北师大版九年级数学上典中点课后作业1.1.2菱形的判定(B)

1.1．菱形的性质与判定

第2课时菱形的判定

课后作业:方案（B）

一、教材题目：P7 T1-T3

1．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F.求证：四边形AFCE是菱形．

(第1题)

2．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是菱形．

(第2题)

数学理解

3．如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E.你能确定四边形CDC′E的形状吗？证明你的结论．

(第3题)

二、补充题目：部分题目来源于《点拨》

6．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.

(1)求证：BE＝DG.

(2)若∠B＝60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．

(第6题)

(第7题)

7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N.若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN.求证：四边形ABCD是菱形．

(第12题)

12．如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝ 5.对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.

(1)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．

(2)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形．

(3)在旋转过程中，四边形BEDF能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

13．〈湖南娄底〉某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与直角三角板AFE按如图①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转∠α(0°<∠α<90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC 与EF交于点P.

(1)求证：AM＝AN.

(2)当∠α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？说明理由．

(第13题)

答案

一、 教材

1．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠EAO ＝∠FCO.∵EF 垂直平分AC ，∴AO ＝CO ，∠AOE ＝∠COF ＝90°.∴△AEO ≌△CFO.∴AE ＝CF.∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．

2．证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA.∵点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，∴EF ＝12AB ，FG ＝12BC ，GH ＝12CD ，HE ＝1

2DA.∴EF ＝FG ＝

GH ＝HE.∴四边形EFGH 是菱形．

3．解：四边形CDC′E 是菱形，证明如下：

∵AD ∥BC ，∴∠C′DE ＝∠CED.由折叠的性质可知∠C ＝∠DC′E ，DC ＝DC′，EC ＝EC′.在△CDE 和△C′ED 中，

⎩⎪⎨⎪

⎧∠ C ＝∠DC′E ，∠CED ＝∠C′DE ，DE ＝ED ，

∴△CDE ≌△C′ED.∴EC ＝DC′.∴EC′＝EC ＝DC′＝DC.∴四边形CDC′E 是菱形． 二、

点拨

6．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ＝CD.

∵AE 是BC 边上的高，且CG 是由AE 沿BC 方向平移而成的． ∴AE ＝CG ，CG ⊥AD ， ∴∠AEB ＝∠CGD ＝90°，

∴Rt △ABE ≌Rt △CDG ，∴BE ＝DG .

(2)解：当BC ＝3

2AB 时，四边形ABFG 是菱形．

证明如下：∵AB ∥GF ，AG ∥BF ， ∴四边形ABFG 是平行四边形． 在Rt △ABE 中，∠B ＝60°， ∴∠BAE ＝30°，

∴BE ＝1

2AB(直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半)．

∵BE ＝CF ，BC ＝3

2

AB ，

∴BF ＝BC －FC ＝32AB －1

2AB ＝AB ，

∴四边形ABFG 是菱形． 7．证法一：∵AD ∥BC ，

∴∠BAD ＋∠B ＝180°. ∵∠BAD ＝∠BCD ， ∴∠BCD ＋∠B ＝180°.

∴AB ∥DC.∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B ＝∠D.∵AM ＝AN ，AM ⊥BC ，AN ⊥DC ，

∴Rt △ABM ≌Rt △ADN.

∴AB ＝AD.∴平行四边形ABCD 是菱形． 证法二：连接BD.

∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC. ∵∠BAD ＝∠BCD ，BD ＝BD ， ∴△ABD ≌△CDB.∴AD ＝BC. ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠ABC ＝∠ADC.

∵AM ＝AN ，AM ⊥BC ，AN ⊥DC ， ∴Rt △ABM ≌Rt △ADN.

∴AB ＝AD ，∴平行四边形ABCD 是菱形． 证法三：连接AC.

∵AM ＝AN ，AC ＝AC ，AM ⊥BC ，AN ⊥DC ，∴Rt △ACM ≌Rt △ACN. ∴∠ACB ＝∠ACD.

∵AD ∥BC ，∴∠ACB ＝∠CAD ， ∴∠ACD ＝∠CAD ，∴DC ＝AD. ∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠BAC ＝∠ACD ， ∴AB ∥DC.

∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴平行四边形ABCD 是菱形．

12．(1)解：在▱ABCD 中，AD ∥BC ，OA ＝OC ， ∴∠FAO ＝∠ECO. 在△AOF 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪

⎧∠FAO ＝∠ECO ，OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COE ，

∴△AOF ≌△COE ，∴AF ＝CE.

(2)证明：由题意，知∠AOF ＝90°(如图①)． ∵AB ⊥AC ，∴∠BAO ＝90°， ∴∠BAO ＝∠AOF ，∴AB ∥EF.