数控技术几何参数描述

要根据端点边界条件补充两个方程，才能完全确定
方程的解。
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（三）端点条件 给定两端点处的曲率，可得到两个补充方程
b G 3
0
1
0
0
b G 3
N 1
N
N
N
3 1 0 0
1
3
1
1
0
0
bb GG 0
0 0 1 1
0 1
b G
圆弧样条的构造方法
• 圆弧样条是已知型值点Pi （xi,yi）(i=1,2,...,n),过每 一个Pi点作一段圆弧，且 使相邻圆弧在相邻节点 （如Pi和Pi+1）的弦平分 线上相交并相切，则使整 条曲线在各连接点处达到 位置和切线的连续。如图 所示，圆弧段分别过点 P1,P2,...,Pn-1,Pn，过点 P1及P2的两段圆弧在 P1P2弦平分线上相交并相 切。这就是圆弧样条的构 造方法。
过程。
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• 如图所示，在局部坐标系中， 补加点Pi' 的坐标为
ui'
li1 2
vi'
ui'
tan(
i
i1
4
)
设PiPi+1与参考坐标系中x轴的
夹角为 时，有
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• 在参考坐标系中，补加点Pi' 的坐标为
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二、 三次参数样条
• 这一拟合方法是在给定的每两相邻值点间 建立局部坐标系内的三次曲线方程，通过 迭代使每两个中间型值点左右两端曲线达 到位置及切线连续，且曲线通过型值点。 这样求出来的曲线连续且与实际要求的曲 线误差较小。
• 所谓复杂曲线和曲面，是指形状比较复杂， 不能用二次方程描述的曲线和曲面，一般称 为自由曲线和曲面。
• 复杂曲线和曲面常用一定数量的离散点来描 述，这就需要用数学方法构造出能完全通过， 或比较接近给定点的曲线和曲面，再计算并 拟合曲线或曲面上型值点之间的若干点。
• 现代数控加工理论涉及的曲线和曲面基础包 括：曲线和曲面的参数描述；曲线和曲面的 刀具轨迹生成；曲线和曲面的几何处理（求 交、等距和过渡）等内容。
0
0
N 1
3
1
N 1
N 1
N 1
N 1
0 0
0 1
b G 3
N N
N
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(四) 圆弧样条的适用性和修正方法
• 圆弧样条拟合时，规定过每一型值点Pi（i=0,1,...,n）作一
段圆弧。当曲线转折较大时，如果型值点给得较稀，可能
出现型值点处曲率变号情况，这时拟合出的曲线可能出现
用一系列直线或者圆弧去逼近，这些逼近线段的交点称为 节点。 有些轮廓，在图纸上给出的是一组型值点，而零件要求通 过这些型值点作一条光滑的曲线或曲面---曲线获曲面拟合 ---求出。再根据所作曲线求插补点，以便在数控机床上加 工。
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型值点:通过测量或计算得到的曲线或曲面上
少量描述曲线或曲面几何形状的数据点。
V R cos
i()
i()
i
R 1
i()
i()
L 3
i sec i1 i csc
i1
i
R i1() 4
4
4
U R
sin
i 1( )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
i 1( )
i 1
V R
cos
i 1( )
i 1( )
i 1
R 1
i 1( )
i 1( )
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(二)各型值点处的弦切角
以上所求公切点、圆心坐标和圆半径都是以型值点 处的弦切角为参数，下面确定各型值点处的弦切 角。根据圆弧样条的定义有
i()
i()
3 3 4 cos
i1
i sin
i
i1 4 cos
i
i1 sin
i
i1
Li
4
4
Li1
4
4
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对上式进行恒等变换，可得
b G i
i
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2、圆心及半径
过型值点Pi-1、Pi及 公切点T分别作 圆弧，弦切角分 别为αi-1、βi ， Pi 点的左边和 Pi-1 点的右边圆弧的 圆心、曲率及半 径分别为：，
L 3
i sec i1 i csc
R i() 4
4
i
i 1
4
U L R sin
i()
i
i()
i
Pi-1
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βi
Pi
αi
Pi+1
Ui i
1、公切点的位置
若给定α或β角，可以证
明公切点有无穷多个，
且其轨迹是一段圆弧，
当公切点取在相邻型 值点Pi-1Pi的中垂线上 时，计算简单且各段
圆弧较均匀。如图所 示，公切点T局部坐标 系的坐标为
U
T
Li
2
L
V
i tan T2
i 1
4
3
i 1
(1
i
i)
i 1
i
i
（i=1,2,…..,N-1）
其中：
L L L ( )
i
i1
i
i1
b 3
(1 )
i
ii
i i1
G [( 3 i
i
3 ) 4 cos i1 i sin
i 1
i
4
i
i1]
4
(1
i)[(3
i
)
i1
4
c
os
i
4
i1
s
in
3
i
4
i
1
]
上式中有N-1个方程，却有N+1个未知数，因此需
拐点。为了防止这一现象，通常限制 i和 i的1 比值
1 3
i i 1
3
• 若超出此范围，则可在Pi和Pi+1点之间加密一个点。补加 点可取在Pi、Pi+1处弦切角 i 和i1 组成的三角形内心上， 也可取在PiPi+1的中垂线上。插入补加点后，要重排点的
次序，重新进行计算。下面是补加点在中垂线上时的计算
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（一）圆弧样条的基本算法
对于给定的N+1个型值点,建立N个局部坐标系，其中 第i个坐标系以Pi-1和Pi所在的直线为横轴Ui，过点 且垂直于的直线为纵轴Vi，从图中可以看出过Pi点 的圆弧的线与弦线的夹角满足
i i i
Vi
弦切角按图中规定的 符号，而过Pi点的两 弦之间的夹角由型值 点坐标计算
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为了控制数控机床工作部件的运动（或者数控机械的运 动），需要计算构成零件图样的几何要素----基点和节点。
基点-----对应简单图形，即构成零件图样的一系列线段的 切点和交点。直线与直线、直线与圆弧、圆弧与圆弧。
节点-----对应非圆、非直线的复杂图形： 有些为规则图形，能够用方程表达：---在数控加工中需要
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一、 圆弧样条
• 圆弧样条就是用圆弧这一最简单的二次多项式模 拟样条，分段组成一阶导数连续函数。圆弧样条 是我国在1977年创造的一种拟合方法，在具有圆 弧插补功能的数控系统中，采用圆弧样条可以直 接输出圆弧信息，避免了用其他拟合方法还需进 行二次逼近处理的过程，减少了误差环节。
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