实变函数(复习资料,带答案)

《实变函数》试卷一
一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）
（A ）1lim n k n n k n A A ∞
∞
→∞
===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞
∞
==→∞
=⋂⋃;
（C ）1lim n k n n k n
A A ∞
∞
→∞
===⋂⋃; （D ）1lim n k n k n
n A A ∞
∞
==→∞
=⋂⋂;
2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='
(D) P P =
3、下列说法不正确的是（ ）
(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B)
{}sup ()n n
f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n
f x 是可测函数;（D ）若
()()n f x f x ⇒,则()f x 可测
5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数
（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)
⎰
-=b a
a f
b f dx x f )()()('
二. 填空题(3分×5=15分)
1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________
2、设E 是[]0,1上有理点全体，则
'
E =______,o
E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都
_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）
5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为
[],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1E R ⊂，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.
3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数 4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则
()0E
f x >⎰
四、解答题（8分×2=16分）. 1、（8分）设2,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数
为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -
可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

2、（8分）求0ln()
lim cos x n x n e xdx n
∞-+⎰
五、证明题（6分×4+10=34分）.
1、（6分）证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c .
2、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

3、（6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4、（6分）设,()mE f x <∞在E 上可积，(||)n e E f n =≥，则
lim 0n n
n me ⋅=.
5、（10分）设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ⊂，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数。

(鲁津定理的逆定理
试卷一 （参考答案及评分标准）
一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D 二、1．∅ 2、[]0,1； ∅ ； []0,1 3、
***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂
4、充要
5、11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭∑成一有界数集。

三、1．错误2分例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密5分
2．错误2分例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集 5分 3．错误例如：设E 是[],a b 上的不可测集，
[],;
(),,;
x x E f x x x a b E ∈⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩
则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数…
4．错误0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E
f x dx =⎰
四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集……..3分因为()f x 是有界可测
函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分 因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]
120,101
()3
f x dx x dx ==⎰⎰ (8)
分
2．解：设ln()()cos x
n x n f x e x n
-+=
，则易知当n →∞时，()0n f x → 2分
又因'
2ln 1ln 0t t
t t -⎛⎫=< ⎪⎝⎭
，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，
ln()ln()ln 3ln 3(1)33
x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++……4分 从而使得ln 3
|()|(1)3
x n f x x e -≤+………………………6分
但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有
lim ()lim ()0n n n
n
f x dx f x dx ∞
∞
==⎰⎰…………………8分
五、1．设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =⋂=⋂
B M B ∴∃⊂是无限集，可数子集 ………………2分 .A A M
M ∴⋃是可数集， (3)
分
(\),(\),()(\),(\),
B M B M E A B A M B M A M B M M B M φφ=⋃=⋃=⋃⋃⋃⋂=⋂=且………..5分
,.E B B c ∴∴=…………………………6分
2．,{},lim n n n x E E x x x →∞
'∀∈=则存在中的互异点列使……….2分
,()n n x E f x a ∈∴≥………………….3分
()()lim ()n n f x x f x f x a →∞
∴=≥在点连续，
x E ∴∈………………5分
E ∴是闭集.………………………….6分
3. 对1ε=，0δ∃〉，使对任意互不相交的有限个
(,)(,)i i a b a b ⊂
当1
()n i i i b a δ=-<∑时，有1
()()1n
i i i f b f a =-<∑………………2分
将[,]a b m 等分，使11
n
i i i x x δ-=-<∑，对
:T ∀101i x z z -=<k i z x <
<=，有11
()()1k
i i i f z f z -=-<∑，所以
()f x 在1[,]i i x x -上是有界变差函数……………….5分
所以1
()1,i
i x x f V -≤从而()b
a
f m V ≤，因此，()f x 是[,]a b 上的有界
变差函数………..6分 4、()f x 在E 上可积
lim (||)(||)0n mE f n mE f →∞
⇒≥==+∞=……2分
据积分的绝对连续性，0,0,,e E me εδδ∀>∃>∀⊂<，有
|()|e
f x dx ε<⎰……….4分
对上述0,,,(||)k n k mE f n δδ>∃∀>≥<，从而
|()|n
n e n me f x dx ε⋅≤<⎰，即lim 0n n
n me ⋅=…………………6分 5．,n N ∀∈存在闭集()1
,,()2
n n n F E m E F f x ⊂-<在n F 连续…………2分
令1n k n k
F F ∞
∞
===
，则,,,()
n n n k
x F k x F n k x F f x ∞
=∀∈⇒∃∈⋂∀≥∈⇒在F 连续………4分
又对任意k ,()[()][()]n n n k
n k
m E F m E F m E F ∞
∞
==-≤-⋂=⋃-
1
()2n k
n k
m E F ∞
=≤-<
∑………………………….6分 故()0,()m E F f x -=在F E ⊂连续…………..8分
又()0,m E F -=所以()f x 是E F -上的可测函数，从而是E 上
的
可测函数……………………..10分
《实变函数》试卷二
一.单项选择题（3分×5=15分）
1．设,M N 是两集合，则 ()M M N --=（ ）
(A) M (B) N (C) M N ⋂ (D) ∅ 2. 下列说法不正确的是( )
(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点
(B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E
的聚点
(C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点
3. 下列断言( )是正确的。

