计算器(100)x -个，
∴购买这两种计算器所需费用150100(100)5010000y x x x =+-=+．
故答案为：5010000x +．
（2）依题意，得：1 (100) 4
1
(100)
3
x x
x x
⎧
-
⎪⎪
⎨
⎪-
⎪⎩
，
解得：2025
x．
答：A种计算器可购买的最大数量为25个．
（3）依题意，得：
25(1503)(10025)(1002)12000
25(1503)(10025)(1002)12500
m m
m m
⨯-+-⨯+
⎧
⎨
⨯-+-⨯+
⎩
，
解得：
2
1016
3
m．
又m为正整数，
m
∴可以取的最大值为16．
答：整数m的最大值为16．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．23．（10分）（1）如图1，四边形ABCD中，ABC
∠和BCD
∠的平分线交于点P，已知140
A D
∠+∠=︒，求P
∠的度数；
（2）如图2，在四边形ABCD中，ABC
∠和ADC
∠外角的三等分线交于点P，已知3
ABC ABP
∠=∠，3
ADE ADP
∠=∠，请写出A
∠、C
∠与P
∠的数量关系，并证明；
（3）如图3，E在CD边的延长线上，F在AD边的延长线上，BAD
∠和DEF
∠的平分线交于点P，请直接写出B
∠、C
∠、F
∠、P
∠的数量关系：2180
F B C P
∠+∠+-∠=︒．【分析】（1）先由四边形内角和定理求出220
ABC DCB
∠+∠=︒，再由角平分线定义得出110
PBC PCB
∠+∠=︒，最后根据三角形内角和定理求出70
P
∠=︒即可；
（2）设ABP x
∠=，ADP y
∠=，可得3
ABC x
∠=，3
ADE y
∠=，由“8”字形可得
x y P A -=∠-∠，根据四边形内角和定理可得出32180P A C ∠-∠+∠=︒；
（3）设BAP FAP x ∠=∠=，CEP FEP y ∠=∠=，由“8”字形可得x y F P -=∠-∠，根据四边形内角和定理可得出2180F B C P ∠+∠+∠-∠=︒．
【解答】解：（1）360A ABC BCD D ∠+∠+∠+∠=︒，且140A D ∠+∠=︒，
360()360140220ABC BCD A D ∴∠+∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， PB ，PC 分别是ABC ∠和BCD ∠的平分线，
110PBC PCB ∴∠+∠=︒，
180()18011070P PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒；
（2）设ABP x ∠=，ADP y ∠=，则3ABC x ∠=，3ADE y ∠=，
由“8”字形可得A x P y ∠+=∠+，
x y F P ∴-=∠-∠，
31803360A x C y ∠++∠+︒-=︒，
3()180A P A C ∴∠+∠-∠+∠=︒，
32180P A C ∴∠-∠+∠=︒；
（3）设BAP FAP x ∠=∠=，CEP FEP y ∠=∠=，
由“8”字形可得P x F y ∠+=∠+，
x y F P ∴-=∠-∠，
36021802ADC B C x EDF F y ∠=︒-∠-∠-=∠=︒-∠-，
180220B C x y F ∴︒-∠-∠-++∠=，即1802()0B C F P F ︒-∠-∠-∠-∠+∠=
2180F B C P ∴∠+∠+-∠=︒．
【点评】此题主要考查了四边形内角和定理，三角形的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180︒；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．
24．（12分）如图1，平面直角坐标系中，(,0)A a ，(0,)B b ，(1,3)C --，AC 交y 轴于D 点，
BC 交x 轴于E 2(2)0b -=．
（1）求ABC ∆的面积和D 点坐标；
（2）如图2，M 点在x 轴上，直线DM 交线段AB 于N 点，若178
BCN S ∆=，求M 点坐标； （3）如图3，G 点在线段OA 上，H 点在线段AB 上，BGH α∠=，OBG ∠和AHG ∠的平
分线交于P 点，当P ∠变化的过程中，始终有OAB P
∠∠为定值，求α的值．
【分析】（1）利用非负数的性质求出a ，b 的值，再利用分割法求出三角形的面积即可．
（2）首先证明14
BN AB =，推出点N 的坐标，利用面积法求出AM 的长即可解决问题． （3）如图3中，由题意可以假设OBG PBG x ∠=∠=，AHP GHP y ∠=∠=．由()P x y α∠=-+，90(2)OAB x y α∠=+︒-+，因为当P ∠变化的过程中，始终有OAB P ∠∠为定值，推出902αα+︒=可得结论．
【解答】解：（1）
23(2)0a b --=， 又30a -，2(2)0b -，
3a ∴=，2b =，
(3,0)A ∴，(0,2)B ， (1,3)C --，
11117451523342222
ABC S ∆∴=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， 1()2ABC A C S BD x x ∆=
-， 174
BD ∴=， 94OD BD OB ∴=-=
， 9(0,)4
D ∴．
（2）如图2中，作NJ OA ⊥于J ．
17184BCN ABC S S ∆∆==， 14BN AB ∴=， 3(4N ∴，3)2
， 331171533442432
ADN ABD S S ∆∆∴==⨯⨯⨯=， ∴139153()22432
AM +=， 5120
AM ∴=， 51932020OM OA AM ∴=-=-
=． 9(20
M ∴，0)．
（3）如图3中，由题意可以假设OBG PBG x ∠=∠=，AHP GHP y ∠=∠=．
BGH PBG PHG P ∠=∠+∠+∠，
x y P α∴=++∠，
()P x y α∴∠=-+，
OGH GHA OAB ∠=∠+∠，
9022x y OAB α∴-+=+∠，
90(2)OAB x y α∴∠=+︒-+，
当P ∠变化的过程中，始终有
OAB P
∠∠为定值， 902αα∴+︒=，
90α∴=︒． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，三角形内角和定理，解题的关键是学会利用面积法解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。