第四章 方差分析2
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4、Tukey HSD检验
该检验公式与Fisher LSD检验公式完全相同只是检 验的临界值选择过程略有不同。整体方差分析中被比较 均数的个数（k）参与该检验临界值的决定。而且所产 生的临界值作为所有多重均数比较的临界值。该多重检 验重于控制Ⅰ型误差，故有较高的Ⅱ类错误率（ ）。
Tukey HSD检验步骤如下：
组内观测次数不等，无法直接套用式6.18和6.19，需先算
得各 ni 得平均数 n0 ：
n0
ni 2 ni2 ni k 1
6.22
然后有
s x
se2 ,或s
n0
x1 x2
2se2 。 n0
例 用某种小麦种子进行切胚乳试验，试验分为三种
处理：整粒小麦（Ⅰ），切去一半胚乳（Ⅱ），切去全部 胚乳（Ⅲ），同期播种于条件较一致得花盆内，出苗后 每盆选留两株，成熟后进行单株考种，每株粒重结果如 表9，试进行方差分析。
xi
0.05
0.01
大白
30.9
a
A
沈花
27.9
ab
AB
沈白
25.8
b
AB
沈黑
24.1
b
B
根据上述检验计算，可以看到在跨距M=2时，LSD 法，SSR法和q检验的显著尺度是相同的。当 M 3时， 三种检验的显著尺度便不相同，LSD最低，SSR法次之， q检验法最高。因此，对于精度要求高的试验应用q检验， 一般试验可用SSR法。
差异显著性
0.05
a ab b b
0.01
A A A A
表6 猪品种4个月增重量差异显著性比较表（q检验）
品种
平均数
xi
差异显著性
0.05
0.01
大白
30.9
a
A
沈花
27.9
ab
A
沈白
25.8
ab
A
沈黑
24.1
b
A
表7 不同品种4个月增重量差异显著表(LSD检验)
平均数
差异显著性
在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况。 例如，为了研究某种昆虫滞育的情况，同时选用几种温度（因 素A）和光照时间（因素B）进行室内培养，每一观测值都是某 一特定温度与光照条件共同作用的结果。在二因素试验中，当 二因素都是固定因素时称为固定模型；二因素均为随机因素时， 称为随机模型；一个因素是固定因素另一个因素是随机因素时， 称为混合模型。在计算方法上三种模型类似，但在对待检验及 结果解释时却不同。
2
3
4
q0.05
3.08
3.77
4.20
q0.01
4.32
5.04
5.50
LSR0.05
4.65
LSR0.01
6.52
5.69
6.34
7.61
8.30
3、三种方法的比较
表5 猪品种4个月增重量差异显著性比较表（Duncan法）
品种
大白 沈花 沈白 沈黑
平均数
xi
30.9 27.9 25.8 24.1
品种
大白 沈花 沈白 沈黑
表1 不同品种间4个月增重量差异显著表
平均数
xi
差异显著性
0.05
0.01
30.9
a
A
27.9
ab
AB
25.8
b
AB
24.1
b
B
多重比较还可以用梯形比较法（见下表）。这种方法
是将各处理的平均数差数按梯形列于表中，并将这些差数 和LSD值比较。
品种
大白 沈花 沈白 沈黑
处理
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
表9 小麦切胚乳试验单株粒重(g)
株
号
12345678
合计 平均数
9 10
21 29 24 22 25 30 27 26
204 25.5
20 25 25 23 29 31 24 26 20 21 244 24.4
24 22 28 25 21 26
146 24.3
方差分析步骤如下：
（1）平方和计算： C 14701.5 SST 230.5 SSt 6.8 SSe SST SSt 230.5 6.8 223.7
2
xij xi x j x SST SSA SSB
与平方和相应的自由度分解为：
dfT ab 1 dfA a 1 dfB b 1
dfe a 1b 1
各项的方Biblioteka Baidu分别为：
s
2 A
SS A df A
sB2
SSB dfB
se2
SSe dfe
将以上结果及期望方差列入方差分析表2中。
（5）多重比较
单因素方差分析检验所有总体均数相等的假设，即：
H0 : M1 M2 MR 。当ANOVA呈显著性结果，拒 绝原假设后，仅仅能说“在这R个总体均数中至少有两个 总体均数不相等”，并不能说“这R个总体均数的每两两 均不相等”。要探讨哪些处理平均数不等，就要进行均 数的多重比较。
