初二数学菱形、矩形复习题(含答案)

初二数学菱形、矩形复习题
矩形：
定义：有一个是直角的平行四边形是矩形
性质：
判定：
菱形：
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
性质：
判定：
1．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为____________
2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF 等于________
3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=8，则DE的长度是_______________
4．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为________________
5．若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为________________
6．若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为_________________
7．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；
⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有________________
8．如果矩形一条较短的边是5，两条对角线的夹角是60°，则对角线长是．
9．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．
10．如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G 分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为．
11．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．
12．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为．
13．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为．
14．如图，在菱形ABCD中，AD=8，∠ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．
15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= ．
16．下列命题：
①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；
③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中正确的命题为（注：把你认为正确的命题序号都填上）
17．如图，在矩形ABCD中，AE=AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足（关系）时，四边形EFGH为矩形．
18．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A=30°，BC=6，AF=BF，则四边形BCDE的面积是．
19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于．
20．如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t= 时，四边形APQD也为矩形．
21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；
③S四边形CDGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
22．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．
23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．
24．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC 的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF．
（1）求证：AF=DC；
（2）请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由．
25．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．
26．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF 是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ 是菱形．
27．矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点FH⊥AE于H，FG⊥CD于G，求证：FH+FG=AD．
28．如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB 于点H．
（1）求证：四边形AGPH是矩形；
（2）在点P在运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由．
29．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P （点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交
AB于点Q，连接QE．
（1）求证：四边形AEPQ为菱形；
（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？
30．在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC 于F，连接EF．
（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；
（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．
31．阅读下面短文：
如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两
个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）
解答问题：
（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1S2（填“＞”“=”或“＜”）．
（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画个，利用图③把它画出来．
（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图④把它画出来．
（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？
32．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．
（1）求证：CE=CF；
（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．
33．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．
34．将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，
（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．