（A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是
闭集；
(C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；
4. 下列断言中( )是错误的。

（A ）零测集是可测集； （B ）可数个零测集的并是零测集；
（C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集；
5. 若()f x 是可测函数，则下列断言（ ）是正确
的
(A) ()f x 在[],a b L -可积|()|f x ⇔在[],a b L -可积； (B) [][](),|()|,f x a b R f x a b R -⇔-在可积在可积 (C) [][](),|()|,f x a b L f x a b R -⇔-在可积在可积; (D) ()()(),()f x a R f x L +∞-⇒∞-在广义可积在a,+可积 二. 填空题(3分×5=15分)
1、设11
[,2],1,2,n A n n n =-=，则=∞→n n A lim _________。

2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，o
P =________。

3、设{}i S 是一列可测集，则11
______i i i i m S mS ∞
∞==⎛⎫
⋃ ⎪⎝⎭∑
4、鲁津定理：
__________________________________________
5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)
1、由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是有界变差函数。

四.解答题(8分×2=16分)
1、设,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数
为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，
是否L -可积，若可积，求出积分值。

2、求极限 13
22
0lim sin 1n nx nxdx n x →∞+⎰. 五.证明题(6分×3+ 82⨯ =34分)
1.(6分) 1、设f(x)是),(+∞-∞上的实值连续函数，则对任意常数 c ，})(|{c x f x E >= 是一开集.
2.(6分) 设0,,G E ε>∃⊃开集使*()m G E ε-<，则E 是可测集。

3. （6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4.（8分）设函数列()n f x (1,2,)n =在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，证明：()..n f x a e 收敛于()f x 。

5.（8分）设()f x 在[],E a b =上可积，则对任何0ε>，必存在E 上的连续函数()x ϕ，使|()()|b
a f x x dx ϕε-<⎰.
（答案及评分标准）一、1，C 2, C 3, B 4, C 5,
A
二、1，()0,2 2，c ；0 ；∅ 3， ≤ 4，设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ⊂，使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<。

5，对任意0,0εδ>∃>，使对[],a b 中互不相交的任意有限个开区间(),,1,2,
,,i i a b i n =只要()1
n
i i i b a δ=-<∑，就有
1
|()()|n
i
i
i F b F a ε=-<∑
三、1．错误 记(0,1)中有理数全体
12{,,}R r r =1
2
2(0)(1)(),1,2(),[01]n n r r r r n x x x ϕϕϕϕ+=⎧⎪=⎪⎨==⎪⎪=
⎩为，
中无理数，
显然[01]0111ϕ-是，到（
，）上的映射。

……………5分 2．正确…设i E 为零测度集， *
*1
1
0(
)0i i i m E m E ∞
∞
==≤≤=∑，所以，
*1
(
)0i i m E ∞
==因此，
1
i i E ∞
=是零测度集。

……………5分
3．错误。

例如：取(0,),E =+∞作函数列：
1,(0,]()1,2,
0,(,)n x n f x n x n ∈⎧==⎨∈+∞
⎩
显然()1,n f x →当x E ∈。

但当01σ<<时，
[|1|](,)n E f n σ-≥=+∞
且(,)m n +∞=+∞这说明()n f x 不测度收敛到1.……5分
4．错误……2分例如：cos ,01,()20,0.
x x f x x
x π⎧
<≤⎪
=⎨⎪=⎩显然是[]0,1的连续函数。