1、LSD检验。
表2 不同品种间4个月增重量差异显著表
平均数
xi
30.9
差异显著性
xi 24.1 xi 25.8 xi 27.9
6.8**
5.1*
3.0
27.9
3.8
2.1
25.8
1.7
24.1
注意：尽管LSD在公式的外观上与两样本 t 公式相似，但 有两点本质性的区别。
（1）在计算均数差值的标准误差时，是用方差分析中获
1 nj
Se2 k
1 ni 1
k 1
ni 1
2
xij xi
例： 表4-2 4个不同品种猪4个月的增重量（kg）
品种
重 复 大白
沈白
沈黑
沈花
1
31.9 24.8 22.2 27.0
2
24.0 25.7 23.0 30.8
3
31.8 26.8 26.7 29.0
4
35.9 25.9 24.3 24.6
（1）查学生化极差临界值。(critical value of studentized range)
本例 设定 0.05, k 4, dfe 12.
qk,e
q4,12 0.05
4.20
（2）计算最小显著性差异值 HSD 。
HSD0.05
q4,12 0.05
Se2 4.201.5094 n
总和 Ti 123.6 103.2 96.2 111.4 T 434.4
平均数 xi 30.9
25.8
24.1
27.9 x 27.2
例 按上例4个不同品种猪4个月的增重量。
S 2Se2 29.113 2.1346
x1 x2
n
4
查 t 值表，当误差自由度 dfe 12 时，t0.05 2.179 t0.01 3.056
检验）或
s x1 x2
（用于
LSD
检验），即：
242 82 102 62
n0
24 2
7.8 8
s 10.7 1.16
x
8
2 10.7
s
1.64
x1 x2
8
最后必须指出，不等观测次数的试验要尽量避免，
因为这样的试验数据不仅计算麻烦，而且也降低了分析 的灵敏度。
第三节 二因素方差分析
一、无重复观测值的二因素方差分析
依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个 处理可只设一个观测值，即假定A因素有a个水平，B因素有b个 水平，每个处理组合只有一个观测值。这种无重复观测值的二 因素分组资料模式如下表1。
… … …
… … …
因素A A1 A2
Aa
总和T j 平均数x j
表1 无重复观测值的二因素方差分析
由R.A.Fisher提出的最小显著性差异法（least significant difference method 简称Fisher LSD）是最早用于检验所有 总体均数间两两相等假设的方法。
Fisher LSD检验统计量实际上与两独立样本 t 检验的公 式相似：
t xi x j
Se2
1 ni
（2）q检验，q检验法又称 student-Newman-Keuls (SNK) 检验。
其方法与Duncan法类似，其区别仅在于计算最小
显著极差 LSR 时不是查 SSR ，而是查 q 值。
LSR0.05
q0.05
S x
LSR0.01
q0.01
S x
表4 不同品种4个月增重量试验LSR值（q法）
M
6.34
（3）用各组均数的差值 dij xi x j 与 HSD 比较。
dij HSD 则i与j处理均数差异显著。
5、四种多种比较检验的临界水平与均数间跨距的关系示 意。
Tukey
5
4
Dancan
SNK
临3
界
值2
LSD
1
0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 均数间跨度
图1 四种多种比较检验的临界水平与均数间跨距的关系示意
在以该标有b的平均数为标准，与各个比它大的平均 数比较，凡差异不显著的在字母a的右边加标字母b。然 后再以标b的最大平均数为标准与以下未曾标有字母的平 均数比较，凡差异不显著的继续标以字母b，直至差异显 著的平均数标以字母c，在与上面的平均数比较，如此重 复，直至最小的平均数有了标记字母，并与上面的平均 数比较后为止。
得误均方 Se 估计，不同与两样本 t 检验仅用两组数据计
算标准误；
（2）同样都利用 t 分布临界表，该检验所用的自由度为误 差均方的自由度，而不是被比较的两个均数所确定的自由 度。
LSD检验的特点： （1）此方法实质上是 t 检验，这样会提高犯第一类错误的 概率。
（2）t 检验是适用于检验两个相互独立的样本平均数，因 此各被比较的两样本平均数在实验前已经指定，比如各试 验处理与对照的比较。
到 SSR 值。
③算出最小显著极差值：
LSR
