高中数学必修一311《方程的根与函数的零点》(新人教版A)精品PPT课件
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求函数零点的方法：
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度：即是函数f(x)的图象与x轴
的交点的横坐标
求函数零点的方法：
(1) 方程法：
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度：即是函数f(x)的图象与x轴
的交点的横坐标
求函数零点的方法：
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1） 和图象（图3.1—3）
x
1
2
5
.4
.
它与x轴只有一个交点，所以 方程x2 ＝4x－4有两个相等的实 数根。
3 2
1
. －1 0 1 2 3 4 x
1(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5
1(4)解：5x2 +2x＝3x2 &#x－5＝0，令f(x)=2x2＋
4 3
2x－5 , 作出函数f(x)的图象，
. 2. 1
(1) 方程法： 解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度：即是函数f(x)的图象与x轴
的交点的横坐标
求函数零点的方法：
(1) 方程法： 解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点 (2) 图象法：
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值
.1
.
f(－2)·f(1) __<____0(<或>)。
－2 －1 0 1 2 3 4 x －1
在[2,4]上，我们发现函数f(x)在区间（2,4)内有零点
－2 －3
x＝ _3___，有f(2)__<__0,f(4) _>__ 0得到
. －4
f(2)·f(4) <____ 0（<或>)。
思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度：
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值
"形"的角度：即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值
"形"的角度：即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标
1(1) －x2＋3x＋5＝0
1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5, 作出函数f(x)的图象，如下：
它与x轴有两个交点，所以
y
8.
6.
.
4
方程－x2＋3x＋5＝0有两个不
2
相等的实数根。
.
.
－2 －1 0 1 2 3 4 x
1(2) 2x(x－2)＝－3
1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为 2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x
y
.. 5
＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下： 3 . 4 .
它与x轴没有交点，所以方程
2 1
.
2x(x－2)＝－3无实数根。
－1 0 1 2 3 x
1(3) x2 ＝4x－4
1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x
y
＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出 . 6
.
函数f(x)的图象，如下：
x1=x2=1 (1,0)
无实数根 无交点
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等
(a≠0)的根
的实数根x1 、x2
y
函数y= ax2 +bx
+c(a≠0)的图象
x1 0
x2 x
有两个相等的 实数根x1 = x2
y
0 x1 x
△＜0 没有实数根
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
"形"的角度：即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标
求函数零点的方法：
(1) 方程法： 令方程f(x)=0, 解得y=f(x)的零点 (2) 图象法： 画出函数y=f(x)的图象, 其图象
与x轴交点的横坐标是函数y= f(x)的零点
练习：
1.利用函数图象判断下列方程有没实根： （1）－x2＋3x＋5＝0； （2）2x(x－2)＝－3； （3） x2 ＝4x－4； （4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么， 函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
注意:
1、图像是连续不断的曲线
a b
例题1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
如下：
. . －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
x
－1
它与x轴有两个交点，所以
－2 －3
方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不
－4
.－5
相等的实数根。
－6
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
y
.
.
在[－2,1]上，我们发现函数f(x)在区间（-2,1)内有零
2
点x＝ _-_1___,有f(－2)__>__0, f(1)__<__0得到
数零点是否存在某种关系？
观察对数函数f(x)=lgx的图象:
y
在[0.5 , 2.5] 内 f(0.1) __<___0， f(2) __>__ 0
1
f(0.1)·f(2) ___<___0(<或>) 函数f(x)在（0.1 , 2) 内有一个零点
x＝ __1____，.
.
1.
0.
2
x
零点存在性定理：
3.1.1方程的根与函数的零点
等价关系 判断函数零点或相 应方程的根的存在性 例题分析 课堂练习 小结 布置作业
思考：一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
方程 函数
函 数 的 图 象
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0
y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
y
.
2
.
.y
.
.1
.
－1 0 1 2 3
－1
－2 －3
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
y
.5 .4
. .
3 2
.
