高一数学四种命题的关系

反证法：
要证明某一结论A是正确的，但不直接证 明，而是先去证明 A 的反面（非 A ）是错 误的，从而断定A是正确的。 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的 论证的一种数学证明方法。

反证法的步骤：
1. 假设命题的结论不成立，即假设结论的
反面成立。 推理过程中一定要用到才行 2. 从这个假设出发，通过推理论证，得出 矛盾。 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题 的结论正确。
总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题பைடு நூலகம்真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现: 从命 题结论的反面出发 , 引出矛盾 ( 如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: 原命题: 若 p, 逆命题: 若 q, 否命题: 若┐p, 逆否命题: 若┐q, 则 q 则 p 则┐q 则┐p
观察与思考
？
1）若f ( x)是正弦函数，则f ( x)是周期函数。
2）若f ( x)是周期函数，则f ( x)是正弦函数。
这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原 命题为真命题。
可能出现矛盾四种情况：
与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。



例
用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a b .
证明: 假设
a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.
证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（ a2能被2整除）相矛 盾, ∴a能被2整除.
U
A A∩B
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
证明: 假设 p q 2 ,
则 ( p q) 2 4 , ∴ p2 q 2 2 pq 4 ,
2 2
假设原命题结 论的反面成立 看能否推出原命题 条件的反面成立
∵ p q ≥ 2 pq , 2 2 2 2 ∴ 2( p q ) 4 , ∴ p q 2 , 尝试成功 2 2 ∴ p q 2. 得证
3）若f ( x)不是正弦函数，则f ( x)不是周期函数。 4）若f ( x)不是周期函数，则f ( x)不是正弦函数。
你能说出其中任意 两个命题之间的关 系吗?
课 堂 小 结
原命题 若 p则 q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p
互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q则﹁p
看下面的例子：
2.四种命题的真假
(真 ) (真 ) (真 ) (真 )
1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真 ) (假 ) 逆命题：若ab=0, 则a=0。 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假 ) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真 ) 3）原命题：若x∈A∪B，则x∈ U A∪ UB。 假 逆命题： x∈ UA∪ UB ，x∈A∪B 。 假 假 否命题： xA∪B，x UA∪ UB。
其原命题、逆否命题不一定为真。
想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？ 即 原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。 (两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).
练一练
1.判断下列说法是否正确。 （对） 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。 答：0个、2个、4个。 如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。 （对） （错） （错）
王新敞
奎屯
新疆
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析:直接证不好下手.
将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。 由于原命题和它的逆否命题具有相同的真 假性，要证原命题为真命题，可以证明它 的逆否命题为真命题。
2 2 即证明 为真命题 “ 若 p q 2, 则 p q 2.”
郑平正制作
1.1.3四种命题的 相互关系
高二数学 选修2-1
第一章
常用逻辑用语
回顾

