并式复合实物期权定价方法研究

并式复合实物期权定价方法研究

段世霞1,2　扈文秀1

1

(西安理工大学,西安　710054)　2

(郑州大学,郑州　450001)

〔摘　要〕　本文提出新的复合实物期权分类方法,认为复合实物期权是并式复合实物期权和串式

复合实物期权的集合,而或式复合实物期权和和式复合实物期权又是并式复合实物期权的元素,同时它们又都是由单个实物期权构成的。并对其中的并式复合实物期权定价方法进行了详细的阐述,最后还用实例对这种方法进行了说明。

〔关键词〕　实物期权　期权定价　投资项目〔中图分类号〕F830159　〔文献标识码〕A

　收稿日期:2006—12—05　基金项目:国家自然科学基金资助项目(项目编号:70371021),陕西省教育厅2006年专项科学研究计划资助项目(项目编号:

06J K 82),西安理工大学科技创新基金资助项目(项目编号:107-210302)

0　引　言

自Myers 教授1977年首次把期权定价理论引入项目投资领域,提出实物期权的概念以来,关于实物期权定价的问题始终是研究者关注的焦点问题。实物期权的定价方法主要源于Black 、Scholes 、Merton 、C ox 、R oss 、Ru 2

binstein 等学者的研究成果。其中,Black 、Scholes 和Mer 2ton 的连续时间的BS 期权定价模型和C ox 、R oss 及Rubin 2stein 的离散时间的二叉树定价模型是期权定价的基本模

型。Mas on 和Merton 指出实物期权可以按照期权定价模型进行估价。因此,作为动态组合的可交易孪生证券

(trade twin securities ),在完善的市场条件下,如果和不能交易的实物资产的风险特征完全相同,实物期权估价问题便可以迎刃而解。同时,C ox 、Ingers oll 和R oss 认为,任何资产的或有权(contingent claims ),不管是否能够交易,在存在系统风险的情况下,都可以通过使用确定等价率(certainty -equivalent rate )代替实际的增长率进行定价。在实物期权定价研究中,单个实物期权(single re 2al option )的估价问题取得了显著成效,其理论和方法都较成熟、系统。但是,随着实物期权理论深入的探讨及项目投资评价与决策的实际发展,人们(Myers (1987),

Mas on 和Merton (1985),T rigeorgis 和Mas on (1987),T ri 2georgis (1988)等等)逐渐发现蕴含在投资项目中的经营

灵活性和战略价值实际上大多数是以多个实物期权或实物期权组合的价值得以体现的,因此,实物期权理论的研究如果只停留在单个实物期权的定价这个层面上显然是不能反映客观实际要求的。从而,在这种背景下,一部分研究者开始把研究的目光投向多个实物期权或实物期权组合的价值确定的问题上。

关于这部分研究的现有的文献可从两方面来归纳,其一是对多个实物期权的相互作用、多个实物期权或实物期权组合价值的探讨。对这方面研究突出的当属T rige 2

orgis 。T rigeorgis [1]在1986年就意识到多个实物期权之间具

有相互作用,并在1993年用实际例子证明了这种相互作

用存在,研究结果表明实物期权之间不具有价值可加性;同时T rigeorgis 还使用数值分析方法研究了复合实物期权的价值估价问题,这有力地推进了实物期权方法从理论研究转向实际应用。Pennings 和Lint (2000)[2]研究了存在于同一个投资项目中的多个实物期权的相互作用,强调在同一个投资项目中的多个实物期权不能被单独估值,识别出在同一个问题中存在两个相互独立的期权等等。这些文章确实都考察了实物期权的组合问题,然而,他们都没有详细的集中于研究一般性的实物期权组合的估值问题。其二是把传统的G eske 模型进行改造、扩展和推广后用于复合实物期权的定价,也就是复合实物期权定价方法的探讨。Dixit 和Pindyck (1994)将多期序列投资看成是多期复合实物期权,分别采用动态规划方法和相机权益分析(CC A )方法建立定价的偏微分方程,在一定的边界条件下求得复合实物期权价值函数以及执行阈值的解析解,但是只有在某些特定的边界条件下才能获得解析解,大多数情形仍然需要数值求解。Alvarez 和S tenbacka (2001)[3]基于马尔科夫泛函的格林表示提出一种对复合实物期权通用的计算方法,该方法能够提供系统的方法来计算复合实物期权价值函数和刻画期权的最优执行规则。G eman ,EI K aroui 和R ochet (1995)[4]及E let 2tra 和R ossella (2003)[5]放松了几何布朗运动假设,引入更有适应性的变波动率,并同时考虑资产价值和利率两个因素,将复合实物期权模型扩展到两因素情形。但是这些所有的研究都是集中在传统的金融复合期权定价模型下探讨某一个具体领域或项目周期中某一阶段的复合实物期权评价问题,没有意识到从金融期权理论向实物期权理论转变后,复合实物期权的概念和研究框架应该扩大化,因而这些研究缺乏理论上的普遍性和系统性。幸运的是,Rainer Brosch (2001)[6]在研究实物期权组合特性的基础上,对实物期权之间的复合关系进行了定义和分类。他把复合实物期权的复合关系定义为因果复合、

时间复合和项目间复合,并且对于它们的价值评估及其之间的差别通过数值例子进行了分析说明。不过,他也没有提出一个运用复合实物期权的思想和方法对投资项目进行评价的一般性方法。同时由于复合期权的构成和相互价值作用关系极其复杂,单一的分类方法,不能完全揭示其本质。因此,本文将在前人研究的基础之上,提出新的复合期权分类方法,并对其中的并式复合实物期权定价问题进行研究。

