广东省深圳市中考数学专题专练二次函数综合专题

二次函数综合专题
1.如图，直线y ＝5x ＋5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数y ＝ax 2
＋4x ＋c 的图象交x 轴于另一点B.
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值； (3)若点H 为二次函数y ＝ax 2
＋4x ＋c 图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x 轴，y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F ，E 的坐标．
温馨提示：在直角坐标系中，若点P ，Q 的坐标分别为P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，当PQ 平行x 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ ＝|x 1－x 2|求出；当PQ 平行y 轴时，线段PQ 的长度可由公式PQ ＝|y 1－y 2|求出．
2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2
＋14
与y 轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称．
(1)填空，点B 的坐标是________；
(2)过点B 的直线y ＝kx ＋b(其中k ＜0)与x 轴相交于点C ，过点C 作直线l 平行于y 轴，P 是直线l 上一点，且PB ＝PC.求线段PB 的长(用含k 的式子表示)，并判断点P 是否在抛物线上，说明理由；
(3)在(2)的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标．
3.已知抛物线y ＝ax 2
＋bx －3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝kx 与抛物线交于A ，B 两点．
(1)写出点C 的坐标并求出此抛物线的解析式；
(2)当原点O 为线段AB 的中点时，求k 的值及A ，B 两点的坐标；
(3)是否存在实数k 使得△ABC 的面积为310
2
？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝x 与二次函数y ＝x 2
＋bx 的图象相交于O 、A 两点，点A(3，3)，点M 为抛物线的顶点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)长度为22的线段PQ 在线段OA(不包括端点)上滑动，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线交抛物线于点P 1、Q 1，求四边形PQQ 1P 1面积的最大值；
(3)直线OA 上是否存在点E ，使得点E 关于直线MA 的对称点F 满足S △AOF ＝S △AOM ？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
5.如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx －3(a≠0)的顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，且BO ＝OC ＝3AO ，直线y ＝－1
3
x ＋1与y 轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式； (2)证明：△DBO∽△EBC；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图，抛物线L ：y ＝ax 2
＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B(3，0)两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C(0，3)，已知对称轴x ＝1.
(1)求抛物线L 的解析式；
(2)将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内(包括△OBC 的边界)，求h 的取值范围；
(3)设点P 是抛物线L 上任一点，点Q 在直线l ：x ＝－3上，△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．
图(1)图(2)
7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)、B(0，－3)、C(2，0)，其对称轴与x 轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；
(2)若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则1
2PB ＋PD 的最小值为________；
(3)M(s ，t)为抛物线对称轴上的一个动点．
①若平面内存在点N ，使得以A,B,M,N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有________个； ②连接MA,MB ，若∠AMB 不小于60°，求t 的取值范围．
8.如图，抛物线与x 轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y 轴交于点C(0，5)．有一宽度为1，长度足够的矩形(阴影部分)沿x 轴方向平移，与y 轴平行的一组对边交抛物线于点P 和Q ，交直线AC 于点M 和N ，交x 轴于点E 和F.
(1)求抛物线解析式．
(2)当点M 和N 都在线段AC 上时，连接MF ，如果sin ∠AMF ＝
10
10
，求点Q 的坐标． (3)在矩形的平移过程中，当以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M 的坐标．
9.如图，已知抛物线y ＝13x 2
＋bx ＋c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(－9，10)，AC ∥x 轴，点P 是直
线AC 下方抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；
(3)当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C,P,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
10.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2
＋bx －8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．
(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存在点F ，使△FOE≌△FCE，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB 与直线l 交于点Q.试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形．
参考答案
1. 解：(1)∵直线y ＝5x ＋5与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，∴A(－1，0)，C(0，5)．∵抛物线y ＝ax 2
＋4x ＋c
过点A(－1，0)，C(0，5)，则⎩⎨⎧==+-,
5,04c c a 解得c ＝5，a ＝－1，∴二次函数的表达式为y ＝－x 2
＋4x ＋
5.
