简谐振动的特征及其描述

机械振动
本章内容
简谐振动的特征及其描述 characteristic and describe of simple harmonic motion 简谐振动的能量 energy of simple harmonic motion 简谐振动的合成 compose of simple harmonic motion
t
由简谐振动方程 x = A cos (w t﹢j ) = 0 时 0.06 = 0.12 cos j 得 j =±p / 3
再由题意知 t = 0 时物体正向运动，即 且
A p/3
，则 j 在第四象限，故取j =
0
将 A = 0.12 m，T = 2 s ,
j=
p / 3 rad 及 t = 0 .5 s 代入谐振动的 x, v, a 定义式得 x A cos (w t﹢j ) 0.104 (m) 0.19 ( m · -1 ) s A
续上
A
A
简谐振动的速度
A
A
简谐振动的加速度
A
A
最大 最大 最大
A
A
简谐振动参量
振幅 A ： 的最大绝对值 完成一次振动需时 周期 ： 频率 ： 角频率 ：
弹簧振子 单 摆 是界定振子在时刻 和速度 同时描述，而 和 的运动状态的物理量 的正负取决于
X
A
相位 ：
运动状态要由位置
A
A
初相
所谓 初始条件即为
m k
0.2 (rad · –1) s
x0
2
v0
0.2
2 (m) (SI)
v0
w
某物体沿
振幅 X 轴作简谐运动， 例四 A = 0.12 m，
周期 T = 2 s，t = 0 时 物体背离原点移动到位置 x0 = 0.06 m处 初相 j , t = 0 .5 s 时的位置 x, 速度 v, 加速度 a
机械振动 往复运动。如声源的振动、钟摆的摆动等。
第一节 引言 物体在它的平衡位置附近所作的
17物体受到始终指向平衡位置的回复力； 1
物体具有惯性。
物体发生机械振动的条件：
characteristic and describe of 掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。 simple harmonic motion
振动相位
wt t w t A ww t
A
jj
O
(w t﹢j )
M(t )
M(t )
M(t ) 矢量端点 在X 轴上 的投影对 M ( t ) 应振子的 位置坐标
X
A
A
旋转矢量端点 M 作匀速圆周运动
其 速率
续上
w
X
wA
振子的运动速度（与 X 轴同向为正）
wA
wt j
w A w A
和
wt j
O
A
旋转矢量端点 M 的加速度为 法向加速度，其大小为
0.04
p
p
2
A 从 t = 0 作反时针旋转时，
矢端的投影从x=0向X轴的负方运动， 即 v0 ，与 已知 X~ t 曲线一致。
SI
试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧 振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。
选取受力平衡点作为位置坐标原点 小球在为置坐标 处所受弹性力
合外力 平衡点
处 向平衡点运动
A
用旋转矢量法 两质点振动相位差 两质点第一次通过 平衡点的时刻
1.06 (s)
A 转过
时，质点2第一次通过平衡点
2.13(s)
振子的运动加速度（与 X 轴同向为正）
任一时刻的 和 值， 其正负号仅表示方向。
wt j
O
同号时为加速 异号时为减速
X
A
A
例一
简谐振动的 曲线
0.04
1 0.04 2
完成下述简谐振动方程
w
A = 0.04 (m) T = 2 (s)
v0
t=0 A =p/2
w = 2 p / T = p (rad /s )
w = 2p / T = p rad · -1 , s
A
1.03 ( m · -2 ) s
例五 Acos
两质点 1、2
同在 X 轴上作简谐振动
A
或
cos
A A
因 且
振幅 A 相同
周期均为 T = 8.5s t=0时
在 A 处 质点1 向平衡点运动
在第一象限 应取
Acos
A
质点2 在
cos
两质点振动相位差 从旋转矢量图可以看出： 时，质点1第一次通过平衡点 A 转过
简谐振动（simple harmonic vibration) 是最简单、
最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的 重要基础。这里主要讨论简谐振动。
动力学特征
正X向
反X向
X
水平光滑面，弹簧劲度
物体在任一位 置受的弹性力
质量可忽略，物体质量
以物体受力为零的平衡位置为坐标原点
以铅垂方向
为摆角参考轴线， 单摆在任一角位置
小球 在受力平衡点 受弹性力大小
例二
动力学方程
微分方程
的解：
振动方程
A
均与水平弹簧振子结果相同
m = 5×10 -3 kg 例三 弹簧振子 k = 2×10 -4 N· -1 m s t = 0 时 x0 = 0 v0 = 0.4 m· -1
完成下述简谐振动方程
已知 x0 = 0 v0 相应的旋转矢量图为
取摆幅很小
所受的重力矩为
则
运动学特征
X
对于给定的弹簧振子 则 得 该微分方程的解 通常表成余弦函数 为常量，其比值亦为常量。令 即
简谐振动微分方程
A A
简谐振动方程
A
为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。
简谐振动的速度 简谐振动的加速度
A
应用转动定律，同理也可求得单摆的角振动方程
简谐振动的振动方程
（第三象限） 若 且 则 若 且 则 （第一象限） （第四象限）
若 且
则
旋转矢量法
简谐振动方程
x = A cos (w t﹢j ) 旋转矢量 A
M M(t )M(t ) (t )
循环往复 M ((T )) 周期 T M (0 0 初相 j 初相 X
wt 以匀角速 wt 逆时针转动 M ( t ) w t wt wT t 时刻的
A
时，振子的相位。
，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。 时质点的运动状态 位置 速度
：是
A
A
由
和
求给定振子的振幅 A
续上
A
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
由 和
消去 得 求给定振子的初相
A A
消去 A 得
但由于 在 0 ~ 2p 范围内，同一正切值对应有两个 值，因此，还必须 再根据 和 的正负进行判断。联系振子运动状态直观图不难作出判断 若 则 且 （第二象限）