1　并式复合实物期权的概念及特点

复合金融期权是指期权的期权。虽然实物期权渊于金融期权,然而复合实物期权要比其复杂得多[7]。一般认为复合实物期权是指由多个单个实物期权组成的,在时间和空间上相互作用的实物期权集合。这种分类方法一端是单个实物期权,另一端是复合实物期权,分类过于单一,没有中间过度,不便于复合实物期权的定价。实际上复合实物期权是由并式复合实物期权和串式复合实物期权组成的,而并式复合实物期权又由或式复合实物期权和和式复合实物期权组成。

具体组成关系见图1。

图1　复合实物期权分类

所谓或式复合实物期权是指由多个单个实物期权组成的,决策者同时有多个实物期权可以选择,但只能选择其中一个的复合实物期权。如决策者在未来的一段时间里,可以根据项目的实际状况,选择扩张期权、收缩期权和放弃期权三个期权中的任意一个,但不能同时选择其中的任意两个实物期权或三个实物期权。所谓和式复合实物期权是指由多个单个实物期权组成的,决策者同时拥有多个实物期权,而且这几个实物期权要么同时持有,要么同时执行的复合实物期权。所谓串式复合实物期权是指由多个单个实物期权组成的,但多个实物期权之间有相互因果关系的实物期权。如果一个项目存在多个阶段,而后一阶段又取决于前一阶段成功与否,那么此时就存在一个串式复合实物期权。因此复合实物期权是并式复合实物期权和串式复合实物期权的集合,而或式复合实物期权和和式复合实物期权又是并式复合实物期权的元素,同时它们又都是由单个实物期权构成的。

2　并式复合实物期权定价模型

211　单个实物期权二叉树期权定价模型

假设二叉树标的资产价值运动过程[8]的有关参数如表1。

则时间为0时,标的资产价值为S;时间为Δt 时,标的资产价值有两种可能:Su 和Sd ;时间为2Δt 时,标的资

产价值有三种可能:Su 2、Sud 和Sd 2,以此类推。一般情况下,i

Δt 时刻,标的资产价值有i +1种可能,表示为:Su j d i -j j =0,1　

Λ,i 表1　二叉树标的资产价值运动过程的有关参数参数S

u d p r ,σ,T

取值

已知e

σΔt

e

-σΔt

e r Δ

t -d

u -d

常数

实物期权价值的计算是从树图的终点节点(n =T/Δt )开始向前倒推进行的。在终点节点(i =n j =0,1　

Λ,i )持有实物期权的价值为Su j d i -j ,如果该节点实物期权的价值为f j ,i -j ,则该节点的价值的最后值为max

{Su j d i -j ,f j ,i -j ,0}。T -Δt 时刻的每个节点(i =n -1　j

=0,1　

Λ,i )上的价值最后值f j ,i -j 、T 时刻期权价值的期望值在Δt 时间内用利率r 贴现值和0之间的较大者。T -2Δt 时刻的每个节点(i =n -2　j =0,1　Λ,i )的价值最后值可由f j ,i -j 、T -Δt 时刻的期望值在Δt 时间内用利率r 贴现值和0之间的较大者求出。同理,T -3Δt 时刻的每个节点(i =n -3　j =0,1　Λ,i )的价值最后值可由f j ,i -j 、T -2

Δt 时刻的期望值在Δt 时间内用利率r 贴现值和0之间的较大者求出。其它节点依次类推。最后,向前倒推通过所有的节点就可得到0时刻的期权值。

212　或式复合实物期权价值确定

根据或式复合实物期权的定义可知,组成或式复合实物期权的单个实物期权存在着互斥性和相互独立性,

因此不能通过计算单个实物期权价值后相加求得[9]。或式复合实物期权价值的计算仍然是从树图的终点节点开始向前倒推进行的。假如共有k 个实物期权可供选择,在终点节点(i =n j =0,1　Λ,i )持有实物期权的价值为Su j d i -j ,该节点实物期权1的价值为f 1j ,i -j 、实物期

权2的价值为f 2j ,i -j ,……,实物期权k 的价值为f k

j ,i -j ,则该节点的价值的最后值为Max {Su j d i -j ,f 1j ,i -j ,f 2j ,i -j ,

Λ,f k j ,i -j ,0}。T -Δt 时刻的每个节点(i =n -1　j =0,1　

Λ,i )上的价值最后值为该节点实物期权1的价值为f 1j ,i -j 、实物期权2的价值为f 2j ,i -j 、……、实物期权k 的

价值为f k j ,i -j 、T 时刻期权价值的期望值在Δt 时间内用利率r 贴现值和0之间的较大者。T -2

Δt 时刻的每个节点(i =n -2　j =0,1　

Λ,i )的价值最后值可由该节点实物期权1的价值为f 1j ,i -j 、实物期权2的价值为f 2j ,i -j 、

……、实物期权k 的价值为f k j ,i -j 、T -Δt 时刻的期望值在Δt 时间内用利率r 贴现值和0之间的较大者求出。同理,T -3Δt 时刻的每个节点(i =n -3　j =0,1　Λ,i )的价值最后值可由该节点实物期权1的价值为f 1j ,i -j 、实物期权2的价值为f 2j ,i -j 、……、实物期权k 的价值为f k j ,i -j 、T -2Δt 时刻的期望值在Δt 时间内用利率r 贴现值和0之间的较大者求出。其它节点依次类推。最后,向前倒推通过所有的节点就可得到0时刻的期权值。