第四章 方差分析2
STATA 第四章 t检验和单因素方差分析命令输出结果说明
i ng si n第四章 t 检验和单因素方差分析命令与输出结果说明·单因素方差分析单因素方差分析又称为Oneway ANOVA ,用于比较多组样本的均数是否相同，并假 定：每组的数据服从正态分布,具有相同的方差，且相互独立，则无效假设。
原假设：H 0:各组总体均数相同。
在STATA 中可用命令：oneway 观察变量 分组变量[, means bonferroni]其中子命令bonferroni 是用于多组样本均数的两两比较检验。
例：测定健康男子各年龄组的淋巴细胞转化率(%)，结果见表，问:各组的淋巴细 胞转化率的均数之间的差别有无显著性？健康男子各年龄组淋巴细胞转化率(%)的测定结果:11-20 岁 组：58 61 61 62 63 68 70 70 74 7841-50 岁 组：54 57 57 58 60 60 63 64 6661-75 岁 组：43 52 55 56 60用变量x 表示这些淋巴细胞转化率以及用分组变量group=1，2，3分别表示 11-20岁组，41-50岁组和61-75岁组,即：数据表示为：x 586161626368707074785457group 111111111122x 575860606364664352555660group 222222233333则 用 STATA 命 令：oneway x group, mean bonferroni| Summary of xgroup | Mean ①-------------+------------1 | 66.52 | 59.8888893 | 53.2------+------------Total | 61.25 ②Analysis of VarianceSource SS df MS F Prob > F------------------------------------------------------------------------------- Between groups 616.311111③ 2 ④ 308.155556⑤ 9.77⑥ 0.0010⑦Within groups 662.188889⑧ 21⑨ 31.5328042⑴-------------------------------------------------------------------------------Total 1278.50 23 55.586956（2）Bartlett's test for equal variances:chi2(2) = 2.1977 （3）Prob>chi2=0.333Comparison of x by group(Bonferroni)Row Mean- |Col Mean | 1 2-------------- --|--------------------------------------2 | -6.61111 （4）| 0.054 （5）|3 | -13.3 （6） -6.68889（8）| 0.001 （7） 0.134 （9）①对应三个年龄组的淋巴细胞转化率的均数；②三组合并在一起的总的样本均数；③组间离均差平方和；④组间离均差平方和的自由度；⑤组间均方和(即：⑤=③/④)；⑧组内离均差平方和；⑨组内离均差平方和的自由度；（1）组内均方和(即：（1）=⑧/⑨)；⑥为F 统计值(即为⑤/（1）)；⑦为相应的p值；（2）为方差齐性的Bartlett检验；（3）方差齐性检验相应的p值；（4）第二组的淋巴细胞转化率样本均数—第一组的淋巴细胞转化率的样本均数的差；（5）第二和第一组均数差的显著性检验所对应p 值；（6）第三组的淋巴细胞转化率样本均数—第一组的淋巴细胞转化率的样本均数的差；（7）第三和第一组均数差的显著性检验所对应的 p 值；（8）第三组的淋巴细胞转化率样本均数—第二组的淋巴细胞转化率的样本均数的差；（9）第三和第二组均数差的显著性检验所对应的p 值。
方差分析第四章双因素方差分析ppt课件
i1j1
i1
ab
Se
(yijyi•y•j y)2
i1 j1
整理版课件
自由度分析TN1a b1A a1 B b1
e T A B a 1 ( b a 1 ) ( b 1 ) a a b b 1
e a ( b 1 ) ( b 1 ) ( b 1 )a (1 )
e(b1)a (1)
i 1
b
a
a
a
b
b
y 1 jy i1y i2 y ib ( y 2 j y a)j
j 1
i 1
i 1
i 1
j 1
j 1
b 1 • a y • 1 a y • 2 y a • b ( b y 2 • b y 3 • y b a • )y
整理版课件
三、平方和的简化计算
ST
Se e
VE
SAB
AB
Se
e
■ 3. 判断
ab
ST
(yij y)2
i1 j1
ab
ab
ab
(y i• y ) 2 (y • j y ) 2 (y i jy i• y • j y ) 2
i 1j 1
i 1j 1
i 1j 1
ab
a
SA (yi•y)2b (yi•y)2
i1j1
i1
ab
a
SB (y•Jy)2a (y•jy)2
证明交叉项为零:
abr
(yij k yi• j)(yi• jyi••y•j•y)
i 1j 1k 1
ab
r
(yi•jyi••y•j•y) (yi j kyi•j)
i 1j 1
k 1
ab
方差分析IIppt课件
第2页
§1 数据的变换
如果在方差分析前发现有某些异常的观测值、处 理或单位组，只要不属于研究对象本身的原因，在不 影响分析正确性的条件下应加以删除。
有些资料就其性质来说就不符合方差分析的基本 假定。其中最常见的一种情况是处理平均数和均方有