SSR
S x
本例： S Se2 9.113 1.5094(kg)
x
n
4
表3 不同品种4个月增重量试验LSR值（Duncan）
M
2
SSR0.05
3.08
3
4
3.22
3.31
SSR0.01
LSR0.05 LSR0.01
4.32 4.65 6.52
4.50
（2）列方差分析表：
表10 小麦切胚乳试验方差分析表
变异来源
df
SS
s2
处理间
2
6.8
3.4
处理内
21
233.7
10.7
总变异
23
230.5
F
0.318
从上表结果可知，F<1，表明三种处理的每株粒 重无显著差异。
由于F检验不显著，不需要在作多重比较。如果F
检验显著，则需要进一步计算n0 ，并求得s（x 用于 LSR
均数间的多重比较
SAS系统提供了14种不同的多重比较检验的方法， 各种比较检验的差别在于如何控制实验误差率 （EER）。某些方法是从整体上控制实验误差率， 而另一些方法只是将实验误差率控制在较小的范 围内。之所以出现不同的多种比较方法，实际上 是在I型错误和II型错误概率之间权衡利弊，因为 控制EER越严格，显著性检验的效能越低。
因素B
B1
B2
Bb
x11
x12
x1b
x21 x22 x2b
总和Ti 平均数xi
T1
x1
T2
x2
xa1 xa2 xab
Ta
xa
T1
T2
Tb
T
x1
x2
xb
x
平方和的分解为：
C T2 ab
2
SST
xij x
2
SSA b xi x
2
SSB a x j x
SSe
故
LSD0.05
t0.05
S x1
x2
2.1792.1346 4.6513kg
LSD0.01
t0.01
S x1
x2
3.0562.1346 6.5233kg
多重比较结果的表示有多种方法，最常用的方法是标
记字母法。这种方法首先将全部平均数以大到小依次排 列，然后在最大的平均数上标字母a，将该平均数与以下 各平均数相比，凡相差不显著的（〈 LSD）都标上字母a， 直至某个与之相差显著，则标以字母b。
不同多重比较的显著性检验方法焦点在于 以下三个方面的权衡：
1)最大化的利用实际数据所提供的信息； 2)控制实验误差率； 3) 获得高的检验效能。
（二）组内观测次数不相等的方差分析
有时由于实验条件的限制，不同处理的观测次数不同， k个处理的观测次数依次是 n1、n2、 nk的单因素分组资料， 上面所述的方差分析方法仍然可用，但由于总观测次
4.62
4.88
5.00
6.79
6.97
LSR0.05 1.50943.08 4.65 LSR0.01 1.5094 4.32 6.52
用上表的LSR值可进行不同M跨距的平均数间差异显 著性的检验。 如：大白与沈黑，M=4，极差=6.8>5.00，P<0.05
差异显著； 大白与沈花，M=2，极差=3.0<4.65，P>0.05 差异不显著。
k
数不是kn，而是 ni次，在计算平方和时公式稍有改变
（表8）。
i 1
表8 组内观测次数不相等的方差分析
变异来源
df
SS
s2
F
处理间
k 1
SSt
Tt2 C ni
st2
st2 se2
处理内
ni k SSe SST SSt
se2
总变异
ni 1
SST x2 C
在多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由于各
（3）相比其他方法，这种方法较容易发现均值间的差异。
2、最小显著极差法（LSR法） （1）Duncan法
H0 : M1 M2 具体步骤如下： ①按相比较的样本容易计算平均数标准误：
当n1 n2 n时，有
S x
Se2 n
②将均数按其数值大小顺序排位，得到各均数间的跨距，
由跨距和 Se2 所具有自由度 dfe 查新复极差检验 SSR 值表得
该检验公式与Fisher LSD检验公式完全相同只是检 验的临界值选择过程略有不同。整体方差分析中被比较 均数的个数（k）参与该检验临界值的决定。而且所产 生的临界值作为所有多重均数比较的临界值。该多重检 验重于控制Ⅰ型误差，故有较高的Ⅱ类错误率（ ）。
Tukey HSD检验步骤如下：
组内观测次数不等，无法直接套用式6.18和6.19，需先算
得各 ni 得平均数 n0 ：
n0
ni 2 ni2 ni k 1
6.22
然后有
s x
se2 ,或s
n0
x1 x2
2se2 。 n0
例 用某种小麦种子进行切胚乳试验，试验分为三种
处理：整粒小麦（Ⅰ），切去一半胚乳（Ⅱ），切去全部 胚乳（Ⅲ），同期播种于条件较一致得花盆内，出苗后 每盆选留两株，成熟后进行单株考种，每株粒重结果如 表9，试进行方差分析。
