第一节 鸽巢原理的简单形式
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例5 一位棋手有11周时间准备锦标赛，他决定每天至少 下一盘棋，一周至多下12盘棋. 证明：在此期间的连续一些 天中他正好下棋21盘.
证明 设ai表示这个棋手从第1天到第i (i =1,2,…,77)天下 棋的总盘数,因为他每天至少下一盘棋，一周至多下12盘棋，
所以有 1 a1 a2 a3 a77 1211 132,
考虑数列
a1, a2 , , a77 ; a1 21, a2 21, , a77 21,
它们都在1与132+21=153之间, 共有154项, 由鸽巢原理 知，其中必有两项相等 ,因为前77项互不相等, 后77项 也互不相等, 所以必存在 1 i j 77 使得
a j ai 21,
即
aj ai
2sj rj 2si ri
2s j si
整数，
即 a j 能被ai 整除.
例7 (中国余数定理) 设m,n为两个互素的正整数, a, b是 满足0 ≤a ≤m-1, 0 ≤b ≤n-1的整数. 证明:存在正整数x, 使得x 除以m的余数为a, 除以n的余数为b, 即存在p,q , 使得
《组合数学引论》
－Chapter 1
鸽巢原理
鸽巢原理(也称“抽屉原理”)为组合学中的一个重要 原理, 鸽巢原理最早是由19世纪的德国数学家迪里赫莱 （Dirichlet）运用于解决数学问题而提出来的, 所以又称为 “迪里赫莱原理”. 应用它可以解决许多有趣的问题，并且 常常得到一些令人惊异的结果.它常被用来证明一些存在性 的数学问题.并且在数论和密码学中也有着广泛的应用.对于 一些比较特殊的问题，若用一般的数学方法去研究，很复 杂或根本解决不了，但用鸽巢原理往往能起到事半功倍的 效果.
a j ai 21,
ห้องสมุดไป่ตู้
所以,从第i+1天到第j天这连续 j-i 天中，他正好下了21盘棋．
例6 从1至2n的所有整数中任取n+1个, 则这n+1个整数中 至少有一对数, 其中的一个一定能被另一个整除．
证明 设 a1, a2 ,, an1 是被选出的n+1个整数. 对任一整 数 ai ，都可以唯一地写成如下的形式：
综合（i）和（ii），结论成立.
例4 试证明从{1，2，…，kn}中选n+1个数,总存在2个数,它 们之间最多相差k-1.
证明 把{1，2，…，kn}分为n部分{1，2，3，…,k}, {k+1, k+2 ,…, 2k},…,{(n-1)k+1, (n-1)k+2, … , kn},即做n个 鸽巢，从中任选n+1个数,由鸽巢原理,必有2个数选在同一 个鸽巢中，所以它们的差最大为k-1。
ai 2si ri (i 1,2,, n 1)
其中，si 为非负整数，ri 为奇数，
由于1 ai 2n, 所以 ri (1 i n 1)只能取1,3,5,…,2n-1 这n个奇数, 而 r1, r2 ,, rn1 共有n+1项, 由鸽巢原理知，
存在 1 i j n 1 , 使得 ri rj , 不妨设 si s j ,则
《组合数学引论》
－Chapter 1
§1.1 鸽巢原理的简单形式
鸽巢原理的简单形式可以描述为：
定理 1 如果把n+1个物品放入n个盒子中, 那么至少有 一个盒子中有两个或更多的物品.
证明 如鸽果巢每原个理盒的子简中单至形多式有可一以个描物述品为，：那么n个盒子 中至多有n个物品，而我们共有n+1个物品，矛盾，故定理 成立.
足题意.
（ii）对任一整数i，均有 m | si (1 i m) .令 si ri (mod m)，
则有 1 ri m 1 (1 i m), 这样, m个余数均在1到m-1之间.
由鸽巢原理知, 存在整数k l(1 k,l m) , 使得 rk rl .