一 定 关 系 ( 如 二 项 分 布 资 料 ， 平 均 数ˆ npˆ ， 方
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方差分析
第12页
（3）混合模型（mixed model） 在多因素试验中，若既包括固定效应的试验因
素，又包括随机效应的试验因素，则该试验对应于 混合模型。混合模型在试验研究中是经常采用的。
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方差分析
第13页
固定模型与随机模型的区别
目的
固定模型
随机模型
研究特定处理，即
i 1
rs
误差平方和： SSe
(xij xi x j x)2
i1 j1
fe r 1s 1
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方差分析
相应的均方差为：
MS
A
SS A r 1
MS
B
SS B s1
MS
பைடு நூலகம்
E
SS e ( r 1 )( s 1 )
第23页
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方差分析
第16页
多因素方差分析
单因素方差分析研究的是总体的均值受一个 因素不同水平的影响。但在一些实际问题中， 影响总体均值的因素不止一个，这些因素间 还可能存在交互作用，这就要考虑两个或多 个因素的问题。 为简单起见，仅考虑两个因素的情况．
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STATA第四章t检验和单因素方差分析命令输出结果说明(最新整理)
第四章 t检验和单因素方差分析命令与输出结果说明·单因素方差分析单因素方差分析又称为Oneway ANOVA,用于比较多组样本的均数是否相同，并假定：每组的数据服从正态分布,具有相同的方差，且相互独立，则无效假设。
原假设：H0:各组总体均数相同。
在STATA中可用命令：oneway 观察变量分组变量[, means bonferroni]其中子命令bonferroni是用于多组样本均数的两两比较检验。
例：测定健康男子各年龄组的淋巴细胞转化率(%)，结果见表，问:各组的淋巴细胞转化率的均数之间的差别有无显著性？健康男子各年龄组淋巴细胞转化率(%)的测定结果:11-20 岁组：58 61 61 62 63 68 70 70 74 7841-50 岁组：54 57 57 58 60 60 63 64 6661-75 岁组：43 52 55 56 60用变量x 表示这些淋巴细胞转化率以及用分组变量group=1，2，3分别表示11-20岁组，41-50岁组和61-75岁组,即：数据表示为：x586161626368707074785457 group111111111122x575860606364664352555660 group222222233333则用 STATA 命令：oneway x group, mean bonferroni| Summary of xgroup | Mean ①-------------+------------1 | 66.52 | 59.8888893 | 53.2------+------------Total | 61.25 ②Analysis of VarianceSource SS df MS F Prob > F------------------------------------------------------------------------------- Between groups 616.311111③ 2 ④ 308.155556⑤ 9.77⑥ 0.0010⑦Within groups 662.188889⑧ 21⑨ 31.5328042⑴-------------------------------------------------------------------------------Total 1278.50 23 55.586956（2）Bartlett's test for equal variances:chi2(2) = 2.1977 （3）Prob>chi2=0.333Comparison of x by group(Bonferroni)Row Mean- |Col Mean | 1 2-------------- --|--------------------------------------2 | -6.61111 （4）| 0.054 （5）|3 | -13.3 （6） -6.68889（8）| 0.001 （7） 0.134 （9）①对应三个年龄组的淋巴细胞转化率的均数；②三组合并在一起的总的样本均数；③组间离均差平方和；④组间离均差平方和的自由度；⑤组间均方和(即：⑤=③/④)；⑧组内离均差平方和；⑨组内离均差平方和的自由度；（1）组内均方和(即：（1）=⑧/⑨)；⑥为F 统计值(即为⑤/（1）)；⑦为相应的p值；（2）为方差齐性的Bartlett检验；（3）方差齐性检验相应的p值；（4）第二组的淋巴细胞转化率样本均数—第一组的淋巴细胞转化率的样本均数的差；（5）第二和第一组均数差的显著性检验所对应p 值；（6）第三组的淋巴细胞转化率样本均数—第一组的淋巴细胞转化率的样本均数的差；（7）第三和第一组均数差的显著性检验所对应的 p 值；（8）第三组的淋巴细胞转化率样本均数—第二组的淋巴细胞转化率的样本均数的差；（9）第三和第二组均数差的显著性检验所对应的p 值。
方差分析2(共33张PPT)
• 使用Matlab 软件计算：
计算结果：
box图形
查表： F 和 p 结论: 拒绝H0.
