2015-2016-1组合数学试卷A答案

四、证明题（第19题12分，第20题13分，共25分）
19. 证明：，其中，为正整数. 证： Y B（m,n+rHale Waihona Puke Baidu1-m）
P’
P(k,r)
0k
mX
如上图所示，表示（0，0）点到P点的路径数； P点到P’点只有一步；=表示P’点到B点的路径数;表示（0，0）点到 B点的路径数。 所以0点到B点的路径由0点到P点再从P点到P’点，最后从P’点到达 B点。 *1* =+++…+ =
的方案数为：
.
（2）考虑n个有标志的球，放进r个有区别的盒子，得到无一 空盒的方案数：r!T(n,r). 设Ai表示第i个盒为空,其它盒任意的方 案数，i=1,2,…,r. 则r!S(n,r)等于：. 因为 所以，n个有标志的球，放进r个有区别的盒子，无一空盒的方
案数为：
于是，n个有标志的球，放进r个无区别的盒子，无一空盒
A、 B、 C、 D、.
14. 设( D ).
A. ； B. ；
C. ； D. .
15．已知数列的指数型母函数是，则其通项公式是（ D ）.
A. ；
B. ；
C. ； D. .
三、解答题（每小题10分，共30分）
16. 求n位8进制数中5和6必须出现奇数次的数目.
解：对符合题设要求的排列如果0可以出现在最高位，则可得母函数：
但是对n位四进制数来说最高位不能为0. 于是，当时 而 17. 求递推关系的一般解：
. 解：递推关系的特征方程为 ，特征根为 3分 所以齐次递推关系的通解为 设的特解为，则有. 设的特解为，则有 . 所以原递推关系的一般解为
18.求1到2015之间不能被4、5 或6整除的自然数的个数. 解：设A为1至2015的整数中能被4整除的数的个数；B为1至2015的整数 中能被5整除的数的个数；C为1至2015的整数中能被6整除的数的个数. 则 所以 即所求为：.
一、填空题（每小题3分，共24分）
1．七个人围成一圈，共有（ 720 ）种排法.
2．每位上的数字互异且非零的两位数共有（ 72
）
个.
3．在的展开式中项的系数是（ 286
）.
4．除尽的正整数的个数为（ 18
）.
5．数4的无序分拆个数为（
5 ）.
6．分拆的共轭分拆是（ 6+5+3+2+2+1+1+1 ）.
A、9； B、288； C、1260； D、9！.
11. 有3只全是红色的球放到10个编号不同的盒子中去，如果每个盒
子只能放一只球，有（ C ）种放法.
A. 720; B. 360; C. 120;
D. 6.
12．中的系数是（ C ）.
A. 0； B. 1； C. -480； D. 480.
13. 递推关系的一般解是（ B ）.
7．序列的普通母函数是（
1/(1+x)
）.
8．八个字母ABCDEFGH的全排列中，只有4个元素不在原位置上的排
列数（ 630 ）.
二、单项选择题（每小题3分，共21分）
9．由一个正方体的三个顶点所构成的正三角形的个数为（ B ）.
A、4 B、8 C、12 D、24.
10. 用2个X、3个Y和4个Z组成的不同排列数为（ C ）.
20. 把n个有区别的球放到k个相同的盒子中，没有空盒，其不同的方案 数记为. 则
（1）
（2）.
解：（1）设有n个有区别的球从中取一个球设为a. 把n个球放到k 个盒子无一空盒的方案的全体可分为两类.
（a） a独占一盒，其方案数显然为S(n-1,k-1); （b） a不独占一盒，这相当于先将剩下的(n-1)个球放到k个盒子，不 允许空盒，共有T(n-1,k)种不同方案，然后将a球放进其中一盒，从乘法 法则得a不独占一盒的方案数应为 kT(n-1,k). 根据加法法则有