如果对[]0,1取分划11
11
:01221
32
T n n <
<<<
<<-，
则容易证明21111
|()()|n
n
i i i i f x f x i
-==-=∑∑，从而得到10
()V f =∞…5分
四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集…………3分
因为()f x 是有界可测函数，所以()f x 在[]0,1上是L -可积的……….6分
因为()f x 与x ..a e 相等, 进一步，[]
1
0,10
1
()2
f x dx xdx ==
⎰
⎰ (8)
分 2设322
()sin 1n nx
f x nxdx n x
=
+，则易知当n →∞时，()0n f x →………………2分
又22
|()|1n nx
f x n x ≤
+………………4分
但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的………6分 故有0
lim ()lim ()0n n n
n
f x dx f x dx ∞
∞
==⎰⎰………………8分
五、1．,()x E f x c ∀∈>……………………..1分
()f x 在x 点连续，∴对()0,(,),f x c U x εδ=->∃当(,)y U x δ∈时，
有()()f y f x ε-<…………………3分
()()()()f x c f y f x f x c ∴-+<-<-()f y c ∴>，y E ∴∈…5分
因此(,)U x E δ⊂，从而E 为开集……………..6分 2．对任何正整数n ，由条件存在开集,n G E ⊃使
*1
()n m G E n -<
…1分 令1
n n G G ∞
==
，则G 是可测集……………3分
又因*()m G E -*1
()n m G E n
≤-<
对一切正整数n 成立，因而*()0m G E -=，即M G E =-是一零测度集，所以也可
测.………………5分
由()E G G E =--知，E 可测。

………………6分 3、易知()()x
a g x f V =是[],a
b 上的增函数……………2分
令()()()h x g x f x =-, 则对于12a x x b ≤<≤有
2
1212121212121()()()()[()()]
()[()()]|()()|[()()]0
x x h x h x g x g x f x f x V f f x f x f x f x f x f x -=---=--≥---≥
所以()h x 是[],a b 上的增函数……………4分
因此()()()f x g x h x =-，其中()g x 与()h x 均为[],a b 上的有限
增函数…….6分
4、因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ，所以对于任意的k Z +∈，存在可测集k E E ⊂，()n f x 在k E 上一致收敛于
()f x ，且1
(\)k m E E k
<
………3分 令*
1
k k E E ∞
==
，则()n f x 在*E 上处处收敛到()f x ………5分
*
1
1
(\)(\)(\)k k k m E E m E E m E E k ∞
==≤<，
k=1,2
所以*(\)m E E 0=……………………8分
5、证明：设[||],n e E f n =>由于()f x 在E 上..a e 有限，故
0,()n me n →→∞….2分
由积分的绝对连续性，对任何0,N ε∀>∃，使
|()|4
N
N e N me f x dx ε
⋅≤<
⎰………4分
令\N N B E e =，在N B 上利用鲁津定理，存在闭集N N F B ⊂和在
1R 上的连续函数()x ϕ使（1）(\);4N N m B F N
ε
<
（2）N x F ∈时，
()()f x x ϕ=，且1
sup |()|sup |()|N
x F x R x f x N ϕ∈∈=≤………6分
所以
\|()()||()()||()()||()||()||()()|24
44
4
2
N
N
N
N
N N
b
a
e B e e B F N
f x x dx f x x dx f x x dx
f x dx x dx f x x dx N me N N
ϕϕϕϕϕε
ε
ε
ε
ε
ε
-≤-+-≤++-≤
+⋅+⋅
≤
+
+
=⎰
⎰⎰⎰⎰⎰…
……...8分
《实变函数》试卷三（参考答案及评分标准）
一、单项选择题（3分×5=15分）
1、设1
[,2(1)],1,2,n n A n n
=+-=，则（ B ）
(A) lim [0,1]n n A →∞
= （B ）=∞
→n n A lim (0,1]
(C) lim (0,3]n n A →∞
= （D ）lim (0,3)n n A →∞
=
2、设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的（ D ） （A ）'
[0,1]E = (B) o
E =∅ (C) E =[0，1] (D)
1mE =
3、下列说法不正确的是（ C ）
(A) 若B A ⊂，则B m A m **≤ （B ） 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D ）凡开集、闭集皆可测
4、设}{n E 是一列可测集， ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且
+∞<1mE ，则有（ A ）
（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫
⎝⎛⋃lim 1
（C ）n n n n mE E m ∞
→∞=<⎪⎭⎫
⎝⎛⋂lim 1;（D ）以上都不对
5、设f(x)是],[b a 上绝对连续函数，则下面不成立的（ B ） (A) )(x f 在],[b a 上的一致连续函数 (B) )(x f 在],[b a 上处
处可导（C ）)(x f 在],[b a 上L 可积 (D) )(x f 是有界变差函数
二. 填空题(3分×5=15分)
1、设集合N M ⊂，则()M M N --=______N ____
2、设P 为Cantor 集，则 =P c ，mP =_0____，o
P =-___∅_____。

