牛顿科特斯公式的特点总结

牛顿-科特斯公式

∑⎰

=-≈n

i i n i b

a

x f C a b x x f 0

)

()()(d )( 科特斯(Cotes)系数)

(n i C ，特点：Cotes 系数仅取决于 n 和 i ，可通过查表得到。与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 均无关。

n = 1: 2

1

,2

1)1(1)1(0

=

=

C C 为梯形求积公式

)]()([2

)(b f a f a

b dx x f b

a

+-≈

⎰

梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替曲边梯形的面积

梯形公式的余项为 )(12

)(3

ηf a b ''--

代数精度 = 1

n = 2:

6

1,32,61)

2(2)2(1)2(0===

C C C Simpson 求积公式

（为抛物线求积公式）

)]()(4)([6

)(2

b f f a f a

b dx x f b

a b

a

++-≈

+⎰ 辛普森公式的余项为 )()2

(

180

)4(4ηf a

b a b ---

代数精度 = 3

n = 4:

科特斯(Cotes)求积公式（五点公式）

)](7)(32)(12)(32)(7[90

)(43210x f x f x f x f x f a

b dx x f b

a

++++-≈

⎰

4/)( ,a b h h i a x i -=⋅+=

柯特斯公式的余项为 )()4

(495)(2)

6(6ηf a b a b ---

柯特斯公式具有5次代数精度

科特斯系数具有以下特点：

(1)

10

)

(=∑=n

i

n i C

(2) )

()

(n i n n i

C C -=

(3) 当 n ≥ 8 时，出现负数，稳定性得不到保证。而且当 n 较大时，由于Runge 现象，收

敛性也无法保证。一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。 当 n ≤ 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。

当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n +1 阶代数精度。 牛顿-柯特斯公式的舍入误差只是函数值误差的倍)(a b -

复化求积公式特点

固定时1而节点个数,的长度较大],[当积分区间+n b a 直接使用牛顿-柯特斯公式余项将会较大增加时1即,而如果增加节点个数

+n 当n>8

时，公式的舍入误差又很难得到

控制此时，使用复化方法，分成若干个子区间],[即将积分区间

b a 然后在每个小区间上使用低阶牛顿-柯特斯公式，最后将每个小区间上的积分的近似值相加，这种方法称为复化

求积法

复化梯形求积公式n b

a

T dx x f ≈⎰

)( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++=∑-=)()(2)(21

1

b f x f a f h n k k

复化梯形公式余项为 )(12

)(2

ηf h a b ''--

误差是2

h 阶

⎰=

→∞→b

a n h n dx x f T )(lim 0

即复化梯形公式是收敛的

复化辛普森求积公式

n b

a S dx x f ≈⎰)

( )]()(2)(4)([6

1

1

1

2

1

b f x f x

f a f h

n k k n k k +++=

∑∑-=-=+

公式的余项为复合,足够大时则Simpson n

n n S I f R -=)( ()b a f h a b ,),(2180)4(4

∈⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--

=ηη 误差是h

4

阶，

⎰=→∞→b

a n

h n dx x f S )(lim

复化辛普森公式是收敛的

复化柯特斯求积公式

n

b

a C dx

x f ≈⎰)(

)]

(7)(14)](32)(12)(32[)(7[901

1

1

4

34

24

1b f x f x

f x

f x f a f n

a b n k k n k

k k k +++++

-=∑∑-=-=+

+

+

公式的余项同样可得复合],,[)(若6Cotes b a C x f ∈

n C I - )(4945)(2)

6(6

ηf h a b ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--= ∞→n 时，复化柯特斯公式也是收敛的

]

,[b a ∈η