洛必达法则的简便证明

洛必达法则的简便证明（以0x x +→为例）

柯西中值定理可用于证明洛必达法则和泰勒公式.

定理（

00型，*

∞

型）若函数f 和g 满足条件 1）00lim ()lim ()0x x x x f x g x ++→→==（是说极限为00型不定式）（*

∞

型中的1）0lim ()x x g x +→=∞）

2）0()lim ()x x f x A g x +→'='（A 为实数或±∞，∞）（是说在0x 的某邻域0()U x +内，()

()

f x

g x ''有意义，

且有确定的趋势），则

()

lim ()

x x f x A g x +

→=. 0()x +，0()x ，((f x A g x ε'<

+' 0,()x x U x +'∀ x '<<，由柯理，

0()x ，使 ()

()

f A

g ξξ'<' 0()x +，0()x ，()|()f x g x '>'0()U x +且x '<，由(x ξ∃∈0()x ，()f x G '=.

注 同时满足定理的几个条件才可适用. 1）只有断言0

()

lim ()

x x f x A g x +

→'='时（A 为实数或±∞，∞），洛必达法则才能使用.否则，无法使用. 例如20

1sin

lim

x x x x

→，0()lim ()x f x g x →''不存在，无法使用定理作判断，其实，2

01sin

lim

0x x x x →=. 2）可以在求一个极限时，多次使用.

3）及时化简.如约分，或及时分离出存在极限的因子，以免因求导引起解析式更繁琐.如

2

sec lim

tan x x

x

π

→

.