《随机过程》第二章题目与答案

第二章

一、填空题

1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为＿＿、＿＿、＿＿、＿＿四类.

2、＿＿是随机过程{X(t)，t∈T}在时刻t的平均值，＿＿是随机过程在时刻t对均值m x(t)的偏离程度，而＿＿和＿＿则反映随机过程{X(t)，t∈T}在时刻s和t 时的线性相关度.

3、若随机变量x服从（01）分布，即p k=p{x=k}=,k=0,1则其特征函数g(t)=＿＿.

4、若随机变量X服从参数为的指数分布，则其特征函数g(t)=＿＿.

5、若随机变量X服从退化分布，即p(X=c)=1，其中c为常数，则其特征函数g(t)=＿＿.

二、计算题

1、已知Γ分布，X～Γ(α，β)，

若

其中α，β>0，试求Γ分布的特征函数.

2、设随机变量X服从泊松分布,即p k=p(X=k)=,k=0,1,…,n,求其特征函数.

3、设随机过程X(t)=Y+Zt，t>0,其中Y，Z是相互独立的N（0，1）随机变量，求{ X(t)，t>0}的一，二维概率密度族.

4、设随机过程：0),sin()cos(

)(>+=t t Z t Y t X θθ，其中Y 、Z 是相互独立的随机变量，且EY=EZ=0，DY=DZ=δ2，求{X(t)，t>0}的均值函数、协方差函数和方差函数.

5、设随机变量Y 具有概率密度f(y)，令

)0,0(,)(>>=-Y t t X e

Yt

，

求随机过程X(t)的一维概率密度及EX(t)，R x (t 1,t 2).

6、设随机过程Z t =，t 0，其中X 1,X 2,…,X n 是相互独立的，且服从

N(0,

)的随机变量，ω1, ω2,…, ωn 是常数，求{Z t ，t

}的均值函数m(t)和相关函

数R(s,t).

参考答案:

一、填空题

1、离散参数链，连续参数链，随机序列，随机过程

2、均值函数m X(t)，方差函数D X(t)，协方差函数B X(s，t)，相关函数R X(s，t)

3、q+p

4、

5、

二、解答题

1、1、g(t)=

=

=其中：Γ(α)=

2、g(t)= = ===

3、由于X与Z是相互独立的正态随机变量，故其线性组合仍为正态随机变量，要计算{X(t)，t>0}的一、二维随机概率密度，只要计算数字特征m x(t)，D X(t)，即可. m x(t)=E(Y+Zt)=EY+tEZ=0，D X(t)=D(Y+Zt)=DY+t2DZ=1+t2，B X(s,t)=EX(s)X(t)- m x(s) m x(t)=E(Y+Zs)(Y+Zt)=1+st，

==，

故随机过程{X(t)，t>0}的一、二维概率密度分别为

f t(x)=exp{-}，t>0，

f s,t(x1,x2)=.exp{[]}, s,t>0,

其中

4、由数学期望的性质

)sin()cos()]sin()cos([)(=+=+=EZ t EY t t Z t Y E t EX θθθθ又

因为Y 、Z 相互独立，故

]

)cos[()()sin()sin()()cos()cos()]

sin()cos()][sin()cos([)]

()([),(),(σ2

22θθθθθθθθθs t Z E t s Y E t s t Z t Y s Z s Y E t X s X E t s t s R

B

x

X

-=+=++===

DX(t)=

5、有随机变量函数的概率密度公式知：X(t)的一维概率密度：

0,/)/ln ()(/)()()()(>-='='=t tx t x f y x y f x y y f x f

X(t)的均值函数和相关函数为：dy e y f E t EX yt

Yt

e ⎰∞

--==0

)()()( dy y f e e

e

E t X t X E t t R t t y Yt Yt x )(][)]()([),(0

)(2121212

1

⎰

∞

+---=

==

6、m(t)=E(Z t )=E[]=0，

R(s,t)=E(Zs )=E

=

=

=