1
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根 x1=－1,x2=3
函数的图象 与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点。 等价关系
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
对零点的理解：
对零点的理解：
"数"的角度：
对零点的理解：
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度：即是函数f(x)的图象与x轴
的交点的横坐标
求函数零点的方法：
(1) 方程法：
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度：即是函数f(x)的图象与x轴
的交点的横坐标
求函数零点的方法：
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1） 和图象（图3.1—3）
x
1
2
5
.4
.
它与x轴只有一个交点，所以 方程x2 ＝4x－4有两个相等的实 数根。
3 2
1
. －1 0 1 2 3 4 x
1(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5
1(4)解：5x2 +2x＝3x2 &#x－5＝0，令f(x)=2x2＋
4 3
2x－5 , 作出函数f(x)的图象，
. 2. 1
(1) 方程法： 解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度：即是函数f(x)的图象与x轴
的交点的横坐标
求函数零点的方法：
(1) 方程法： 解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点 (2) 图象法：
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值
.1
.
f(－2)·f(1) __<____0(<或>)。
－2 －1 0 1 2 3 4 x －1
在[2,4]上，我们发现函数f(x)在区间（2,4)内有零点
－2 －3
x＝ _3___，有f(2)__<__0,f(4) _>__ 0得到
. －4
f(2)·f(4) <____ 0（<或>)。
思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值 "形"的角度：
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值
"形"的角度：即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值
"形"的角度：即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标
1(1) －x2＋3x＋5＝0
1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5, 作出函数f(x)的图象，如下：
它与x轴有两个交点，所以
y
8.
6.
.
4
方程－x2＋3x＋5＝0有两个不
2
相等的实数根。
.
.
－2 －1 0 1 2 3 4 x
1(2) 2x(x－2)＝－3
1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为 2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x
y
.. 5
＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下： 3 . 4 .
它与x轴没有交点，所以方程
2 1
.
2x(x－2)＝－3无实数根。
－1 0 1 2 3 x
1(3) x2 ＝4x－4
1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x
y
＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出 . 6
.
函数f(x)的图象，如下：
x1=x2=1 (1,0)
无实数根 无交点
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等
(a≠0)的根
的实数根x1 、x2
y
函数y= ax2 +bx
+c(a≠0)的图象
x1 0
x2 x
有两个相等的 实数根x1 = x2
y
0 x1 x
△＜0 没有实数根
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
"形"的角度：即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标
求函数零点的方法：
(1) 方程法： 令方程f(x)=0, 解得y=f(x)的零点 (2) 图象法： 画出函数y=f(x)的图象, 其图象
与x轴交点的横坐标是函数y= f(x)的零点
练习：
1.利用函数图象判断下列方程有没实根： （1）－x2＋3x＋5＝0； （2）2x(x－2)＝－3； （3） x2 ＝4x－4； （4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么， 函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
注意:
1、图像是连续不断的曲线
a b
例题1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
如下：
. . －4 －3 －2 －1 0 1 2 3
x
－1
它与x轴有两个交点，所以
－2 －3
方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不
－4
.－5
相等的实数根。
－6
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
y
.
.
在[－2,1]上，我们发现函数f(x)在区间（-2,1)内有零
2
点x＝ _-_1___,有f(－2)__>__0, f(1)__<__0得到
数零点是否存在某种关系？
观察对数函数f(x)=lgx的图象:
y
在[0.5 , 2.5] 内 f(0.1) __<___0， f(2) __>__ 0
1
f(0.1)·f(2) ___<___0(<或>) 函数f(x)在（0.1 , 2) 内有一个零点
x＝ __1____，.
.
1.
0.
2
x
零点存在性定理：
3.1.1方程的根与函数的零点
等价关系 判断函数零点或相 应方程的根的存在性 例题分析 课堂练习 小结 布置作业
思考：一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
方程 函数
函 数 的 图 象
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0
y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
y
.
2
.
.y
.
.1
.
－1 0 1 2 3
－1
－2 －3
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
y
.5 .4
. .
3 2
.
1
－1 0 1 2 3 x
方程的实数根 x1=－1,x2=3
函数的图象 与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点。 等价关系
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
对零点的理解：
对零点的理解：
"数"的角度：
对零点的理解：