不妨设l > k，则 ak1 ak2 al sl sk (rl rk )(mod m) 0(mod m). 即 m (ak1 ak2 al )
2
例3 给定m个整数 a1, a2, , am, 证明: 必存在整数k , l
(0 k l m) 使得 m (ak1 ak2 al ) ．
证明 构造部分和序列
s1 a1, s2 a1 a2 ,
…… sm a1 a2 am
则有如下两种可能：
（i）存在整数h(1≤h ≤ m), 使得 m / s.h此时, 取k=0,l=h即满
x pm a, x qn b.
证明 考虑以下n个整数, a满足0 ≤a ≤m-1,
a, m a, 2m a, ... , (n 1)m a,
这n个整数除以m的余数都是a. 若这n个数中存在两个数除以n的 余数相同，设为r. 设这两个数为im+a和jm+a，其中0 ≤i<j ≤n-1.
则存在整数qi, qj, 使得 im+a=qin+r 和 jm+a=qjn+r
“ 6只鸽子飞进5个鸽巢中，至少有1个鸽巢中有两只（或 两只以上）的鸽子；7个苹果放进3个抽屉中，至少有1个抽屉 中放入的苹果不少于3个……”这个原理并无深奥之处，其正 确性也是显而易见的，但利用它可以解决许多有趣的组合问 题，得到一些很重要的结论，它在数学的历史上起了很重要 的作用.
匈牙利数学家路易·波萨11岁时匈牙利大数学家厄杜斯给他 出了个问题: “如果你手头上有n+1个整数，这些整数是小于或等于2n的，那 么你手上一定会有一对数是互素的。你知道这是什么原因吗？” 波萨仅思考了半分钟就巧妙地回答了这个问题。
显然当把n个物品放入n个盒子中，定理的结论就 不一定成立了，所以n +1为结论成立的最小数．
例1 在任意13个人中,必有两个人的属相相同.
例2 在边长为1的正方形内任取5点，则至少存在有两
点，它们之间的距离不超过 2 .
2
证明 把边长为1的正方形分成4个边长为1/2 1/2
的小正方形形(如图所示).在大正方形内任取5点， 1 则这5点分别落在4个小正方形中，由鸽巢原理知， 至少有两点落在同一个小正方形中，从而这两点 间的距离小于或等于小正方形对角线的长 度，所以两点间的距离不超过 2 .
证明 设ai表示这个棋手从第1天到第i (i =1,2,…,77)天下 棋的总盘数,因为他每天至少下一盘棋，一周至多下12盘棋，
所以有 1 a1 a2 a3 a77 1211 132,
考虑数列
a1, a2 , , a77 ; a1 21, a2 21, , a77 21,
它们都在1与132+21=153之间, 共有154项, 由鸽巢原理 知，其中必有两项相等 ,因为前77项互不相等, 后77项 也互不相等, 所以必存在 1 i j 77 使得
a j ai 21,
即
aj ai
2sj rj 2si ri
2s j si
整数，
即 a j 能被ai 整除.
例7 (中国余数定理) 设m,n为两个互素的正整数, a, b是 满足0 ≤a ≤m-1, 0 ≤b ≤n-1的整数. 证明:存在正整数x, 使得x 除以m的余数为a, 除以n的余数为b, 即存在p,q , 使得
《组合数学引论》
－Chapter 1
鸽巢原理
鸽巢原理(也称“抽屉原理”)为组合学中的一个重要 原理, 鸽巢原理最早是由19世纪的德国数学家迪里赫莱 （Dirichlet）运用于解决数学问题而提出来的, 所以又称为 “迪里赫莱原理”. 应用它可以解决许多有趣的问题，并且 常常得到一些令人惊异的结果.它常被用来证明一些存在性 的数学问题.并且在数论和密码学中也有着广泛的应用.对于 一些比较特殊的问题，若用一般的数学方法去研究，很复 杂或根本解决不了，但用鸽巢原理往往能起到事半功倍的 效果.
a j ai 21,
ห้องสมุดไป่ตู้
所以,从第i+1天到第j天这连续 j-i 天中，他正好下了21盘棋．
例6 从1至2n的所有整数中任取n+1个, 则这n+1个整数中 至少有一对数, 其中的一个一定能被另一个整除．
证明 设 a1, a2 ,, an1 是被选出的n+1个整数. 对任一整 数 ai ，都可以唯一地写成如下的形式：
综合（i）和（ii），结论成立.