图①图②
(2)如图①，∵抛物线y ＝－x 2
＋4x ＋5与x 轴交于A ，B 两点，∴解－x 2
＋4x ＋5＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝5.∵点B
在x 轴正半轴，∴B(5，0)．设过B(5，0), C(0，5)的直线BC 解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩
⎨⎧==+,5,
05b b k
解得k ＝－1，b ＝5，∴直线BC 表达式为y ＝－x ＋5.∵DN ⊥x 轴，∴DN ∥y 轴．∵点N 在BC 上，点D 在抛物线上，设N(x ，y 1)，D(x ，y 2)，∴N(x ，－x ＋5)，D(x ，－x 2
＋4x ＋5)．∴DN ＝－x 2
＋4x ＋5－(－x ＋5)＝－x 2
＋5x ＝－(x －52)2＋254.当x ＝52时，DN 有最大值25
4；(3)如图②，作点H 关于y 轴的对称点H′，点M 关于x 轴的对称点M′，
连接H′M′，分别交x 轴，y 轴于点F,E ，则四边形HEFM 的最小周长为HM ＋HE ＋EF ＋FM ＝HM ＋H′M′.∵y ＝－x
2
＋4x ＋5＝－(x －2)2
＋9，∴H(2，9)，∴H ′(－2，9)，当x ＝4时，y ＝5，∴M(4，5)，∴M ′(4，－5)．设直线H′M′
的解析式为y ＝k′x＋b′，则⎩⎨⎧-='+'='+'-,54,92b k b k 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
='-='313
3
7b k ,∴直线H′M′的解析式为y ＝－73x ＋133.当y ＝0时，x
＝
137，∴F(137，0)；当x ＝0时，y ＝133，∴E(0，13
3
)． 2. 解：(1)由y ＝x 2
＋14得：A(0，14)∵B,O 关于A 对称，∴B(0，12)(2)如图①，∵直线BC 过点B(0，12
)，
图①图②
∴直线BC 解析式为y ＝kx ＋12.∴C(－12k ，0)，又∵P 是直线l 上一点，∴可设P(－1
2k ，a)．过点P 作PN⊥y 轴，垂
足为N ，连接PB ，则在Rt △PNB 中，由勾股定理得：PB 2＝PN 2＋NB 2，∵PB ＝PC ＝a ，∴a 2
＝(－12k )2＋(a －12)2，解得a
＝
14k 2＋14，∴P 点坐标为(－
12k ，14k 2＋14)，当x ＝－12k 时，y ＝14k 2＋1
4
，∴点P 在抛物线上． (3)如图②，由C′在y 轴上，可知∠CBP＝∠C′BP，∵PB ＝PC ，∴∠CBP ＝∠PCB，∵PC ∥C ′B ，∴∠PCB ＝∠ABC，
∴∠C′BP＝∠CBP＝∠ABC＝60°，∴△PBC 为等边三角形，∵OB ＝12，∴BC ＝1，OC ＝32，∴PC ＝1，∴P(3
2，1)．
3. 解：(1)令x ＝0，得y ＝ax 2
＋bx －3＝－3，∴C(0，－3)，把(－1，0)和(3，0)代入y ＝ax 2
＋bx －3中，得
⎩⎨⎧=-+=--,0339,03b a b a 解得⎩⎨
⎧-==2
1b a ,∴抛物线的解析式为y ＝x 2
－2x －3.(2)A(－3，23)，B(3，－23)．(3)不存在实数k 使得△ABC 的面积为3102
.
4. 解：(1)由题意知，A(3，3)在二次函数y ＝x 2
＋bx 图象上，将x ＝3，y ＝3代入得9＋3b ＝3，解得b ＝－2， ∴二次函数表达式为y ＝x 2
－2x.(2)如图①所示，过点P 作PB⊥QQ 1于点B ，
图①
∵PQ ＝22，且在直线y ＝x 上，∴PB ＝QB ＝2 ，设P(a ，a)，则Q(a ＋2，a ＋2)，则P 1(a ，a 2
－2a)，Q 1(a ＋2，(a ＋2)2
－2(a ＋2))，即Q 1(a ＋2，a 2
＋2a)，所以四边形PQQ 1P 1的面积为：S ＝2×（a －a 2
＋2a ）＋（a ＋2－a 2
－2a ）
2
＝
－2a 2
＋2a ＋2＝－2(a －12)2＋52，当Q 运动到点A 时，OP ＝OQ －PQ ＝2，a ＝1.∴a 的取值范围为0＜a ＜1.∴当a ＝
12时，四边形PQQ 1P 1的面积最大，最大值为52. (3)存在，点E 的坐标为E 1(43，43)，E 2(143，14
3)，如图②所示，连接
OM ，∵点M 为抛物线顶点，∴M(1，－1)，又∵OA 所在直线为y ＝x ，∴OM⊥OA，即∠AOM＝90°，在△AOF 和△AOM 中，以OA 为底，当面积相等时，则两三角形OA 边上的高相等，又∵OM⊥OA，且OM ＝2，∴可作两条与OA 互相平行且距离为2的直线，
如图②所示，在直线HD 、MC 上的点F 均满足S △AOF ＝S △AOM ，∴只需满足E 点的对称点F 在这两条直线上即可，如图②，过点A 作AC⊥MC 于点C ，易求四边形OACM 为矩形，AM 为该矩形的一条对角线，取AM 中点O′，过O′作AM 垂线，交OA 于点E 1，交MC 于点F 1，OA ＝32，∴AM ＝OA 2
＋OM 2
＝25， ∴AO ′＝5，则△AO′E 1∽△AOM ，∴AO′AO ＝AE 1AM ＝AO －OE 1AM ，∴532＝32－OE 1
25
，
图②。