第二章 解析式

2 2 2 f (x) x 3x 9 3x 2 x 3 3
2.用待定系数法分解因式 例6 在有理数域Q上分解因式 x x 5 x 3 .
4 3
分析： 可能的试除数是±1，±3，试除结果都被排 除．因此原式在Q上没有一次因式．故可设
§2.２ 多项式
一、基本概念
多项式的次数、 一元多项式的一般形式、 零次多项式、 零多项式等．
二、多项式的恒等 定理1 设数域F上的多项式
f ( x ) a n x a n 1 x
n n 1
a1 x a 0
如果对于变数 x 在F上的任意取值，多项式的 值都等于零，则该多项式是零多项式．
f ( x1 , x 2 , x n ) f ( x n , x1 , x n 1 )
则称这个多项式是轮换多项式，简称轮换式． 凡对称式都是轮换式，但轮换式不一定是对 称式． 2 2 2 ( a b )( b c )( c d ) , x y y z z x . 例如：
第二章
内江师范学院 数学与信息科学学院 王亚雄
解析式
§2.1 解析式概念及其分类
一、基本概念 定义1 用运算符号和括号把数和表示数的 字母连结而成的式子叫做解析式. 约定：单独一个数或一个字母也看作 是解析式．
代数运算：加、减、乘、除、乘方（指 初等运算 数为有理数）、开方
初等超越运算：乘方（指数为无理数）、 对数、三角、反三角等）
就称这个多项式是对称多项式，简称对称式．
x 例如：
3
y z 3 xyz , x 2 xy y 3 x 3 y .
3 3 2 2
对称式的同型项 一般地：在含有两个以上变数字母的对称式 中，同型项的系数必相等．
4 ．交代多项式 设n元多项式对任意的 i , j , 1≤ i < j≤ n ,都有
五、多项式的因式分解
相关概念： 不可约多项式（既约多项式）、因式分解等． 相关定理： ※任意一个次数大于零的多项式，都可以分解 成给定数域上的不可约多项式的乘积，且唯一． ※在复数域内，任意一个n次多项式都可分解成 n个一次因式的乘积． ※在实数域内，任意一个n次多项式都可分解成 一次与二次不可约因式的乘积． ※有理数域内，任意次多项式都可能是不可约 的．
1.用因式定理和综合除法分解因式
因式定理： 整系数多项式 f (x)有因式(x-a)的充要条件是 f(a)=0．
有理根定理：
如果整系数多项式
f ( x ) a n x a n 1 x
n n 1
a1 x a 0
有因式
x
q p
（p、q是互质的整数），则p一定是
n次项系数的约数，q是常数项的约数．
y2
y n 1
( x x1 )( x x 2 ) ( x x n ) ( x n 1 x1 )( x n 1 x 2 ) ( x n 1 x n )
例2 把多项式 x 3 x 2 2 x 2 表示成(x-1)的 幂的多项式的形式 解法一：据已知可设
1
其中a，b，c为不相等的复数． 证法一：令
f (x)
x bx c x cx a x ax b 1 a b a c b c b a c a c b
显然，f (x)的最高次数不超过二次，不妨设
ab ,n a f (b ) b f ( a ) ab .
以x=a，x=b分别代入，得 由题意a≠b，解得
m
f ( a ) f (b )
因此所求余式为
f ( a ) f (b ) ab
x
a f (b ) b f ( a ) ab
.
例4 求证
x bx c x cx a x ax b a b a c b c b a c a c b
x x 5 x 3 x px q x m x n .
4 3 2 2
再由待定系数法确定常数即可．
例7 证明 xy + 2 不能分解因式．
3 .对称式和轮换式的因式分解 通常应用对称式、交代式、轮换式的概念和 性质，结合因式定理和待定系数法进行． 一般步骤是： ⑴先观察所给多项式的特征，以其中一个字 母为主，把另一个或另一些变数字母作为试除 数，依据因式定理找出一个因式；再根据有关 性质用轮换的方法得出另外一些因式． ⑵用待定系数法确定分解后的因式乘积的系 数．
3 ．对称多项式
设
f ( x1 , x 2 , x i , , x j , x n )
是n元
多项式，如果对于任意的 i , j , 1≤ i ≤ j ≤ n 都有
f ( x1 , x 2 , , x i , , x j , , x n ) f ( x 1 , x 2 , , x j , , x i , , x n )
x x 2 x 2 x 1 a x 1 b x 1 c
3 2 3 2
将右边展开，运用定理2（对应系数相等）从而 确定所求系数． 解法二：同解法一所设，运用定理3将变元代不 同值求得两边的值，从而确定待定系数． 解法三：（换元法）可设(x-1)=t ,则x=t+1代入原 多项式即可求解．
例5 分解整系数多项式 的因式． 分析：可能的试除数是
f ( x) 3x 2 x 9 x 6
3 2
1, 2 , 3, 6 ,
1 3
,
2 3
由于f(x)的奇次项系数都是正数，偶次项系 数都是负数，故只选择正的试除数：1，2，3，6， 1／3，2／3． 代入计算易知只有2／3合条件． 故由综合除法可得：