3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有
___***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂_______，则称E 是L 可测的
4、叶果洛夫定理：设}{,)(n f E m ∞<是E 上一列..e a 收敛于个
..e a 有限的函数f 的可测函数，则对任意,0>δ存在子集
E E ⊂δ，使}{n f 在δE 上一致收敛且δδ<)\(E E m 。

5、设)(x f 在E 上可测，则)(x f 在E 上可积的 充要 条件是|)(x f |在E 上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”） 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)
1、任意多个开集之交集仍为开集。

解：不成立 2分
反例：设G n =( n
n 1
1,11+--- ),n=1,2, , 每个G n 为开集
但 ∞
=-=1
]1,1[n n G 不是开集. 5分
2、若0=mE ，则E 一定是可数集.解：不成立 反例:设E 是
Cantor 集，则0mE =， 但E =c ， 故其为不可数集 .5分 3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。

解：不成立 …2分
例如：取(0,),E =+∞作函数列：1,(0,]
()1,2,
0,(,)n x n f x n x n ∈⎧==⎨∈+∞
⎩
显然()1,n f x →当x E ∈。

但当01σ<<时，
[|1|](,)n E f n σ-≥=+∞
且(,)m n +∞=+∞这说明()n f x 不测度收敛到1 …5分 4、连续函数一定是有界变差函数。

解：不成立 2分
例如：cos ,01,
()20,0.
x x f x x
x π⎧
<≤⎪=⎨⎪=⎩显然是[]0,1的连续函数。

如果对[]0,1取分划11
11
:01221
32
T n n <
<<<
<<-，则容易证明21111
|()()|n
n
i i i i f x f x i
-==-=∑∑，从而得到10
()V f =∞ ……5分
四、解答题（8分×2=16分）.
1、（8分）设2,()0,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数
为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -
可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

解：()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在0x =处连续，即不连续点为正测度集 ……..3分 因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的 …6分
因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，
[
]
1
20,101
()3
f x dx x dx ==⎰⎰ …8分
2、求极限 12
1
3220lim sin 1n nx
nxdx n x
→∞
+⎰
解：记1
2
3
22
()sin 1n nx f x nx n x
=
+ 则)(x f n 在[0,1]上连续,因而在[0,1]上（R ）可积和（L ）可积. ……………..2分
又 ]1,0[,0)(lim ∈=∞
→x x f n n ……4分
1
11
22
3
22222
1|()||sin |||211n nx nx f x nx x n x n x
-=≤≤⋅++ ,2,1],1,0[=∈n x ……….6分
且21
2
1-
⋅x 在]1,0[上非负可积,故由Lebesgue 控制收敛定理得 12
1
1
13
220
00lim()()lim sin 001n n n nx R f x dx nxdx dx n x →∞
→∞
===+⎰⎰
⎰ .8分
五、证明题（6分×4+10=34分）. 1、（6分）试证(0,1)~[0,1]
证明：记(0,1)中有理数全体12{,,}Q r r =,令
()x ϕ=12
2(0)(1)(),1,2(),[01]n n r r r r n x x x ϕϕϕϕ+=⎧⎪=⎪⎨
==⎪⎪=
⎩为，
中无理数， 显然[01]0111ϕ-是，到（
，）上的映射 ……5分 所以(0,1)~[0,1] ……6分
2、（6分）设f(x)是),(+∞-∞上的实值连续函数，则对任意常数 c ，})(|{c x f x E >= 是一开集.
证明: .)(,00c x f E x >∈∀即 ….1分
因f （x ）连续，故
c x f x x >⋃∈∀>∃）时，有(),(,00δδ. ………….4分
即E x ⊂⋃)(0.所以0x 是E 的内点.
由0x 的任意性,E 的每一个点都是内点,从而E 为开集. 6分
3、（6分）设()f x 是可测集E 的非负可积函数，()g x 是E 的可测函数，且|()|()g x f x ≤，则()g x 也是E 上的可积函数。