• 统计分析
根据方差分析，得出结论是：药物治疗某种疾病有显著 差异，进一步问：哪一种药物治疗效果较好呢？
水平 1 2 3 4 5
ni
均值
标准差
6
7.5
1.6432
6
5
1.2649
6
4.3333 1.0328
设Y——小麦产量，A——温度(4)，B——品种(3)，
yy1114,1y,…12,,y1…4,n增y1n加8%。每个水平组合各作一次试验，得到如下表的数据，
206
191
218
224
A以B广告不同内试容形分式的析广泛原宣传料后，用按量寄回及的广来告上源的订地购数对计算产，品一年合四个格季度率的销的售量影情况响如下在表显： 著水平 下
yijk ~N(ij,2)
eijk
~
N (0,
2 ), 且各e 相互独立 ijk
r
s
rs
i 1
i
0,
j
j 1
0,
i 1
ij
j 1
0
其中
1 rs
r i1
s
ij,i
j1
1 s
s j1
ij
,
i i
j
1 r r i1
ij,
j j
ij (ij)ij
它为因素A、B的交 互效应值
三、双因素方差分析
30个病人，将他们分成5组，每组6人，同组病人使用一种药，
并记录病人从开始服药到痊愈所需的时间(天)，具体数据如下表：
药物A
A1 A2 A3 A4 A5
概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差
在回归分析中，数学期望和方差 等统计指标用于描述因变量和自 变量之间的关系，以及预测未来
的趋势。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差等 统计指标用于比较两组数据或样本 的差异，判断是否具有显著性。
方差分析
方差分析利用数学期望和方差等统 计指标，分析不同组别或处理之间 的差异，确定哪些因素对数据变化 有显著影响。
质量控制
统计分析
在统计分析中，方差分析是一种常用 的统计方法，通过比较不同组数据的 方差，可以判断它们是否存在显著差 异。
在生产过程中，方差用于度量产品质 量波动的程度，通过控制产品质量指 标的方差，可以提高产品质量稳定性。
03
期望与方差的关系
期望与方差的关系式
期望值是随机变量取值的平均数 ，表示随机变量的“中心趋势”
方差的性质
方差具有可加性
当两个随机变量相互独立时，它们组 合而成的随机变量的方差等于它们各 自方差的线性组合。
方差与期望值的关系
方差与期望值之间存在一定的关系， 如方差等于期望值减去偏差的平方和 再求平均值。
方差的应用
风险评估
在金融和经济学中，方差被用来度量 投资组合的风险，通过计算投资组合 中各个资产的方差和相关系数，可以 评估投资组合的整体风险。
期望与方差的拓展
期望与方差在金融中的应用
金融风险评估
利用数学期望和方差计算 金融资产的风险，评估投 资组合的风险和回报。
资产定价
利用数学期望和方差等统 计指标，对金融资产进行 定价，确定其内在价值。
保险精算
通过数学期望和方差等统 计方法，评估保险产品的 风险和回报，制定合理的 保费和赔付方案。
期望与方差在统计学中
期望与方差在其他领域的应用
方差分析2——精选推荐
⽅差分析2⽅差分析是⽤于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。
由于各种因素的影响，研究所得的数据呈现波动状，造成波动的原因可分成两类，⼀是不可控的随机因素，另⼀是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
⽅差分析的基本思想是：通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献⼤⼩，从⽽确定可控因素对研究结果影响⼒的⼤⼩。
⽅差分析主要⽤途：①均数差别的显著性检验，②分离各有关因素并估计其对总变异的作⽤，③分析因素间的交互作⽤，④⽅差齐性检验。
在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理⽅法对实验结果的影响。
通常是⽐较不同实验条件下样本均值间的差异。
例如医学界研究⼏种药物对某种疾病的疗效；农业研究⼟壤、肥料、⽇照时间等因素对某种农作物产量的影响；不同化学药剂对作物害⾍的杀⾍效果等，都可以使⽤⽅差分析⽅法去解决。
⽅差分析原理⽅差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间的差别基本来源有两个：(1) 随机误差，如测量误差造成的差异或个体间的差异，称为组内差异，⽤变量在各组的均值与该组内变量值之偏差平⽅和的总和表⽰，记作SS w，组内⾃由度df w。
(2) 实验条件，实验条件，即不同的处理造成的差异，称为组间差异。
⽤变量在各组的均值与总均值之偏差平⽅和表⽰，记作SS b，组间⾃由度df b。
总偏差平⽅和 SS t = SS b + SS w。
组内SS t、组间SS w除以各⾃的⾃由度(组内dfw =n-m，组间dfb=m-1，其中n为样本总数，m为组数)，得到其均⽅MS w和MS b，⼀种情况是处理没有作⽤，即各组样本均来⾃同⼀总体，MS b/MS w≈1。