35．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．
（1）求证：四边形ABCF是矩形；
（2）若EA=EG，求证：ED=EC．
36．如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC 的延长线上．
（1）求证：四边形BEDF是矩形；
（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN 是平行四边形．
37．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．
（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；
（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．
参考答案
矩形：
定义：有一个是直角的平行四边形是矩形
性质：
判定：
菱形：
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
性质：
1．如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于O点，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于E，F点，连接CE，则△CDE的周长为__________
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，BC=AD，OA=OC=OB=OD，AD∥BC，
∴∠EDO=∠FBO，．
∵矩形ABCD的周长为20cm，
∴BC+DC=10cm，
∵EF⊥AC，
∴CE=CF，
在△ODE和△OBF中，
，
∴△ODE≌△OBF（ASA），
∴DE=BF，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=BF+CF+DC=BC+DC=10cm．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF 等于______
【解答】解：方法一：设AP=x，PB=3﹣x．
∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC；
∴△AEP∽△ABC，故=①；
同理可得△BFP∽△DAB，故=②．
①+②得=，
∴PE+PF=．
方法二：（面积法）
如图，作BM⊥AC于M，则BM==，
∵S△AOB=S△AOP+S△POB，
∴•AO•BM=•AO•PE+•OB•PF，
∵OA=OB，
∴PE+PF=BM=．
3．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=8，则DE的长度是______________
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD=8，OA=OC=AC=4，OB=OD=BD=4，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：3，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=22.5°，∠EDA=67.5°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°﹣∠EDC=67.5°，
∴∠ODC=∠OCD=67.5°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=45°，
∴OE=DE，
∵OE2+DE2=OD2，
∴2DE2=OD2=16，
∴DE=2．
4．如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为_____________
【解答】解：连接EF，∵S△ABF=S△EBF
∴S△EFG=S△ABG=15；
同理：S△EFH=S△DCH=20
∴S阴影=S△EFG+S△DCH=15+20=35．
5．若菱形两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的面积为________________
【解答】解：菱形的面积为：×6×8=24．
6．若菱形的周长为16，两邻角度数之比为1：2，则该菱形的面积为___________
【解答】解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，
∴∠ABC=60°，∠BAD=120°，
∵周长为16，
∴边长AB=4，
∴菱形的对角线AC=4，BD=2×4sin60°=4，
∴面积=AC•BD=×4×4=8．
7．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；
⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有___________
【解答】解：①正确
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴AE=OE．
∵S△ADE=×AE×OD=×OE×OD=S△EOD
∴S△ADE=S△EOD．
②正确
∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．
∴EF⊥OD，OE=OF．
∵OD=OD．
∴DE=DF．
同理：BE=BF
∴四边形BFDE是菱形．
③正确
∵菱形ABCD的面积=AC×BD．
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴EF=AC．
∴菱形ABCD的面积=EF×BD．
④不正确
由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．
⑤正确
∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．
∴△DEO≌△DFO．
∴△DEF是轴对称图形．
∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤
8．如果矩形一条较短的边是5，两条对角线的夹角是60°，则对角线长是10 ．【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AO=BO，
∵AC、BD的夹角是60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AO=AB=5，
∴对角线AC=2AO=2×5=10．
故答案为：10．
9．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．
【解答】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，
∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，
∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，
此时AM=AP，由勾股定理知BC==5，
∵S△ABC=AB•AC=BC•AP，
∴AP==，
∴AM=AP=．
10．如图，四边形ABCD为矩形，H、F分别为AD、BC边的中点，四边形EFGH为矩形，E、G 分别在AB、CD边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比为1：1 ．
【解答】解：连接HF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠D=90°
∵H、F分别为AD、BC边的中点，
∴DH=CF，DH∥CF，
∵∠D=90°，
∴四边形HFCD是矩形，
∴△HFG的面积是CD×DH=S矩形HFCD，
即S△HFG=S△DHG+S△CFG，
同理S△HEF=S△BEF+S△AEH，
∴图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH的面积之比是1：1，
