开普勒第三定律的数学证明

开普勒第三定律的证明

开普勒第三定律说轨道周期的平方 T 2 和轨道的半长轴的三次方 a 3 之比为常数。我们从行星轨道所围成的面积来推导这个结论。

这里顺便推导椭圆的面积公式：

如图，椭圆关于x 轴，y 轴均对称，故所求面积为第一象限部分面积的4倍，即

S =4S 1=4∫ydx a

利用椭圆的参数方程

{x =a cost

y =b sint

应用定积分的换元法dx =−a sint dt ,当x =0时 t =π2;当

x =a 时，t =0 于是

S =4∫bsint (−asint )dt =4ab ∫sin 2tdt =4ab ∫1−cos2t dt =π20π200

π24ab (t −1sin2t )|π20

=π∙a ∙b 几何公式：椭圆面积=π∙a ∙b (a 为半长轴，b 为半短轴) 定积分公式：

椭圆面积=∫d =∫1| 0⃗⃗⃗⃗ || 0⃗⃗⃗⃗ |dt =1 | 0⃗⃗⃗⃗ || 0⃗⃗⃗⃗ | 0 0 两个面积相等可得

=2πab | 0|| 0⃗⃗⃗⃗ |=2πa 2

| 0|| 0⃗⃗⃗⃗ |

∙√1−e 2 (b =a √1−e 2) (式1) 为求a ，利用

|

⃗ |=(1 e)∙| 0⃗⃗⃗⃗ |

令 =π ，得椭圆极半径最大值

|⃗|=1e

|0⃗⃗⃗⃗ |

而长轴

2a=|0⃗⃗⃗⃗ ||⃗|=|0⃗⃗⃗⃗ |1e

|0⃗⃗⃗⃗ |=2

|0⃗⃗⃗⃗ |

半长轴

a=|0⃗⃗⃗⃗ | 1−e

由（式1）平方后，可得

2=

4π2a4

|0⃗⃗⃗⃗ |2|0⃗⃗⃗⃗ |2

∙(1−e2)

即

2

a3=

4π2

|0⃗⃗⃗⃗ |2|0⃗⃗⃗⃗ |2

∙a∙(1−e2)=

4π2

|0⃗⃗⃗⃗ ||0⃗⃗⃗⃗ |2

(1e)=

4π2

GM

(a=

|0⃗⃗⃗⃗ |

1−e

)

对于特定的太阳系，等式

a =4π

GM

右端是常数，这就是开普勒第三定律所要证明的结论。