另⼀种情况是处理确实有作⽤，组间均⽅是由于误差与不同处理共同导致的结果，即各样本来⾃不同总体。
那么，MS b>>MS w(远远⼤于)。
MS b/MS w⽐值构成F分布。
⽤F值与其临界值⽐较，推断各样本是否来⾃相同的总体。
⽅差分析的假设检验假设有m个样本，如果原假设H0：样本均数都相同即µ1=µ2=µ3=…=µm=µ，m个样本有共同的⽅差。
第四章方差分析2
H A0 : µ1 = µ2 = L = µr ; H A1 : 至少存在一对µi ≠ µ j ,
1 s 1 设 : x i ⋅ = ∑ x ij , ( i = 1, 2, L , r ), x ⋅ j = s j =1 r 1 x = rs
H B 0 : µ1 = µ 2 = L = µr ; H B1 : 至少存在一对µi ≠ µ j ,
Y i ~ N ( µ i , σ 2 ), ( i = 1, 2 , L , r ), 且 相 互 独 立 , y ij 是 Y ij的 样 本 值 , 在 同 一 Y i 下 , 样 本 Y ij ~ N ( µ i , σ 2 )( j = 1, 2 , L , n i ) 也 相 互 独 立 ,
∴ µ i的 1 − α 置 信 区 间 为 : Yi ⋅ − tα / 2 ( n − r )
2 SE , Yi ⋅ + tα / 2 ( n − r ) ni ( n − r ) 2 SE ni ( n − r )
9
结束
就例1而言 就例 而言, 而言
αˆ 1 = y 1 ⋅ − y = 1 7 3 . 5 − 1 9 0 . 3 3 = − 1 6 . 8 3 , αˆ 2 = y 2 ⋅ − y = 1 8 7 . 7 5 − 1 9 0 . 3 3 = − 2 . 5 8 , αˆ 3 = y 3 ⋅ − y = 2 0 9 . 7 5 − 1 9 0 . 3 3 = 1 9 . 4 2 .
2 A
2 A
( r − 1) , S = S
2 E
2 E
2 SA ( n − r ) , F = 2 ~ F ( r − 1, n − r ). SE
6
第四章多个样本均数比较的方差分析
第四章多个样本均数比较的方差分析方差分析的基本思想是通过比较各组或处理的均值差异与各组内的个体间差异来判断是否存在显著差异。
在进行方差分析之前，需要满足一些前提条件，如对总体的抽样是简单随机抽样、各样本之间是独立的等。
这些前提条件的满足保证了方差分析的可靠性。
多个样本的方差分析是通过计算组间离差平方和（SSTr）、组内离差平方和（SSE）和总离差平方和（SST）来比较各组或处理之间的差异。
计算公式为：SSTr = Σni(x̄i - x̄)²SSE = ΣΣ(xij - x̄i)²SST=SSTr+SSE其中，n是每组或处理的样本个数，ni是第i组或处理的样本个数，x̄i是第i组或处理的样本均值，x̄是全部样本的均值，xij是第i组或处理的第j个样本值。
通过计算SSTr和SSE，可以得到均方值（MS）：MStr = SSTr / (r - 1)MSE=SSE/(N-r)其中，r是组或处理的个数，N是总样本个数。
接下来，需要计算F值，用于判断各组或处理均值是否有显著差异：F = MStr / MSE根据F值和自由度，可以查找F表来确定是否存在显著差异。
如果F 计算值大于F临界值，则拒绝原假设，表示均值之间存在显著差异。
方差分析还可以进行多重比较，用于确定具体哪些组或处理之间存在显著差异。
常用的多重比较方法有Tukey的HSD（最大均值差异）和Bonferroni方法。
方差分析的优点是可以同时比较多个样本的均值差异，具有较好的统计效应。
然而，方差分析也存在一些限制，如对正态性和方差齐性的要求较高。
总之，多个样本均数比较的方差分析是一种常用的统计方法，在科学研究和实验设计中得到广泛应用。
它可以帮助研究人员确定不同处理或组之间的差异，为决策提供支持。
正交检验的极差分析和方差分析(教学课堂)
(Yij i )2
(Yij i )2
i1 j1
令下列各偏导数为零
S 0,
S 0
i
(i=1,2,…,k)
特选课堂
2
第四章 方差分析
4.1 方差分析的基本概念和原理
表 4－1 对6种型号生产线维修时数的调查结果
序号 型号
A型 B型 C型 D型 E型 F型
1
9.5 4.3 6.5 6.1 10.0 9.3
2
8.8 7.8 8.3 7.3 4.8 8.7
特选课堂
3
11.4 3.2 8.6 4.2 5.4 7.2
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
其中：
i 纯属Ai作用的结果,称为在Ai条件下Yi的真值(也称为
在Ai条件下Yi的理论平均). i是实验误差(也称为随机误差)。
i ~ N (0, 2 ) （4-2）
Yi ~ N (i , 2 )
其中, 和 都是未知参数(i=1,2,…,k).
i 2
i 1
Mean),它是比
