湘教版九年级数学下册课件：1-1 二次函数(共23张PPT)

思考：上述三个问题中的函数关系式具有哪些 共同的特征?
经化简后都具有y=ax² +bx+c 的形式， (a，b，c是常数，且 a≠0 ).
定义：一般地，形如y=ax² +bx+c(a,b,c是 常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量 x的 整式；
（2）a,b,c为常数，且
a≠0；
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，但不能没有二次项。
（4）x的取值范围是 任意实数 。
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式： – 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
(4) y=(x+3)² -x² =x2+6x+9-x2
即 y=6x+9
不是二次函数.
是二次函数. 1 -x __ (5)y= 二次项系数: 3 x² 一次项系数: -6 不是二次函数. 常数项: 4 (6) v=10π r² 1 __ (2) y=x+ 不是二次函数. 是二次函数. x (3) s=3-2t² 是二次函数. 二次项系数: 10π 二次项系数: -2 一次项系数: 0 一次项系数: 0 常数项: 0 常数项: 3
m2 m
是二次函数,
【注意】二次函数的二次项系数不能为0.
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4. 写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类 型的函数？ 2 cm （1）写出正方体的表面积S（ ）与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系式； 2 （2）写出圆的面积y（ cm）与它的周长 x（cm） 之间的函数关系式； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的 面积S（ cm2 ）与一对角线长x（cm）之间的函数关系 式．
2 x 2.m取何值时，函数y= (m+1) +(m-3)x+m是二次函数？
3.要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩 形的花圃，设连墙的一边为x, 矩形的面积为y,试 (1)写出y关与x的函数关系式. (2)当x=3时,距形的面积为多少?
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
练一练
2.请举一个符合以下条件的y关于x的二次函 数的例子. （1）二次项系数是一次项系数的2倍，常 数项为任意值。 （2）二次项系数为-5，一次项系数为常数 项的3倍。
练一练
3. 关于x的函数 y (m 1) x 求m的值.
量的取值范围都是任意实数呢？ 2 例如：圆的面积 y( cm )与圆的半径 x （cm)的函数关系是 y =πx2 . 其中自变量x能取哪些值呢？ 【注意】当二次函数表示某个实际问题时, 还必须根据题意确定自变量的取值范围.
练一练
1.若函数 y (m 1)x
2 m 2 m
为二次函数，求m的值。
合作学习
探索新知
（3）一个温室的平面图如图,温室外围 是一个矩形，周长为12Om，室内通道的 尺寸如图,设一条边长为x（m）, 种植面 积为y（m2）.
1 1 1
x
3
合作学习 1.y
探索新知
=πx2
2.y
= 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) 2+58x-112 2 =-x =2x +4x+2
2
x
答：当x＝3时，矩形的面积为42m2。
知识运用
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1)Biblioteka Baiduy x ;
2
1 (2) y 2 ; x (3) y x(1 x); (4) y ( x 1) x .
2 2
先化简后判断
２.下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x 2 2
例 下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指 出二次项系数,一次项系数,常数项. 1 __ (1) y=3(x-1)² +1 (2) y=x+ x (3) s=3-2t² (4) y=(x+3)² -x² 1 __ (5)y= x² -x (6) v=10π r²
+1 解: (1)y=3(x-1)² =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1 即 y=3x2-6x+4
用20米长的篱笆围一个矩形的花圃（如 图），设连墙的一边长为x m,矩形的面积 为y m2。求：(1) 写出y关于x的函数关系式.
(2) 当x=3时,矩形的面积为多少?
解： (1) y x(20 2 x)
2 x 20 x
2
(o<x<10)
(2)当x=3时
y 2 3 20 3 42
练一练
5.已知二次函数y=x² +px+q ，当x=1时,函 数值为4，当x=2时，函数值为 -5 ，求这个 二次函数的关系式.
练一练
6.已知二次函数
y 2( x 1) 4 ，
2
（1）你能说出此函数的最小值吗？ （2）你能说出这里自变量能取哪些值？
开动脑筋
问题：是否任何情况下二次函数中的自变
试一试:
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
函数解析式
二次项系数 一次项系数 常数项 a b c
y x2 58x 112
－1 2
1 2
58 4 13 0
－112 2 0 0
y 2x 4x 2
2
1 2 y x 13 x 2
y x2

二次函数y＝ax2+bx+c中a≠0,但b、c可以为0.
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一次函数、正比例函数的定义是什 么？
合作学习 探索新知
请用适当的函数关系式表示下列问题情 境中的两个变量y与x之间的关系：
2 cm （1）圆的面积y( )与圆的半径x(cm);
（2）某商店1月的利润是2万元，2、3月利 润逐月增长，这两个月利润的月平均增长 率为x，3月份的利润为y;
2 cm （1）正方形边长为x（cm），它的面积y（ ） 是多少？
做一做
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长 增加x厘米，宽增加2x厘米，则面积增加到y平方 厘米，试写出y与x的关系式．
练一练
1.函数y ax2 bx c(其中a,b,c为常数)， 当a,b,c满足什么条件时，
1 ( 2) y x x
2
(3) y ( x 2)(x 3)
(4) y x 2 2 x 3
(5) y ( x 2)(x 2) ( x 1)2
３.下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (3)y=3x3+2x2 (5)y=x-2+x (2)y=3x2 (4)y=2x2-2x+1 (6)y=x2-x(1+x)