定理2 （多项式恒等定理）数域F上的两个一 元多项式恒等的充要条件是它们的次数相同， 且同次项系数对应相等． 定理3 （多项式恒等判定）如果数域F上有个 次数不大于n的多项式f(x)和g(x)，对于x的n+1 个不同的值都有相等的值，则它们恒等． 三、待定系数法
例1 已知三次多项式f(x)在x=-1，0，1，2时函数 值分别为1，2，3，2，试写出这个多项式． 解法一：设多项式为
f ( x1 , , x i , , x j , , x n ) f ( x 1 , , x j , , x i , , x n )
就称这个多项式是交代多项式，简称交代式． 例如：x y , ( x y )( y z )( z x ) . 5．轮换式 设n元多项式，如果将变数字母轮换后有
f ( x ) ax bx cx d
3 2
解法二：（拉格朗日插值法） 设这个多项式为
f ( x ) a b ( x 1) c ( x 1) x d ( x 1) x ( x 1)
附：拉格朗日插值公式 若一元n次多项式的变元x分别取n+1个不同的值
x1 , x 2 , x n 1 所对应的多项式的值分别为
具体做法如下： ⑴先写出整系数多项式f(x)的首项和常数项的所 有因数然后以首项的因数为分母，常数项的因 数作为分子，作出所有可能的既约分数（包括 整数）． ⑵从上述既约分数中合理地选择试除数． 如果f(x)的各项系数都是正数，或都是负数， 就只选择负的试除数． 如果f(x)的各项奇次项系数都是正数，偶次 项系数（包括常数项）都是负数，或者偶次项系 数都是正数，奇次项系数都是负数，就只选择正 的试除数． ⑶选好试除数后，即用综合除法试除．
y1 , y 2 , y n 1
则多项式可唯一确定为：
f ( x ) y1
( x x 2 )( x x 3 ) ( x x n 1 ) ( x1 x 2 )( x1 x 3 ) ( x1 x n 1 ) ( x x1 )( x x 3 ) ( x x n 1 ) ( x 2 x1 )( x 2 x 3 ) ( x 2 x n 1 )
二、解析式的分类 定义2 只含有代数运算的解析式叫做代数 式；含有初等超越运算的解析式叫做 初等超越式，简称超越式．
单项式 整式 有理式 代数式 分式 无理式 多项式
解析式
式等．
初等超越式：指数式（ a ，b为无理数），对数式，三角式，反三角
b
三、解析式的恒等 一个解析式的变数字母的所有容许值的集 合，叫做这个解析式的定义域． 定义3 设有两个解析式，若对于它们定义域的 公共部分内的一切值，它们都有相等的值，则 称这两个解析式是恒等的，记做A≡B，也记做 A＝B ． 定义4 把一个给定的解析式换成另一个与它恒 等的解析式，这种变形叫做恒等变形或恒等变 换．
f ( x) Ax Bx C .
2
将a , b , c分别代入再由定理3即可得证
证法二： 令
f ( x)
x bx c x cx a x ax b a b a c b c b a c a c b
3 3 3
因此原式有因式(x-y)(y-z)(z-x)， 故，可设
y z
3
z x x y k ( x y )( y z )( z x ).
3 3
取x,y,z的特殊值计算即可得k．
4 .因式分解的几个特点 ⑴结果的相对性
例10 分别在有理数集、实数集合复数集内分 解因式： x 4 2 x 3 x 2 1 6 .
例3 求多项式f(x)除以(x-a)(x-b)的余式(a≠b) ． 分析：因为除式是关于 x 的二次式，所以余式 至多为一次式．故可设
f ( x ) Q ( x ) ( x a )( x b ) m x n
f (a ) am n, f (b ) b m n.
6 ．对称式、交代式和轮换式的性质
⑴变数字母相同的两个对称式的和、差、积、商 仍是对称式．
源自文库
⑵变数字母相同的两个轮换式的和、差、积、商 仍是轮换式．
⑶变数字母相同的两个交代式的和、差仍是交代 式，它们的积、商则是对称式．
⑷变数字母相同的一个对称式与一个交代式的积、 商是交代式． ⑸多个变数字母的交代式，必有其中任意两个变 数字母之差的因式．
例8
f 分解因式： ( x , y , z ) x y z 3 xyz .
3 3 3
分析： 原式是对称式， 当x=-(y+z)时，
3 3 3 f ( x , y , z ) ( y z ) y z 3 ( y z ) yz 0,
它是一个二次式，但当x分别以 a ,b ,c 代入时有 f(a)=f(b)=f(c)=1，且a≠b≠c，由定理3即得证．
四、多元多项式（几种特殊情况）
1．多元多项式的一般概念
含有两个以上变数字母的多项式，叫做多元 多项式．
多元多项式的标准形式（字典排列法）、项 的次数、多项式的次数等概念 2．齐次多项式 （齐次式） 性质： 两个齐次式的积仍然是齐次式，积得次数 为两个因式次数之和． 例如： a x b y cz , a x 3 b x 3 cz 3 d xyz
所以原式有因式 (x+y+z) ．因为原式是三次式， 故还有另一个二次对称因式． 故可设
x y z 3 xyz
3 3 3

x y z m x y z
2 2
2
n xy
y z zx
由待定系数法可确定 m , n．
例9 分解因式： y z z x x y . 分析： 原式是一个轮换式．当x=y时， 原式=0．