xi
0.05
0.01
大白
30.9
a
A
沈花
27.9
ab
AB
沈白
25.8
b
AB
沈黑
24.1
b
B
根据上述检验计算，可以看到在跨距M=2时，LSD 法，SSR法和q检验的显著尺度是相同的。当 M 3时， 三种检验的显著尺度便不相同，LSD最低，SSR法次之， q检验法最高。因此，对于精度要求高的试验应用q检验， 一般试验可用SSR法。
差异显著性
0.05
a ab b b
0.01
A A A A
表6 猪品种4个月增重量差异显著性比较表（q检验）
品种
平均数
xi
差异显著性
0.05
0.01
大白
30.9
a
A
沈花
27.9
ab
A
沈白
25.8
ab
A
沈黑
24.1
b
A
表7 不同品种4个月增重量差异显著表(LSD检验)
平均数
差异显著性
在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况。 例如，为了研究某种昆虫滞育的情况，同时选用几种温度（因 素A）和光照时间（因素B）进行室内培养，每一观测值都是某 一特定温度与光照条件共同作用的结果。在二因素试验中，当 二因素都是固定因素时称为固定模型；二因素均为随机因素时， 称为随机模型；一个因素是固定因素另一个因素是随机因素时， 称为混合模型。在计算方法上三种模型类似，但在对待检验及 结果解释时却不同。
2
3
4
q0.05
3.08
3.77
4.20
q0.01
4.32
5.04
5.50
LSR0.05
4.65
LSR0.01
6.52
5.69
6.34
7.61
8.30
3、三种方法的比较
表5 猪品种4个月增重量差异显著性比较表（Duncan法）
品种
大白 沈花 沈白 沈黑
平均数
xi
30.9 27.9 25.8 24.1
品种
大白 沈花 沈白 沈黑
表1 不同品种间4个月增重量差异显著表
平均数
xi
差异显著性
0.05
0.01
30.9
a
A
27.9
ab
AB
25.8
b
AB
24.1
b
B
多重比较还可以用梯形比较法（见下表）。这种方法
是将各处理的平均数差数按梯形列于表中，并将这些差数 和LSD值比较。
品种
大白 沈花 沈白 沈黑
处理
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
表9 小麦切胚乳试验单株粒重(g)
株
号
12345678
合计 平均数
9 10
21 29 24 22 25 30 27 26
204 25.5
20 25 25 23 29 31 24 26 20 21 244 24.4
24 22 28 25 21 26
146 24.3
方差分析步骤如下：
（1）平方和计算： C 14701.5 SST 230.5 SSt 6.8 SSe SST SSt 230.5 6.8 223.7
2
xij xi x j x SST SSA SSB
与平方和相应的自由度分解为：
dfT ab 1 dfA a 1 dfB b 1
dfe a 1b 1
各项的方Biblioteka Baidu分别为：
s
2 A
SS A df A
sB2
SSB dfB
se2
SSe dfe
将以上结果及期望方差列入方差分析表2中。
（5）多重比较
单因素方差分析检验所有总体均数相等的假设，即：
H0 : M1 M2 MR 。当ANOVA呈显著性结果，拒 绝原假设后，仅仅能说“在这R个总体均数中至少有两个 总体均数不相等”，并不能说“这R个总体均数的每两两 均不相等”。要探讨哪些处理平均数不等，就要进行均 数的多重比较。
1、LSD检验。
表2 不同品种间4个月增重量差异显著表
平均数
xi
30.9
差异显著性
xi 24.1 xi 25.8 xi 27.9
6.8**
5.1*
3.0
27.9
3.8
2.1
25.8
1.7
24.1
注意：尽管LSD在公式的外观上与两样本 t 公式相似，但 有两点本质性的区别。
（1）在计算均数差值的标准误差时，是用方差分析中获
1 nj
Se2 k
1 ni 1
k 1
ni 1
2
xij xi
例： 表4-2 4个不同品种猪4个月的增重量（kg）
品种
重 复 大白
沈白
沈黑
沈花
1
31.9 24.8 22.2 27.0
2
24.0 25.7 23.0 30.8
3
31.8 26.8 26.7 29.0
4
35.9 25.9 24.3 24.6
（1）查学生化极差临界值。(critical value of studentized range)
本例 设定 0.05, k 4, dfe 12.