故答案为：1：1．
11．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．
【解答】解：连接FH、EG；
∵AF=CG=2，AE=CH=4﹣1=3，∠A=∠C=90°，
∴△AEF≌△CHG，S△AEF=S△CHG=3；
同理可证：△FHD≌△GEB，S△FHD=S△GEB=1.5；
∴FH=EG，EF=GH，即四边形EFHG是平行四边形；
且S平行四边形=S矩形﹣2S△AEF﹣2S△FHD=11；
过P作EF、GH的垂线，交EF于M，GH于N；
则S△EFP+S△GHP=EF（PM+PN）=EF•MN=S▱EFHG=．
故答案为：．
12．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，
∴AG=DG，
∴∠ADG=∠DAG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠CED，
∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，
∵∠AED=2∠CED，
∴∠AED=∠AGE，
∴AE=AG=4，
在Rt△ABE中，AB===．
故答案为：．
13．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运
动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是1+；若将△ABP的PA边长改为，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为1+．
【解答】解：取AB的中点M，连OM，PM，
在Rt△ABO中，OM==1，在等边三角形ABP中，PM=，
无论△ABP如何运动，OM和PM的大小不变，当OM，PM在一直线上时，P距O最远，
∵O到AB的最大值是AB=1，
此时在斜边的中点M上，
由勾股定理得：PM==，
∴OP=1+，
将△AOP的PA边长改为，另两边长度不变，
∵22+22=，
∴∠PBA=90°，由勾股定理得：PM==，
∴此时OP=OM+PM=1+．
故答案为：1+，1+．
14．如图，在菱形ABCD中，AD=8，∠ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为4．
【解答】解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴B、D关于直线AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴DE⊥BC，CE=BC=×8=4，
∴DE===4．
故答案为：4．
15．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则BG= 5 ．
【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD=DF=AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，
解得：x=5，
即BG=5．
故答案是：5．
16．下列命题：
①矩形的对角线互相平分且相等；
②对角线相等的四边形是矩形；
③菱形的每一条对角线平分一组对角；
④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
其中正确的命题为①③④（注：把你认为正确的命题序号都填上）
【解答】解：①矩形的对角线互相平分且相等；故正确；
②对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；
③菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；
④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确．
故答案为：①③④．
17．如图，在矩形ABCD中，AE=AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于G，当AD、AB满足AB=AD （关系）时，四边形EFGH为矩形．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF=45°．
又∵EH⊥EF，FG⊥EF
∴∠GFB=∠HED=45°，
∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．
如果四边形EFGH是矩形，则EH=FG，
∴ED=FB
又∵AE=AF，
∴AD=AB．
故答案是：AD=AB．
18．如图，△ABC中，AC的中垂线交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF延长线于点E，若∠A=30°，BC=6，AF=BF，则四边形BCDE的面积是18．
【解答】解：∵AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，
∴DF为三角形ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF=BC，
又∠ADF=90°，
∴∠C=∠ADF=90°，
又BE⊥DE，DE⊥AC，
∴∠CDE=∠E=90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∵BC=6，
∴DF=BC=3，
在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=3，
∴tan30°=，即AD=3，
∴CD=AD=3，
则矩形BCDE的面积S=CD•BC=18．
故答案为：18．
19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是斜边AB上任意一点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于 2.4 ．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
连接CD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形EDFC是矩形，
∴EF=CD，∠EDF=90°，
∵点Q是EF的中点，
∴DQ=EF=CD，
当CD最小时，则DQ最小，
根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则CD最小，
∴DQ=EF=CD=×=2.4，
故答案为：2.4．
20．如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A 开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），当t= 4 时，四边形APQD也为矩形．
【解答】解：根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20﹣t，解得t=4（s）．故答案是：4．
21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是①④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①OG=AB；
②与△EGD全等的三角形共有5个；
③S四边形CDGF＞S△ABF；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG=DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG=CD=AB，①正确；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG=AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，
∴S四边形ODGF=S△ABF；不正确；
正确的是①④．
故答案为：①④．