例4 试证明从{1，2，…，kn}中选n+1个数,总存在2个数,它 们之间最多相差k-1.
证明 把{1，2，…，kn}分为n部分{1，2，3，…,k}, {k+1, k+2 ,…, 2k},…,{(n-1)k+1, (n-1)k+2, … , kn},即做n个 鸽巢，从中任选n+1个数,由鸽巢原理,必有2个数选在同一 个鸽巢中，所以它们的差最大为k-1。
ai 2si ri (i 1,2,, n 1)
其中，si 为非负整数，ri 为奇数，
由于1 ai 2n, 所以 ri (1 i n 1)只能取1,3,5,…,2n-1 这n个奇数, 而 r1, r2 ,, rn1 共有n+1项, 由鸽巢原理知，
存在 1 i j n 1 , 使得 ri rj , 不妨设 si s j ,则
《组合数学引论》
－Chapter 1
§1.1 鸽巢原理的简单形式
鸽巢原理的简单形式可以描述为：
定理 1 如果把n+1个物品放入n个盒子中, 那么至少有 一个盒子中有两个或更多的物品.
证明 如鸽果巢每原个理盒的子简中单至形多式有可一以个描物述品为，：那么n个盒子 中至多有n个物品，而我们共有n+1个物品，矛盾，故定理 成立.
足题意.
（ii）对任一整数i，均有 m | si (1 i m) .令 si ri (mod m)，
则有 1 ri m 1 (1 i m), 这样, m个余数均在1到m-1之间.
由鸽巢原理知, 存在整数k l(1 k,l m) , 使得 rk rl .
不妨设l > k，则 ak1 ak2 al sl sk (rl rk )(mod m) 0(mod m). 即 m (ak1 ak2 al )
2
例3 给定m个整数 a1, a2, , am, 证明: 必存在整数k , l
(0 k l m) 使得 m (ak1 ak2 al ) ．
证明 构造部分和序列
s1 a1, s2 a1 a2 ,
…… sm a1 a2 am
则有如下两种可能：
（i）存在整数h(1≤h ≤ m), 使得 m / s.h此时, 取k=0,l=h即满
x pm a, x qn b.
证明 考虑以下n个整数, a满足0 ≤a ≤m-1,
a, m a, 2m a, ... , (n 1)m a,
这n个整数除以m的余数都是a. 若这n个数中存在两个数除以n的 余数相同，设为r. 设这两个数为im+a和jm+a，其中0 ≤i<j ≤n-1.
则存在整数qi, qj, 使得 im+a=qin+r 和 jm+a=qjn+r
“ 6只鸽子飞进5个鸽巢中，至少有1个鸽巢中有两只（或 两只以上）的鸽子；7个苹果放进3个抽屉中，至少有1个抽屉 中放入的苹果不少于3个……”这个原理并无深奥之处，其正 确性也是显而易见的，但利用它可以解决许多有趣的组合问 题，得到一些很重要的结论，它在数学的历史上起了很重要 的作用.
匈牙利数学家路易·波萨11岁时匈牙利大数学家厄杜斯给他 出了个问题: “如果你手头上有n+1个整数，这些整数是小于或等于2n的，那 么你手上一定会有一对数是互素的。你知道这是什么原因吗？” 波萨仅思考了半分钟就巧妙地回答了这个问题。
显然当把n个物品放入n个盒子中，定理的结论就 不一定成立了，所以n +1为结论成立的最小数．
例1 在任意13个人中,必有两个人的属相相同.
例2 在边长为1的正方形内任取5点，则至少存在有两
点，它们之间的距离不超过 2 .
2
证明 把边长为1的正方形分成4个边长为1/2 1/2
的小正方形形(如图所示).在大正方形内任取5点， 1 则这5点分别落在4个小正方形中，由鸽巢原理知， 至少有两点落在同一个小正方形中，从而这两点 间的距离小于或等于小正方形对角线的长 度，所以两点间的距离不超过 2 .