计算机图形学 抛物及三次样条曲线

曲线起点
4个位置矢量
曲线终点
(二)切矢量： 用矢量表示曲线上点的切线。在曲线的非参数表示中
它表示当参数t递增了一个单位时三个坐标变量的变化量， 它的方向与曲线的变化方向一致。
P'
(t
)
dP(t) dt
lim
Δt 0
P(t
Δt) Δt
P(t)
x' (t )
y'
(t)
z'(t)
P(t)
P’(t) P(t+Δt)
6.1 概述:
第六章 曲线
一为什么要学习曲线? (用曲线能作什么?) 应用很广泛: 汽车制造,多媒体应用,飞机外形设计, 计算机辅助设计等方面被大量使用. 如: 用B样条曲线绘制汽车. 用抛物样条曲线绘制鱼(靠型值点来画)
二 汽车的传统设计方法和计算机辅助设计方法的比较: 汽车的制造过程: 1 素描车身草图，挑选其中的最佳方案。
3 本章主要学习有关曲线的理论。
四 曲线的分类和比较:
一类曲线: 规则曲线 如: 圆、椭圆、双曲线 正弦曲线等等。 特点: 每一种曲线均可以用一个标准的解析式来表示， 称为曲线的方程。 比如，圆的方程为：x2+y2=R2等。
另一类曲线: 不规则曲线. 如： 统计曲线 .实验曲线等。 特点: 不能给出描述整个曲线的方程。 原因 : 这些数据点是在不同的环境中根据实际测量 得到的一系列离散数据点(“型值点” ), 带有不可预见性. 所以不可能用一个标准的解析式来表达。 至于如何描述这些曲线，则取决于采用什么数学方法。
控制点: 用来控制或调整曲线形状的特殊点, 曲线段本身不通过控制点(如:汽车)
(五)插值 逼近 拟和:
1 插值和逼近是曲线设计中的两种方法.
2 插值设计方法: 要求建立的曲线数学模型,严格通过已知的每一个型值点. 方法: (1)线性插值 （用线性函数） (2)抛物线插值 （用二次曲线）
3 逼近设计方法: 建立的曲线数学模型只是近似的接近已知的型值点.
三 理论与生产的关系: (从本章的学习能深刻体会这种关系)
1 曲线和曲面的理论的发展有赖于生产实际的推动。 实践提出问题，理论指导方向，生产推动前进。 总之,生产需要是科技发展的动力。
2 曲线曲面的理论对于飞机汽车等的外型设计工业具有重要作用: 1963年以来，美国波音飞机公司，通用汽车公司， 法国雷诺汽车公司，雪铁龙汽车公司和美国的大学 及研究机构投入极大的人力物力和财力用于 曲线曲面的理论基础、表示方法和实际应用的研究 并取得巨大的成绩.
特点：不如显式方式直观, 转成参数坐标表示式很困难
3 参数方式：
曲线上的一个点的参数式： x=x(t),y=y(t)
曲线上的一个点的矢量表示：p(t)=[x(t) y(t)]
参数曲线的切矢量：
p’(t)=[x’(t) y’(t)]
直线参数方程：
p(t)=p1+(p2-p1)t
圆的参数方程：
x=Rcosθ,y=Rsinθ θ∈[0，2π]
非参数方程
参数方程
与坐标轴相关， 出现斜率无穷大的情况
不便于编程，自变量范围不 定。
与坐标轴无关，仅与参数t， 或参数θ有关。
对t求导，避免斜率无穷大。
易于编程，参数t范围恒定0-1。
二 常用术语:
(一) 位置矢量：曲线上任意一点可以用矢量表示， 其坐标叫作位置矢量，
它可以表示为：p(t)=[x(t),y(t),z(t)] （三维）
4 曲线的拟和: 用插值和逼近的方法使生成的曲线达到设计要求，叫拟和 如： 在允许的范围内贴近原始的型值点或控制点序列， 或曲线看上去很光滑等。
特点：与坐标轴无关，仅与参数有关，易于编程。
例如：圆的参数方程：x=cosθ, y=sinθ 绘制的1/4圆的各点弧长相等，见下图a。 以显示方式绘制的Βιβλιοθήκη Baidu/4圆的各点弧长不等，见下图b。
a
b
用参数方程可以非常均匀地画出来 即:参数方程控制形状的能力强
X等分取,y值不均匀
分析： 参数方程与非参数方程的比较：
压块
样条
计算机辅助设计的方法:
(1)利用三坐标测量仪直接从1：5模型上测量三维坐标; (2)输入计算机进行处理，再将1：5的数据放大为1:1; (3)由于外表面设计系统中留有数控加工的接口，
故易于在数控铣床上加工1：1软材料模型; (4)如果发现线形比例不合适,可利用计算机进行修改。
计算机辅助设计(CAD)方法： 该设计需要曲线曲面的理论作支撑.
6.2 曲线表示的基础知识:
一 曲线的表示方法:
1．显示方式：
一条平面曲线的一般式：
y=f (x)
如正弦曲线:f=sin(x)
一条直线的一般式：
y=m*x+b
特点：一个x表示一个y.
2．隐式方式：
一条平面曲线的一般式：
f (x, y)=0
一条直线的一般式:
ax+by+c=0
一个圆心在原点的圆：
x2+y2+1 =0
ΔP
切矢量的定义
(三) 曲率：曲率k表示曲线弯曲的程度, 它反映曲线在一个点上的变化率
T(c)
r
Q
ΔC
T(c+Δc)
Δφ
(1)以弧长c为参数，曲线方程为p(c); (2)点r上的单位切矢量为T(c)，
点Q上的单位切矢量为 T(c+Δc)，其夹角为Δφ。 (3)弧 r Q的弯曲程度取决于Δφ（角度变化量）
问题:
如果曲线的数学表达方法确定了,如何把曲线绘制出来?
1 在手工绘图中，不同的曲线可以用不同的方法和绘图工具来绘制. 如: 圆规，曲线板等.
2 用计算机如何来完成各种曲线? 特别是不规则曲线的绘制工作的呢？
本章分别介绍 抛物样条曲线、三次样条曲线、贝塞尔曲线和B样条曲线， 其中讨论它们的原理和特性，以及如何描述和绘制曲线。
2 使用油泥或黏土制作小型模型(1:5模型),改进方案. 3 确定方案后制作1：1实物模型，继续修改。
如何改进方案? 传统设计方法:
(1)将模型上测量下来的一批型值点标注在绘图板上; (2)利用有机玻璃或木质样条把这些点连成一条光滑曲线; (3)调整样条的外形尽量使之对准型值点，用压铁压住，
沿样条画出所需曲线。
和Δc（弧长变化量）， 通常使用|Δφ/Δc来衡量弯曲程度。 曲线P(c)在r点的曲率为：k=lim|Δφ/Δc| 曲率半径：ρ= 1/ k
曲率大，则曲率半径小，曲线弯曲得厉害，如A点； 曲率小，则曲率半径大，曲线弯曲得不厉害，如B点。 圆的曲率半径等于它的半径。
B
A
(四) 型值点和控制点:
型值点: 通过测量或计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状 的数据(如:鱼)