22．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB∥CE，AD∥BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，
又∵AB=BC=CD=DE=EA，
∴四边形ABCF是菱形，
∴AC⊥BF，
∴OB2+OC2=BC2，
∵AC=2OC，BF=2OB，
∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，
又∵BC=CD，
∴AC2+BF2=4CD2．
故答案为：AC2+BF2=4CD2．
23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
又∠A=∠D，
∴∠A=∠D=90°，
∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）解：延长DA，CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，
∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，
∵E是AB边的中点，
∴AE=BE，
在△AGE和△BCE中，，
∴△AGE≌△BCE（AAS），
∴AG=BC，
若CE=4，CF=5，
设DF=x，
根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，
即52﹣x2=82﹣（5+x）2，
解得：x=，即DF=．
24．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC 的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF．
（1）求证：AF=DC；
（2）请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
又∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=DC；
（2）解：当AD=CF时，四边形AFDC是矩形；理由如下：
由（1）得：AF=DC且AF∥DC，
∴四边形AFDC是平行四边形，
又∵AD=CF，
∴四边形AFDC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
25．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC
E，F分别为AB，CD的中点，
∴BE=AB，DF=CD，
∴BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形
在△ABD中，E是AB的中点，
∴AE=BE=AB=AD，
而∠DAB=60°
∴△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，
故DE=BE
∴平行四边形DEBF是菱形．
（2）解：四边形AGBD是矩形，理由如下：
∵AD∥BC且AG∥DB
∴四边形AGBD是平行四边形
由（1）的证明知AD=DE=AE=BE，
∴∠ADE=∠DEA=60°，
∠EDB=∠DBE=30°
故∠ADB=90°
∴平行四边形AGBD是矩形．
26．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF 是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P，QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ 是菱形．
【解答】证明：∵AC=AD，AF是CD边上的中线，
∴∠AFC=90°，
∴∠ACF+∠CAF=90°，
∵∠ACF+∠PCA=90°，
∴∠PCA=∠CAF，
∴PC∥AQ，
同理：AP∥QC，
∴四边形APCQ是平行四边形．
∵AF∥CP，AE∥CQ，
∴∠EPC=∠PAF=∠FQC，
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴CE=BE=CB（等腰三角三线合一），
∵AF是CD边上的中线，
∴CF=CD，
∵CB=DC，
∴CE=CF，
∵PC⊥CD，QC⊥BC，
∴∠ECP+∠PCQ=∠QCF+∠PCQ=90°，
∴∠PCE=∠QCF，
∴△PEC≌△QFC（AAS），
∴PC=QC，
∴四边形APCQ是菱形．
27．矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点FH⊥AE于H，FG⊥CD于G，求证：FH+FG=AD．
【解答】证明：连接EF，如图所示：
∵FH⊥AE于H，FG⊥CD于G，
∴△ACE的面积=△AEF的面积+△CEF的面积=AE•FH+CE•FG，
∵AE=CE，
∴△ACE的面积=CE（FH+FG），
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴△ACE的面积=CE•AD，
∴FH+FG=AD．
28．如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB 于点H．
（1）求证：四边形AGPH是矩形；
（2）在点P在运动过程中，GH是否存在最小值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明∵AC=9 AB=12 BC=15，
∴AC2=81，AB2=144，BC2=225，
∴AC2+AB2=BC2，
∴∠A=90°．
∵PG⊥AC，PH⊥AB，
∴∠AGP=∠AHP=90°，
∴四边形AGPH是矩形；
（2）存在．理由如下：
连结AP．
∴GH=AP．
∵当AP⊥BC时AP最短．
∴9×12=15•AP．
∴AP=．
29．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P （点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交
AB于点Q，连接QE．
（1）求证：四边形AEPQ为菱形；
（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？
【解答】（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，
∴四边形AEPQ为平行四边形，
∴∠BAD=∠EPA，
∵AB=AC，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠EPA，
∴EA=EP，
∴四边形AEPQ为菱形．
（2）解：P为EF中点，即AP=AD时，S菱形AEPQ=S四边形EFBQ
∵四边形AEPQ为菱形，
∴AD⊥EQ，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴EQ∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形EFBQ为平行四边形．
作EN⊥AB于N，如图所示：
则S菱形AEPQ=EP•EN=EF•EN=S四边形EFBQ．
30．在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC交AD于E，交AC于G，GF⊥BC 于F，连接EF．
（1）如图1，求证：四边形AEFG是菱形；
（2）如图2，若E为BG的中点，过点E作EM∥BC交AC于M，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长倍的所有线段．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，GF⊥BC，
∴∠ADF=∠GFC=90°，
∴AE∥GF，
在△ABG和△FBG中，
，
∴△ABG≌△FBG，
∴AG=FG，
∵∠FBG+∠BED=90°，
∵∠BED=∠AEG，
∴∠FBG+∠AEG=90°，
∵∠ABG+∠AGE=90°，
∵∠ABG=∠FBG，
∴∠AEG=∠AGE，
∴AE=AG，