qk,e
q4,12 0.05
4.20
（2）计算最小显著性差异值 HSD 。
HSD0.05
q4,12 0.05
Se2 4.201.5094 n
总和 Ti 123.6 103.2 96.2 111.4 T 434.4
平均数 xi 30.9
25.8
24.1
27.9 x 27.2
例 按上例4个不同品种猪4个月的增重量。
S 2Se2 29.113 2.1346
x1 x2
n
4
查 t 值表，当误差自由度 dfe 12 时，t0.05 2.179 t0.01 3.056
检验）或
s x1 x2
（用于
LSD
检验），即：
242 82 102 62
n0
24 2
7.8 8
s 10.7 1.16
x
8
2 10.7
s
1.64
x1 x2
8
最后必须指出，不等观测次数的试验要尽量避免，
因为这样的试验数据不仅计算麻烦，而且也降低了分析 的灵敏度。
第三节 二因素方差分析
一、无重复观测值的二因素方差分析
依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个 处理可只设一个观测值，即假定A因素有a个水平，B因素有b个 水平，每个处理组合只有一个观测值。这种无重复观测值的二 因素分组资料模式如下表1。
… … …
… … …
因素A A1 A2
Aa
总和T j 平均数x j
表1 无重复观测值的二因素方差分析
由R.A.Fisher提出的最小显著性差异法（least significant difference method 简称Fisher LSD）是最早用于检验所有 总体均数间两两相等假设的方法。
Fisher LSD检验统计量实际上与两独立样本 t 检验的公 式相似：
t xi x j
Se2
1 ni
（2）q检验，q检验法又称 student-Newman-Keuls (SNK) 检验。
其方法与Duncan法类似，其区别仅在于计算最小
显著极差 LSR 时不是查 SSR ，而是查 q 值。
LSR0.05
q0.05
S x
LSR0.01
q0.01
S x
表4 不同品种4个月增重量试验LSR值（q法）
M
6.34
（3）用各组均数的差值 dij xi x j 与 HSD 比较。
dij HSD 则i与j处理均数差异显著。
5、四种多种比较检验的临界水平与均数间跨距的关系示 意。
Tukey
5
4
Dancan
SNK
临3
界
值2
LSD
1
0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 均数间跨度
图1 四种多种比较检验的临界水平与均数间跨距的关系示意
在以该标有b的平均数为标准，与各个比它大的平均 数比较，凡差异不显著的在字母a的右边加标字母b。然 后再以标b的最大平均数为标准与以下未曾标有字母的平 均数比较，凡差异不显著的继续标以字母b，直至差异显 著的平均数标以字母c，在与上面的平均数比较，如此重 复，直至最小的平均数有了标记字母，并与上面的平均 数比较后为止。
得误均方 Se 估计，不同与两样本 t 检验仅用两组数据计
算标准误；
（2）同样都利用 t 分布临界表，该检验所用的自由度为误 差均方的自由度，而不是被比较的两个均数所确定的自由 度。
LSD检验的特点： （1）此方法实质上是 t 检验，这样会提高犯第一类错误的 概率。
（2）t 检验是适用于检验两个相互独立的样本平均数，因 此各被比较的两样本平均数在实验前已经指定，比如各试 验处理与对照的比较。
到 SSR 值。
③算出最小显著极差值：
LSR
SSR
S x
本例： S Se2 9.113 1.5094(kg)
x
n
