浅谈利用高斯公式计算积分

浅谈利用高斯公式计算积分

【摘要】高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系,本文通过对高斯公式计算积分的常用方法介绍,加深对高斯公式运用的思考和理解。

【关键词】高斯公式封闭曲面曲面法向量曲面的侧方向余弦

高斯公式:设Ω是一空间中的有界闭域,其边界面分片光滑,函数、、在Ω上具有一阶连续偏导数,则有其中是Ω的正向边界曲面,当是简单封闭区间外侧时为正(内侧为负)。

1.封闭曲面存在直接计算。如果空间有向曲面S是封闭的,那么,直接运用高斯公式计算。

例1、计算曲面积分,其中∑为柱面及平面、所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧。

解:因

,,

利用高斯公式把所给曲面积分化为三重积分,再利用柱面坐标计算三重积分

得:

2.构造封闭曲面再计算。如果空间有向曲面S不是封闭的,那么需添加辅助的有向曲面S0,使S与S0构成定向的封闭曲面,再运用高斯公式进行计算。

注:添补的辅助曲面S0的法线矢量的方向应选为使封闭曲面S+S0的法线方向或者都向外,或者都向内。

例2、计算,∑为曲面,夹在z=1及z=2的下侧部分。

解:构造辅助平面∑1:z=2取上侧,∑2:z=1取下侧。

则由高斯公式得

在∑1:z=2,dz=0,则8

在∑2:z=1,dz=0,则

所以原式

例3、设S是以xoy平面上椭圆L:为边界曲线的任意光滑凸曲面的上侧,且位于xoy平面的上方,求。

解:根据高斯公式构造有向辅助曲面

显然,S0在xoy平面上的投影区域Dxy就是本身,且,引入广义极坐标,,则,且有

然后,利用高斯公式,计算封闭曲面S+S0上的曲面积分

于是,所求的曲面积分

3.封闭曲面存在的特殊情形。如果所给的有向曲面是封闭的,但是不满足高斯公式所要求的函数、、在S所包围的有界闭区域V上连续,且具有连续的一阶偏导数的条件,那么,可以先把S的方程代入该曲面积分,若后者曲面积分已满足高斯公式条件,则用高斯公式把它化为三重积分计算。

例4、设曲面S为夹于z=0与z=1之间部分,其法线向内,求第二类曲面积分

解:把曲面S的方程代入积分I,得

现构造辅助平面,取上侧,易求得0

构造辅助平面,取下侧,得:= ==

由高斯公式得

其中,因V分别关于面yoz,xoz对称,故=0,=0

则所求的积分。

如果封闭空间曲面S的方程代入某曲面积分后。在S所围的区域V内仍然存在某些点或子区域使其不满足高斯公式条件,而在其它地方P,Q,R都连续,且具有连续的一阶偏导数,又有,则构造一个有规则的封闭曲面使其偏导数不连续的那些点或区域包含在S0内部,且S0的法矢量与S的法矢量一致,于是在S上的曲面积分等于在S0上的曲面积分,即有

例5、计算积分,其中∑是椭球面的外侧。

解:作以原点为球心,()为半径的球面∑1:,使其位于椭球面内,则有

(令,此时∑1的方向余弦,,由两类曲面积分的联系,有)

则=4π

4.运用高斯公式时有关曲面侧的问题。运用高斯公式计算曲面积分的时候,曲面的有向性是至关重要的,而往往封闭曲面侧的判断正误与否也决定了解题过程是否正确。

注:(1)当曲面光滑且具有双侧时,有向曲面侧“上侧、前侧、右侧”取“”,“下侧、后侧、左侧”取“-”

(2)高斯公式中的“Ω”是整个边界闭区域的外侧

例6、计算曲面积分,∑:,其法向量与OZ轴正向夹角为锐角。

解:取辅助平面,使曲面构成封闭曲面

:,方向向下

则

(注:此封闭曲面是整个闭域的内侧,运用高斯公式时添“-”号,有向曲面方向向下,计算积分时也应添“-”号)

参考文献

1 卲剑、李大侃.高等数学专题梳理与解读[M].同济大学出版社,2008

2 王式安、蔡燧林、胡金德、程杞元.考研数学标准全书[M].对外经贸大学出版社,2008

3 马菊霞、吴云天.高等数学[M].国防工业出版社,2007

4 同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社,2007