初识哈尔连续小波基函数的定义

=
akf
kÎ ¢
(x -
k ),ak
?
¡
a2
a0
a-1
-1
0
1
2
3
4
a1
a3
➢ V 0 是所有不连续点仅在整数集中的分段常量函数所组成 的集合（空间）
初识哈尔
➢ 令所有能用 f (2x)线性表示的函数组成的集合为
å V1 =
禳 镲 镲 睚 镲 镲 铪f f
=
akf
kÎ ¢
(2x -
k ),ak
?
¡
➢ 支集
-?
➢ Wave与Wavelet
➢ 窗口的影响
初识哈尔
➢ 1909年，哈尔利用Haar函数给出了一个规范正交系 统，用来表示定义在实数域上的平方可积函数空间
➢ Haar尺度函数 (Scale Function)的定义
➢ 令所有能用尺度函初数线识性表哈示的尔函数组成的集合为
å V 0 =
禳 镲 镲 睚 镲 镲 铪f f
f (x) = f0 (x) + f1 (x ) + 2f2 (x ) + 4f3 (x ) + f4 (x )
重温傅立叶
➢ 傅立叶变换：将信号表示成一组正弦和余弦之和
f (x) = f0 (x) + f1 (x ) + 2f2 (x ) + 4f3 (x ) + f4 (x )
8
6
4
2
0
0
1
2
3
➢ 窗口的大小和形状是固定的，没有自适应性 ➢ 海森堡测不准原理
t 1
2
➢ 没有任何一种窗口傅立叶变换，能使时间分辨率和频率 分辨率同时达到任意小
➢ 只能牺牲时间分辨率来换取频率分辨率，或者以频率分 辨率换取时间分辨率
➢ 用傅立叶变换分重析非温平稳傅的信立号叶
➢ Gibbs (吉布斯)效应
➢ 傅立叶变换对非平稳信号的稀疏表示和分析不强！
+?
f (x- j),f (x- k) = ò- ? f (x- j)f (x- k)dx = 0,( j ? k)
初识哈尔
➢ 上述所有的子空间{Vj}jÎ Z 称为由同一 f (t) 经伸缩后的 平移系列张成的多分辨率的尺度空间
VV33 VV22 V11 V 00
f(t)
Transform
F()
t
0
t
0
t
0
t
重温傅立叶
➢ 傅立叶变换：将信号表示成一组正弦和余弦之和
F()
4
2 1
0 12 3
f0 (x ) = 1 f1 (x) = sin (x ) f2 (x) = cos(2x) f3 (x) = cos(3x) 18 f4 (x) = si Vj是一分段常量函数空间，其间断点在下列集合中
{ } L
,
-3 2j
,
2
2
j
,
2
1
j
,
0,
1 2j
,
2 2j
,
3 2j
,L
初识哈尔
➢ Haar尺度函数的性质
➢ 一致单调性： L 缮V2 V1 缮V0 V- 1 缮V- 2 L ➢ 伸缩完全性： f (x) Î V0 当且仅当 f (2 j x) 挝Vj, j Z
y (t)
y 2,0(t)
y 1 ,0 (t ) 2
y 2,- 4 (t)
初识哈尔
➢ 连续小波变换
➢ 将 L2(R) 空间中任意函数 f (t) 在小波基下展开，称这种展
开为函数的连续小波变换：
WTf (a,t ) =
1 a
òR
f
(t)y
骣 ççç桫t -a t
÷÷÷dt
¥
➢ 与窗口傅立叶变换的比较 F (w) = ò f (t )e- jwtdt
重温傅立叶
➢ 窗口傅立叶变换
1 2
为了实现很好F(的)时-频局部化分析，需要 用窄的时域窗来反映信息的高时频间成分分辨，率：差 用较宽的时域窗来反映信息的频低率频分成辨分率：好
Ta
F() 1 2
时间分辨率：好
频率分辨率：差
Tb
1 2
F()
1 2
时间分辨率：中 频率分辨率：中
重温傅立叶
➢ 窗口傅立叶变换的不足
-2
-4
-6
➢ 傅里叶变换是否重胜任温分析傅岩层立的叶任务？
➢ 地震波的振动频率 ➢ 地震波的到达时间
➢ 傅立叶变换只能提供频率信息！
➢ 不具有时-频分析能力
重温傅立叶
➢ 窗口傅立叶变换
G f (,b)
f (t) (t b)eitdt
R
f (t)
t
(t)
T
t1
t1+T t
s%(t )
1
t T
➢ 现实世界中，很多信号都是非平稳的，如语音、视频等
初 识 哈 尔 ➢ 小波函数的定义
L2 ([a,b]) = 禳镲镲睚镲镲镲铪f : [a,b]?
C
b
ò f (t )2 dt
a
+?
➢ 设y (t) Î L2(R)，即 y (t) 为一平方可积函数，若其傅立叶变换
Y(w) 满足条件
Y(w) 2
òR
f (x) Î Vj 当且仅当 f (2- j x) 挝V0, j Z
➢ 平移不变性： f (x) 无V0 f (x - n) ? V0, n ? Z
➢ 渐进完全性：
I
j挝Z
V
j
=
{0};
U Vj = L2(R)
jZ
{ ➢ 正交基存在性：2j/2f (2j x- k),k ? ¢ } 是V j 的一个标准正交基
a1 a2
a0
a3
a0
0 0
0 0.5
-0.5 0
0.5 1
1.5 2 a4
➢ V成1 的是集所合有（不空连间续）点仅在半整数集中的分段常量函数所组
初识哈尔
➢ 设j是一非负整数，所有能用 f (2j x )线性表示的函数
组成的集合为
å V j
=
禳 镲 镲 睚 镲 镲 铪f f
=
akf
kÎ ¢
(2j x -
➢ 将小波母函数 y (t) 进行伸缩和平移可得
y a,t (t) = a- 1/ 2y 骣 ççç桫t -a t ÷÷÷ a > 0,t ? R
t t 通常 y a,t (t) 称为依赖于参数 a 和 的小波基函数，a 、 分别
被称为尺度因子和平移因子。它们是由同一母函数经过伸 缩和平移后得到的函数族。
dw < + ? w
则称 y (t) 为一个基本小波或小波母函数，该式称为小波
函数的可容许条件。
➢ 示例
初识哈尔
➢ 小波函数的定义
➢ 小波母函数的特点
➢ 小：在时域和频域都具有紧支集或近似紧支集
➢ 波动性：必具有正负交替的震荡波形
+?
ò Y(0) = -?
y (t)dt = 0
初识哈尔
➢ 连续小波基函数的定义
➢ 乍看小波 重 温 傅 立 叶
➢ 用傅立叶变换分重析地温震波傅和岩立层叶的结构
地震波的到达时间反 映了反射岩层的位置
地震波的振动频率反 映了岩层的精细结构
重温傅立叶
➢ 傅立叶变换：将信号表示成一组正弦和余弦之和
1 +?
ò f (t ) =
F (w)(cos wt + i sin wt )dw
2p - ?