4
表3 不同品种4个月增重量试验LSR值（Duncan）
M
2
SSR0.05
3.08
3
4
3.22
3.31
SSR0.01
LSR0.05 LSR0.01
4.32 4.65 6.52
4.50
（2）列方差分析表：
表10 小麦切胚乳试验方差分析表
变异来源
df
SS
s2
处理间
2
6.8
3.4
处理内
21
233.7
10.7
总变异
23
230.5
F
0.318
从上表结果可知，F<1，表明三种处理的每株粒 重无显著差异。
由于F检验不显著，不需要在作多重比较。如果F
检验显著，则需要进一步计算n0 ，并求得s（x 用于 LSR
均数间的多重比较
SAS系统提供了14种不同的多重比较检验的方法， 各种比较检验的差别在于如何控制实验误差率 （EER）。某些方法是从整体上控制实验误差率， 而另一些方法只是将实验误差率控制在较小的范 围内。之所以出现不同的多种比较方法，实际上 是在I型错误和II型错误概率之间权衡利弊，因为 控制EER越严格，显著性检验的效能越低。
因素B
B1
B2
Bb
x11
x12
x1b
x21 x22 x2b
总和Ti 平均数xi
T1
x1
T2
x2
xa1 xa2 xab
Ta
xa
T1
T2
Tb
T
x1
x2
xb
x
平方和的分解为：
C T2 ab
2
SST
xij x
2
SSA b xi x
2
SSB a x j x
SSe
故
LSD0.05
t0.05
S x1
x2
2.1792.1346 4.6513kg
LSD0.01
t0.01
S x1
x2
3.0562.1346 6.5233kg
多重比较结果的表示有多种方法，最常用的方法是标
记字母法。这种方法首先将全部平均数以大到小依次排 列，然后在最大的平均数上标字母a，将该平均数与以下 各平均数相比，凡相差不显著的（〈 LSD）都标上字母a， 直至某个与之相差显著，则标以字母b。
不同多重比较的显著性检验方法焦点在于 以下三个方面的权衡：
1)最大化的利用实际数据所提供的信息； 2)控制实验误差率； 3) 获得高的检验效能。
（二）组内观测次数不相等的方差分析
有时由于实验条件的限制，不同处理的观测次数不同， k个处理的观测次数依次是 n1、n2、 nk的单因素分组资料， 上面所述的方差分析方法仍然可用，但由于总观测次
4.62
4.88
5.00
6.79
6.97
LSR0.05 1.50943.08 4.65 LSR0.01 1.5094 4.32 6.52
用上表的LSR值可进行不同M跨距的平均数间差异显 著性的检验。 如：大白与沈黑，M=4，极差=6.8>5.00，P<0.05
差异显著； 大白与沈花，M=2，极差=3.0<4.65，P>0.05 差异不显著。
k
数不是kn，而是 ni次，在计算平方和时公式稍有改变
（表8）。
i 1
表8 组内观测次数不相等的方差分析
变异来源
df
SS
s2
F
处理间
k 1
SSt
Tt2 C ni
st2
st2 se2
处理内
ni k SSe SST SSt
se2
总变异
ni 1
SST x2 C
在多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由于各
（3）相比其他方法，这种方法较容易发现均值间的差异。
2、最小显著极差法（LSR法） （1）Duncan法
H0 : M1 M2 具体步骤如下： ①按相比较的样本容易计算平均数标准误：
当n1 n2 n时，有
S x
Se2 n
②将均数按其数值大小顺序排位，得到各均数间的跨距，
由跨距和 Se2 所具有自由度 dfe 查新复极差检验 SSR 值表得