较作用大小的一个基点；
特选课堂
14
第四章 方差分析
4.2.1 数学模型和数据结构
并且称
i i
为第i个水平Ai的效应.它表示水平的真值比一般
水平差多少。满足约束条件
1 2 k 0
(4-6)
可得
Yij i ij ;
i 0
i=1,2,…,k ;j=1,2,…,m
…
Ykj
…
Ykm
特选课堂
合计
T1 T2
…
Ti
…
Tk
平均
Y1 Y2
…
Yi
方差分析_精品文档
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2.2 组内观测次数相等的方差分析 K组处理中，每一处理皆有n个观测值，其方
差分析方法同前。
表5. 组内观测次数相等的单因素方差分析
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例2.测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵 州五个地区冬季针矛的长度，每个地区
随机抽取4个样本，测定结果如表示，试 比较各地区针毛长度差异显著性。
27
其中平均数差数标准误计算公式：
s x1x2
s12s22 n1 n2
se2(n11n12)
当n1=n2时，sx1x2
2se2 n
s e 2 为处理内误差方差，n为每一处理观察次数。
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例1. 表1. 氨氮含量(ppm)
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根据例1， s 2se2 2*9.112.13
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1.4.1 平方和的分解 总平方和=处理间平方和+处理内平方和
SSTSSt SSe
k
S S T 1
n(x x )2x 2 ( x )2x 2 T 2
1
k n
k n
令 C T 2 ，
kn
SST x2C
SSt =
Ti2 C n
SSe SSTSSt
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10
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例如，分析不同施肥量是否给农作物产
量带来显著影响，考察地区差异是否影 响妇女的生育率，研究学历对工资收入 的影响等。这些问题都可以通过单因素 方差分析得到答案。
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• 单因素方差分析的第一步是明确观测变 量和控制变量。例如，上述问题中的观
第4章 方差分析
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
方差分析基本思想：
方差分析，是按变异的不同来源，将全部观察值总的
离均差平方和和自由度分解为两个或多个部分，除随机误 差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用加以解释， 通过比较不同来源变异的均方（MS），借助F分布做出统 计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。
1 k i , i i k i 1
xij i ij
（4-1）
若令
则（4-1）式可以改写为
xij i ij
（4-2）
其中， 为全试验观测值总体平均数； 显然有
i 是第i个处理的效应，表示处理i对试验结果产生的影响。
i 1
k
1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单 2.
随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的 全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为
xi
x
j 1
ni
ij
ni
(i 1,2,, k )
18/46
式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
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浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
三、问题的一般提法
1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用 1 , 2, , k 表示 2. 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提 出如下假设： H0 ： 1 2 … k H1 ： 1 , 2 , ，k 不全相等
2. 3. 4.