交换原命题的条件和结论，所得的命题是 逆命题。 ________
同时否定原命题的条件和结论，所得的命 否命题。 题是________ 交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 逆否命题。 所得的命题是__________
这表明原命题的逆否命题为真命题 , 从而原命 题也为真命题.
变式练习
3 3 p q 2 。求证：p q 2. 1、已知
解：假设p+q>2,那么q>2-p, 根据幂函数
y x 的单调性，得 q (2 p) ,
3
3 3
3 2 3 q 8 12 p 6 p p , 即 1 2 3 3 2 p q 8 12 p 6 p 6 ( p 1) , 3 3 3 3 3 p q 2. 所以 因此 p q 2.
B
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发生在我们学校的事，当时我就在现场。”看到大家的注意力都聚拢过来，江文轩接着大声地说道，“有一段时间学校学生食 堂大米中断了供应，那段时间，南方同学的饭吃得是没滋没味、生活过得缺少了一种情趣。突然有一天听到通知说当天有米饭 供应，许多同学立刻蜂拥至食堂，争先恐后地挤向打饭的窗口，没有一个人愿意耐心排队，窗口前里三层外三层地乱成一团。 不一会儿，只见一个男同学从人群中费了吃奶的劲吃力地挤了出来，米饭没有买到，他却一点也不生气，反而在那里捂着肚子、 上气不接下气地哈哈大笑。笑够了才发现大家像看疯子一样盯着他，他赶紧把一只手举起来，看着举起的那只严重变形的搪瓷 碗，同学们‘哄’的一声也大笑起来。”大家都笑得气都喘不过了，有的直喊肚子痛，有的人笑得直跺脚。马启明眼泪掉下来 了、手拍着桌子、开玩笑道：“那个同学就是你吧！”大米里面的小沙子小石子就能引出这么多的话题，可见老乡们在一起有 谈不完的话也就不奇怪了。要是研究地球爆炸，地球人应该搬到哪里去的话还不要嘈嘈嚷嚷讨论个三天三夜。“我在这也闹过 一个笑话。有一天，我去食堂吃肉丝面，师傅没有放辣椒。咱北方人没有辣椒就觉面不香。我就到厨房对师傅说，怎么面条一 点都不辣，他一听立刻把胡椒面递给我，我说我要的是辣椒不是胡椒面，师傅说，你不是嫌不麻吗？这个胡椒面很麻的。我指 着辣椒对他来说，我要的是辣椒，不是胡椒面。原来他们这里麻辣不分，麻就是辣，辣就是麻，你根本无法解释清楚。你说， 吃米饭吃的时候感觉到饱了，但是时间不长又饿了，不抵饿，不像面食一样抵饿，你是学医学的，你说为什么？”马启明顺带 给江文轩出了个难题。啤酒是激情的催化剂。马启明又一杯啤酒爽下去了，没有一种酒比啤酒更有豪气了，一大杯吞入口，啤 酒在食管里像瀑布冲下，碰到胃壁溅出水花又喷上口来，打了一个呃，他又被花开啤酒爽了一回，就是爽得有点肚子发胀，还 想从上面打嗝，也想从下面排气。马启明恍然大悟，原来“屁酒”的气是从上呼吸道喷出去的，也有从直肠末端排出去的，那 么就夹杂着各种各样的响声。恐怕人们最先叫作“屁酒”，后来嫌“屁酒”叫起来不文雅，所以现在就叫——啤酒。他为这个 发现而沾沾自喜，又奖励了自己一杯啤酒。“咚”突然一声惊雷震天响，马启明一不小心，直肠里面的气体直接喷了出来，但 一点味道都没有，这气体肯定是啤酒里面的空气和CO2，没有H2S和甲烷，这是他除了尴尬之外，唯一能值得庆幸的事。江文轩 脸上洋溢着一层兴奋的红光，鼻翼也因为兴奋而扩张，他又开始分析：“咱们大部分人都习惯吃面食，米饭吃一天两天还可以， 时间长了肠胃就有意见了，感觉吃米饭吃不饱肚子，就像南方人感觉吃面吃不
a< b a a b a
a b b b a <b
a = b a =b 这些条件都与已知a b 0 矛盾
所以原命题
a b
成立
练
圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、 CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
证明： 假设弦AB 、CD被P平分， ∵P点一定不是圆心O，连接OP， 根据垂径定理的推论，有 OP⊥AB, OP⊥CD 即 过点P有两条直线与OP都垂直， 这与垂线性质矛盾， ∴弦AB、CD不被P平分。
（假） （假） （假） （假）
练习：分别写出下列命题的逆命题、否命 题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若q<1,则方程
（3）若 m 0 或n
x 2x q 0 有实根。
2
（2）若ab=0,则a=0或b=0.
0，则 m n 0 。 2 2 （4）若 x y 0，则x,y全为零。
Help
逆否命题： x UA∪ UB ，xA∪B 。
假
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真 真 假 假
逆命题
真 假 真 假
否命题
真 假 真 假
逆否命题
真 真 假 假
几条结论:
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但
其逆命题、否命题不一定为真。
（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但