∴AE=FG，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∵AE=AG∴四边形AEFG是菱形．
（2）解：∵四边形AEFG是菱形，
∴AE=AG，
∵BE=EG，∠BAG=90°，
∴AE=BE=EG，
∴△AEG是等边三角形，
∴∠AGE=60°，
在RT△ABG中，∵∠ABG=30°，
∴AB=AG，
∵∠C=30°，∴BC=2AB，
∴BE=GE，EF∥AC，EM∥BC，
∴BF=FC，CM=GM，
在RT△AEM中，∵∠AME=∠C=30°，∠GEM+∠GME=60°，∴∠GEM=∠GME=30°，
∴EG=AG=GM=CM，
∵EM∥FC，EF∥CM，
∴四边形EFCM是平行四边形，
∴AB=BF=CF=EM=CM，
∴是CM长倍的所有线段有AB、BF、CF、EM．
31．阅读下面短文：
如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两
个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）
解答问题：
（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1= S2（填“＞”“=”或“＜”）．
（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 1 个，利用图③把它画出来．
（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 3 个，利用图④把它画出来．
（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？
【解答】解：（1）=
（2）1
（3）3
（4）以AB为边长的矩形周长最小，
设矩形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为L1，L2，L3，BC=a，AC=b，AB=c．易得三个矩形的面积相等，设为S，
∴L1=+2a；L2=+2b；L3=+2c．
∵L1﹣L2=2（a﹣b）而a﹣b＞0，ab﹣s＞0，ab＞0
∴L1﹣L2＞0，
∴L1＞L2，同理可得L2＞L3
∴以AB为边长的矩形周长最小．
32．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF．（1）求证：CE=CF；
（2）如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，
∵点E、F分别为AB、AD的中点，
∴BE=AB，DF=AD，
∴BE=DF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴CE=CF；
（2）证明：延长BA与CF，交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，AB=BC=CD=AD，AF∥BC，AB∥CD，
∴∠G=∠FCD，
∵点F分别为AD的中点，且AG∥CD，
∴AG=AB，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠ECB=∠DCF，
∵∠CHB=2∠ECB，
∴∠CHB=2∠G，
∵∠CHB=∠G+∠HCG，
∴∠G=∠HCG，
∴GH=CH，
∴CH=AH+AG=AH+AB．
33．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．
【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠AFD=∠AFB，
∵∠AFB=∠CFE，
∴∠AFD=∠CFE；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD+∠CBE=∠CDF+∠EFD，
∴∠EFD=∠BCD．
34．将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，
（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．
【解答】解：（1）四边形DHBG是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，
∴∠A=∠E=90°，AD=ED，AB=EB．
在△DAB和△DEB中，，
∴△DAB≌△DEB（SAS），
∴∠ABD=∠EBD．
∵AB∥CD，DF∥BE，
∴四边形DHBG是平行四边形，∠HDB=∠EBD，
∴∠HDB=∠HBD，
∴DH=BH，
∴▱DHBG是菱形．
（2）由（1），设DH=BH=x，则AH=8﹣x，
在Rt△ADH中，AD2+AH2=DH2，即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，即BH=5，
∴菱形DHBG的面积为HB•AD=5×4=20．
35．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．
（1）求证：四边形ABCF是矩形；
（2）若EA=EG，求证：ED=EC．
【解答】证明：
（1）∵AB∥CD，且FC=AB，
∴四边形ABCF为平行四边形，
∵∠B=90°，
∴四边形ABCF是矩形；
（2）∵EA=EG，
∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，
∵四边形ABCF为矩形，
∴∠AFC=∠AFD=90°，
∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，
∴∠D=∠ECD，
∴ED=EC．
36．如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC 的延长线上．
（1）求证：四边形BEDF是矩形；
（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN 是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABF+∠F=180°，∠FDE+∠E=180°，
∵DE⊥AB．BF⊥DC，
∴∠E=90°，∠F=90°，
∴∠ABF=90°，∠FDE=90°，
∴四边形BEDF是矩形；
（2）∵平行四边形ABCD，四边形BEDF是矩形，
∴∠NBF+∠BCF=90°，∠EDM+∠ADC=90°，AD∥BC，AD=BC，BF=DE，
∴∠ADC=∠BCF，
∴∠NBF=∠MDE，
∵M、N分别为AD、BC的中点，
∴BN=DM，
在△BNF与△DME中
∴△BNF≌△DME（SAS），
∴EM=FN，
同理可得：EN=MF，
∴四边形EMFN是平行四边形．
37．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE=BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN=∠AEB交边BC于N．
（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；
（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN．
【解答】证明：（1）如图2中，
∵AM=ME．AD=DB，
∴DM∥BE，
∴∠GDN+∠DNE=180°，
∵∠GDN=∠AEB，
∴∠AEB+∠DNE=180°，
∴AE∥DN，
∴四边形DMEN是平行四边形，
∵DM=BE，EM=AE，AE=BE，
∴DM=EM，
∴四边形DMEN是菱形．
（2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．
由（1）可知四边形EMDF是菱形，
∴∠AEB=∠MDF，DM=DF，
∴∠GDN=∠AEB，
∴∠MDF=∠GDN，
∴∠MDG=∠FDN，
∵∠DFN=∠AEB=∠MCE+∠CME，∠GMD=∠EMD+∠CME，、在Rt△ACE中，∵AM=ME，
∴CM=ME，
∴∠MCE=∠CEM=∠EMD，
∴∠DMG=∠DFN，
∴△DMG≌△DFN，
∴DG=DN．。