差平方和 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组 间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为
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算标准误；
（2）同样都利用 t 分布临界表，该检验所用的自由度为误 差均方的自由度，而不是被比较的两个均数所确定的自由 度。
LSD检验的特点： （1）此方法实质上是 t 检验，这样会提高犯第一类错误的 概率。
（2）t 检验是适用于检验两个相互独立的样本平均数，因 此各被比较的两样本平均数在实验前已经指定，比如各试 验处理与对照的比较。
均数间的多重比较
SAS系统提供了14种不同的多重比较检验的方法， 各种比较检验的差别在于如何控制实验误差率 （EER）。某些方法是从整体上控制实验误差率， 而另一些方法只是将实验误差率控制在较小的范 围内。之所以出现不同的多种比较方法，实际上 是在I型错误和II型错误概率之间权衡利弊，因为 控制EER越严格，显著性检验的效能越低。
4.62
4.88
5.00
6.79
6.97
LSR0.05 1.50943.08 4.65 LSR0.01 1.5094 4.32 6.52
用上表的LSR值可进行不同M跨距的平均数间差异显 著性的检验。 如：大白与沈黑，M=4，极差=6.8>5.00，P<0.05
差异显著； 大白与沈花，M=2，极差=3.0<4.65，P>0.05 差异不显著。
k
数不是kn，而是 ni次，在计算平方和时公式稍有改变
（表8）。
i 1
表8 组内观测次数不相等的方差分析
变异来源
df
SS
s2
F
处理间
k 1
SSt
Tt2 C ni
st2
st2 se2
处理内
ni k SSe SST SSt
se2
总变异
ni 1
SST x2 C
在多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由于各
总和 Ti 123.6 103.2 96.2 111.4 T 434.4
平均数 xi 30.9
25.8
24.1
27.9 x 27.2
例 按上例4个不同品种猪4个月的增重量。
S 2Se2 29.113 2.1346
x1 x2
n
4
查 t 值表，当误差自由度 dfe 12 时，t0.05 2.179 t0.01 3.056
到 SSR 值。
③算出最小显著极差值：
LSR
SSR
S x
本例： S Se2 9.113 1.5094(kg)
x
n
4
表3 不同品种4个月增重量试验LSR值（Duncan）
M
2
SSR0.05
3.08
3
4
3.22
3.31
SSR0.01
LSR0.05 LSR0.01
4.32 4.65 6.52
4.50
处理
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
表9 小麦切胚乳试验单株粒重(g)
株
号
12345678
合计 平均数
9 10
21 29 24 22 25 30 27 26
204 25.5
20 25 25 23 29 31 24 26 20 21 244 24.4
24 22 28 25 21 26
146 24.3
方差分析步骤如下：
（1）平方和计算： C 14701.5 SST 230.5 SSt 6.8 SSe SST SSt 230.5 6.8 223.7
6.34
（3）用各组均数的差值 dij xi x j 与 HSD 比较。
dij HSD 则i与j处理均数差异显著。
5、四种多种比较检验的临界水平与均数间跨距的关系示 意。
Tukey
5
4
Dancan
SNK
临3
界
值2
LSD
1
0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 均数间跨度
Байду номын сангаас
图1 四种多种比较检验的临界水平与均数间跨距的关系示意
在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况。 例如，为了研究某种昆虫滞育的情况，同时选用几种温度（因 素A）和光照时间（因素B）进行室内培养，每一观测值都是某 一特定温度与光照条件共同作用的结果。在二因素试验中，当 二因素都是固定因素时称为固定模型；二因素均为随机因素时， 称为随机模型；一个因素是固定因素另一个因素是随机因素时， 称为混合模型。在计算方法上三种模型类似，但在对待检验及 结果解释时却不同。
故
LSD0.05
t0.05
S x1
x2
2.1792.1346 4.6513kg
LSD0.01