证明：
|()|()g x f x ≤，
()(),()()g x f x g x f x +-∴≤≤ …………1分
[]()()()n
n
n
n
E E E
g x dx f x dx f x dx +⎡⎤∴≤≤⎣⎦⎰⎰⎰
()f x 是可测集E 的非负可积函数 ∴ lim
n →∞
()()n
n E E
g x dx f x dx +
⎡⎤≤⎣⎦⎰⎰<+∞
∴()g x +是E 上的可积函数. ….. 4分
同理，()g x -也是E 上的可积函数.
∴()g x 是E 上的可积函数。

…… 6分
4、（6分）设()f x 在E 上积分确定，且()().f x g x a e =于E ，
则()g x 在E 上
也积分确定，且()()E
E
f x dx
g x dx =⎰⎰
证明：()().f x g x a e =于E
∴[]0mE f g ≠= ∴[]
[]
()()0E f g E f g f x dx g x dx ≠≠==⎰
⎰
∴ []
[]
()()()E
E f g E f g f x dx f x dx f x dx =≠=+⎰⎰
⎰
[]
[]
()()()E f g E f g E
g x dx g x dx g x dx =≠=+=⎰
⎰
⎰
()f x 在E 上积分确定，∴()g x 在E 上也积分确定，且
()()E
E
f x dx
g x dx =⎰
⎰
5、（10分）设在E 上)()(x f x f n ⇒,而..)()(e a x g x f n n =成
立, ,2,1=n ,则有)()(x f x g n ⇒
证明:记][n n n g f E E ≠=,由题意知0=n mE
由0)(1
1
=≤⋃∑∞
=∞
=n n n n mE E m 知0)(1
=⋃∞
=n n E m …2分
对任意0>δ,由于]|[|)(]|[|1
σσ≥-⋃⋃⊂≥-∞
=f f E E f g E n n n n
从而有
])|[|(])|[|()(]|[|1σσσ≥-=≥-+⋃≤≥-∞
=f f E m f f E m E m f g mE n n n n n
又因为在E 上)()(x f x f n ⇒,故
0])|[|(lim =≥-∞
→σf f E m n n ……8分
所以0])|[|(lim ])|[|(lim 0=≥-≤≥-≤∞
→∞
→σσf f E m f g E m n n n n
于是: 0])|[|(lim =≥-∞
→σf g E m n n
故在E 上有)()(x f x g n ⇒ ……10分
《实变函数》试卷四（参考答案及评分标准）
一.单项选择题（3分×5=15分）
1．设P 为Cantor 集，则 C
（A ）=P ℵ0 (B) 1=mP (C) P P ='
(D) P P =
2. 下列说法不正确的是( C )
(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点(B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点(C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚(D) 内点必是聚点
3.设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( C )
(A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上a.e.有限 (C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积 4. 设}{n E 是一列可测集，12n E E E ⊆⊆
⊆⊆
，则有（B ）
（A ）1lim n n n n m E mE ∞=→∞⎛⎫⋃> ⎪⎝⎭ (B) 1lim n n n n m E mE ∞=→∞⎛⎫
⋃= ⎪⎝⎭
（C ）1lim n n n n m E mE ∞=→∞
⎛⎫
⋂= ⎪⎝⎭;（D ）以上都不对
5.设)(x f 为],[b a 上的有界变差函数,则下面不成立的
( D )
(A))(x f 在],[b a 上L 可积 (B))(x f 在],[b a 上R 可积
(C))('
x f 在],[b a 上L 可积 (D))(x f 在],[b a 上绝对连续
二. 填空题(3分×5=15分)
1、设11
[,2],1,2,n A n n n =-=，则=∞→n n A lim _（0，2）________。

2、设E R ⊂,若,E E ⊂'则E 是 闭 集；若0
E E ⊂，则E 是 开__集；若'E E =，则E 是___完备_____集.
3、设{}i S 是一列可测集，则11
______i i i i m S mS ∞
∞==⎛⎫
⋃≤ ⎪⎝⎭∑
4、鲁津定理：___设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ⊂，使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<________，则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切划分，
使11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭∑成一有界数集，则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)
1、A 为可数集，B 为至多可数集，则A ⋃B 是可数集. 解：成立 2分 因A 可数,所以可设A={a 1,a 2,…,a n ,…},
又B 至多可数,设B={b 1,b 2,…,b n }(当B 有限时),或 B={b 1,b 2,⋯,b n,⋯}(当B 可数时) 当B 有限时,
{} ,,,,;,,,2121n n a a a b b b B A =⋃
当B 可数时,{} ,;,,,,2211n n a b a b a b B A =⋃ 所以B A ⋃可数. ……5分 (注:可分φ=⋂B A 和φ≠⋂B A 讨论,没讨论不扣分,主要考察排序方法).
2、若0=mE ，则0=E m .
解：不成立. …….2分
反例：E 为]1,0[中的全体有理点集，则有0=mE ，而
1=E m ……5分
注：其余例只要正确即可。