t0.01
S x1
x2
3.0562.1346 6.5233kg
多重比较结果的表示有多种方法，最常用的方法是标
记字母法。这种方法首先将全部平均数以大到小依次排 列，然后在最大的平均数上标字母a，将该平均数与以下 各平均数相比，凡相差不显著的（〈 LSD）都标上字母a， 直至某个与之相差显著，则标以字母b。
（5）多重比较
单因素方差分析检验所有总体均数相等的假设，即：
H0 : M1 M2 MR 。当ANOVA呈显著性结果，拒 绝原假设后，仅仅能说“在这R个总体均数中至少有两个 总体均数不相等”，并不能说“这R个总体均数的每两两 均不相等”。要探讨哪些处理平均数不等，就要进行均 数的多重比较。
1、LSD检验。
（2）q检验，q检验法又称 student-Newman-Keuls (SNK) 检验。
其方法与Duncan法类似，其区别仅在于计算最小
显著极差 LSR 时不是查 SSR ，而是查 q 值。
LSR0.05
q0.05
S x
LSR0.01
q0.01
S x
表4 不同品种4个月增重量试验LSR值（q法）
M
（2）列方差分析表：
表10 小麦切胚乳试验方差分析表
变异来源
df
SS
s2
处理间
2
6.8
3.4
处理内
21
233.7
10.7
总变异
23
230.5
F
0.318
从上表结果可知，F<1，表明三种处理的每株粒 重无显著差异。
由于F检验不显著，不需要在作多重比较。如果F
检验显著，则需要进一步计算n0 ，并求得s（x 用于 LSR
组内观测次数不等，无法直接套用式6.18和6.19，需先算
得各 ni 得平均数 n0 ：
n0
ni 2 ni2 ni k 1
6.22
然后有
s x
se2 ,或s
n0
x1 x2
2se2 。 n0
例 用某种小麦种子进行切胚乳试验，试验分为三种
处理：整粒小麦（Ⅰ），切去一半胚乳（Ⅱ），切去全部 胚乳（Ⅲ），同期播种于条件较一致得花盆内，出苗后 每盆选留两株，成熟后进行单株考种，每株粒重结果如 表9，试进行方差分析。
一、无重复观测值的二因素方差分析
依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个 处理可只设一个观测值，即假定A因素有a个水平，B因素有b个 水平，每个处理组合只有一个观测值。这种无重复观测值的二 因素分组资料模式如下表1。
… … …
… … …
因素A A1 A2
Aa
总和T j 平均数x j
表1 无重复观测值的二因素方差分析
在以该标有b的平均数为标准，与各个比它大的平均 数比较，凡差异不显著的在字母a的右边加标字母b。然 后再以标b的最大平均数为标准与以下未曾标有字母的平 均数比较，凡差异不显著的继续标以字母b，直至差异显 著的平均数标以字母c，在与上面的平均数比较，如此重 复，直至最小的平均数有了标记字母，并与上面的平均 数比较后为止。
4、Tukey HSD检验
该检验公式与Fisher LSD检验公式完全相同只是检 验的临界值选择过程略有不同。整体方差分析中被比较 均数的个数（k）参与该检验临界值的决定。而且所产 生的临界值作为所有多重均数比较的临界值。该多重检 验重于控制Ⅰ型误差，故有较高的Ⅱ类错误率（ ）。
Tukey HSD检验步骤如下：
品种
大白 沈花 沈白 沈黑
表1 不同品种间4个月增重量差异显著表
平均数
xi
差异显著性
0.05
0.01
30.9
a
A
27.9
ab
AB
25.8
b
AB
24.1
b
B
多重比较还可以用梯形比较法（见下表）。这种方法
是将各处理的平均数差数按梯形列于表中，并将这些差数 和LSD值比较。
品种
大白 沈花 沈白 沈黑
由R.A.Fisher提出的最小显著性差异法（least significant difference method 简称Fisher LSD）是最早用于检验所有 总体均数间两两相等假设的方法。
Fisher LSD检验统计量实际上与两独立样本 t 检验的公 式相似：
t xi x j
Se2
1 ni
2
xij xi x j x SST SSA SSB
与平方和相应的自由度分解为：
dfT ab 1 dfA a 1 dfB b 1
dfe a 1b 1
各项的方差分别为：
s
2 A
SS A df A
sB2
SSB dfB
se2
SSe dfe
将以上结果及期望方差列入方差分析表2中。
不同多重比较的显著性检验方法焦点在于 以下三个方面的权衡：
1)最大化的利用实际数据所提供的信息； 2)控制实验误差率； 3) 获得高的检验效能。
（二）组内观测次数不相等的方差分析
有时由于实验条件的限制，不同处理的观测次数不同， k个处理的观测次数依次是 n1、n2、 nk的单因素分组资料， 上面所述的方差分析方法仍然可用，但由于总观测次