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数
解：不成立.…………………………2分
例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;
(),,;
x x E f x x x a b E ∈⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩
则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的 可测函数………………………5分
4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ∀∈>，则
()0E
f x >⎰
解：不成立.………………………………2分
0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E
f x dx =⎰…5分
四.解答题(8分×2=16分) 1、（8分）设
,()1,x x f x x ⎧=⎨⎩为无理数
为有理数
，则()f x 在[]0,1上是否R -
可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

解：()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连
续，即不连续点为正测度集…………………..3分 因为()f x 是[]0,1上的有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分
因为()f x 与x ..a e 相等，进一步，[]
1
0,10
1
()2
f x dx xdx ==
⎰⎰…8分
2、（8分）求0ln()lim cos x
n x n e xdx n ∞
-+⎰
解：设ln()()cos x n x n f x e x n -+=，
则易知当n →∞时，()0n f x → …………………………..2分
又因'2ln 1ln 0t t t t -⎛⎫=< ⎪⎝⎭
，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，
ln()ln()ln 3ln 3(1)33
x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++………4分 从而使得ln 3
|()|(1)3
x n f x x e -≤+………………………6分
但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有
lim ()lim ()0n n n
n
f x dx f x dx ∞
∞
==⎰⎰…………8分
五.证明题(6分×3+ 82⨯ =34分)
1、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

证明：,{},lim n n n x E E x x x →∞
'∀∈=则存在中的互异点列使….2分
,()n n x E f x a ∈∴≥…………….3分
()()lim ()n n f x x f x f x a →∞
∴=≥在点连续，
x E ∴∈…………………………5分
E ∴是闭集.……………….6分
2.(6分) 设0,,G E ε>∃⊃开集使*()m G E ε-<，则E 是
可测集。

证明：对任何正整数n ，由条件存在开集,n G E ⊃使
*
1()n
m G E n -<…1分 令1
n n G G ∞
==
，则G 是可测集 …3分
又因*()m G E -*1
()n m G E n
≤-<
对一切正整数n 成立，因而*()0m G E -=，
即M G E =-是一零测度集，所以也可测.…………5分
由()E G G E =--知，E 可测。

6分
3.（6分） 设)}({x f n 为E 上可积函数列，e a x f x f n n
.)()(lim =.
于E ，且⎰<E
n k dx x f |)(|，k 为常数，则)(x f 在E 上可积. 由e a x f x f n n
.)()(lim =于E 得e a x f x f n n
.|)(||)(|lim =于E .1分
再由Fatou 引理
⎰⎰
⎰∞<≤≤=∞→∞
→E
E E
n n n n k dx f dx f dx f ||lim ||lim || ….4分
所以 |f(x)|可积.又f(x)可测,因此f(x)可积. ..6分
4.（6分）设函数列()n f x (1,2,)n =在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，证明：()..n f x a e 收敛于()f x . 证明： 因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ，所以
对于任意的k Z +∈，存在可测集k E E ⊂，()n f x 在k
E 上一致收敛于()f x ，且1
(\)k m E E k
<…2分
令*
1
k k E E ∞
==
，则()n f x 在*E 上处处收敛到()f x ……4分
*
1
1
(\)(\
)(\)k k k m E E m E E m E E k
∞
==≤<
，
k=1,2
所以*(\)m E E 0=………6分
5.（10分）试用Fatou 引理证明Levi 定理.
证明：设{}n f 为可测集q R E ⊂上的一列非负可测函数，且在E
上有 ,2,1),()(1=≤+n x f x f n n ，令
)(lim )(x f x f n n
= …………2分
由{}n f 为单调可测函数列知，)(x f 可测，且)()(x f x f n ≤
于是 ⎰⎰≤E
E
n dx x f dx x f )()(
从而 ⎰⎰≤E
E
n n
dx x f dx x f )()(lim …（*） ……6分
另一方面，因{}n f 为可测集q R E ⊂上的一列非负可测
函数，由Fatou 引理知
dx x f dx x f dx x f E
n n
E
n n
E
⎰⎰⎰
≤=)(lim )(lim )( （**） …8分
由（*）、（**）两式即证
⎰⎰=E
E
n n
dx x f dx x f )()(lim ….…10分。