两参数威布尔分布定数截尾样本的矩估计_孙丽玢

1 基本知识
假设 X 表示某产品的寿命, 其分布函数为 F ( x ) , 即 X ～F ( x ) . 若产品工作到时刻 t 仍能正常工作 , 能继续工作的时间为 x 的概率为 F t ( x ) . 则 F t ( x ) = P ( X - t ≤ x ûx > t) = F ( x + t) - F ( t) , x ≥ 0, 1 - F ( t) 0, x < 0.
n- 1 n n
2 = XH ,
其中 1 X = N∑ i= 1
n i
∑
l= 1
1 + ( N - l + 1) 2
i
∑ (N
l= 1
1 - l + 1)
2
8
徐州师范大学学报 ( 自然科学版 )
第 19 卷
( N - 3) ( N - n) + ( N - 1) N
n
n
∑
l= 1 i
第 19 卷 第 3 期 2001 年 9 月
徐州师范大学学报 ( 自然科学版 ) J. o f Xuzho u No rm al U ni. ( N at ur al Sciences)
V o l. 19, N o . 3 Sep. , 2001
两参数威布尔分布定数截尾样本的矩估计
孙丽玢
( 徐州师范大学 数学系, 江苏 徐州 221009)
1 2 + ( N - l + 1)
n
∑Nl= 1 i
1 l+ 1
n i
2
+ -
2( N - n ) 1 N - n 2( N - n ) 1 + ∑ ∑ N N N ( N - 1) ∑ l= 1 N - l + 1 i= 1 l= 1 N - l + 1 2 ∑ N ( N - 1) ∑ i= 1 j = i+ 1
容易验证 F t ( x ) 为分布函数, 称之为剩余寿命分布函数 . 令 m ( t ) 为产品工作到时刻 t 仍能正常工作的条件下, 继续工作的平均时间 , 则 m ( t) =
∫
0
∞
x dF t ( x ) =
∫
0
∞
1 ( 1 - F t ( x ) ) dx = 1 - F ( t ) E ( x ) -
∑X
i= 1
+ ( N - n) ( X
B n: N
+ H )
2
- 1 N
n
( 6)
B i: N
∑X
i= 1
+ ( N - n) ( X
B n: N
+ H )
2
.
至此, 我们得出了矩估计方程( 6) , 有了具体数字 , 就可以利用迭代方法得到矩估计 ; 同时, 这种得出 矩方程的方法对其它分布及不完全样本的类型 , 也提供了一种思路 . 参考文献:
2 构造矩方程
假定某产品的寿命 X ～Wei( x ; B, H ) ,即 F( x ) = 1 - ex p 0, xB , H x ≥ 0, x < 0,
收稿日期 : 2001-04-09 作者简介 : 孙丽玢 ( 1973- ) , 女 , 山东武城人 , 助教 , 硕士研究生 , 主要从事可靠性理论的研究 .
∑N-
1 l+ 1
由 [ 1] 知 , 具体计算时, X 可由 n 近似代替. 由此 , 矩方程( 4) 可写为 N H= 1 N
2 n
∑Y
i= 1
i: N n
+ ( N - n ) ( Y n: N + H ) ,
i: N
1 XH = N- 1 1 H= N
2 n B i: N n
∑Y
i= 1
Ⅱ censo red sampl es , t he pro blem of mo ment estimat ion of the t w o Abstract: Based on T ype param et er W eibull distr ibutio n is discussed. Wit h t he m et hod of t ransfo rmat io n, the mo ment equation is derived, and t he m oment est imat ors are proposed t hereby. Key words : Weibull dist ribut ion ; moment est imat ion ; mean residual lifet im e ; or der st at istic
摘要 : 讨论了在两参 数威布尔场合下 , 定数截尾 样本的矩估 计问题 . 利用转化 的思想得 出了矩方程 , 从而 得出矩估 计. 关键词 : 威布尔分布 ; 矩估计 ; 平均剩余寿命 ; 次序统 计量 中图分类号 : O213. 2 文献标识码 : A 文章编号 : 10076573( 2001) 03000603
n
∑Y
i= 1
i: N
+ ( N - n ) ( Y n: N + m Y ( Y n: N ) )
1 E ( Y i : N ) + ( N - n) ( E ( Y n: N ) + H ) N ∑ i= 1 = H= E ( Y ) , = 所以 X0 = 1. 2) 再求 X. 由( 3) 式 E ( S 2) = 1 E N - 1
矩估计作为最经典、 直观的参数估计方法, 是由 K. P earson 在上个世纪初提出的 . 其基本思路是用 样本矩及其函数估计相应的总体矩及其函数. 完全样本场合下的矩估计问题已有许多人讨论过 . 由于种 种原因 , 我们得到的常常是不完全样本. 但对此种数据的矩估计讨论却极少 . 这是因为不完全样本场合 下 , 样本矩很难构造 . 本文利用 [ 1] 提出的以平均剩余寿命构造样本矩的方法, 借助指数分布的无记忆 性 , 将威布尔分布样本转化为指数分布样本进行讨论 , 利用次序统计量的性质得出了矩方程, 并为其他 场合下不完全样本的矩估计提供了思路.
第3 期
孙丽玢 : 两参数威布尔分布定数截尾样本的矩估计
7
其中 B 为形状参数 , H为尺度参数 , B> 0, H > 0. 将 N 个产品投入试验, 到恰有 n ( n≤ N ) 个失效时停止试验. 所获样本为 X 1: N ≤X 2: N ≤…≤ X n: N . 特 别地, 当 n = N , 即完全样本时 , 矩估计众所周知 . 对定数截尾情形, 即 n < N , 为了得到矩方程, 令 Y = X , 则 Y ～ Exp( H ),即 F( y) =
2
, 1 ≤ i ≤ N ,
j
2 E ( Y i : N Y j : N ) = H
∑
l= 1
1 + ( N - l + 1) 2
n
1 ∑ l= 1 N - l + 1
∑N
l= 1
1 - l+ 1
, 1 ≤ i < j ≤ N .
1) 先求 X0. 由 ( 2) 式 1 E ( U ) = E N
+ ( N - n ) ( Y n: N + m Y ( Y n: N ) ) , + ( N - n) ( Y n: N + m Y ( Y n: N ) ) 2
2Байду номын сангаас
( 2)
1 N- 1
∑Y
2 i: N
1 Y i : N + ( N - n ) ( Y n: N + m Y ( Y n: N ) ) N ∑ i= 1 这里用 Y n: N + m Y ( Y n: N ) 代替了未观察到样本的寿命 . 建立矩方程 U = X0 E ( Y ) , S = XVar ( Y ) ,
n- 1 i n- 1 n
∑
l= 1
1 + ( N - l + 1) 2
i
1 ∑ l= 1 N - l + 1 1 N - l+ 1
n l= 1
j
∑N
l= 1
1 - l+ 1 .
- 2( N - n ) ∑ N ( N - 1) i = 1
∑
l= 1
1 + ( N - l + 1) 2
∑
l= 1
[ 1] 倪中新 . 几种不完全数据的统计分析 [ D] . 上海 : 上海 师范大学 , 2000. [ 2] Balakr ishnan N , Cohen A C. Or der Stat istic and I nfer ence [ M ] . San Dieg o : A ca demic P ress Inc, 1991. 1- 72. [ 3] Co hen A C, W hitten B J, Ding Y . M o dified mo ment estimatio n for the thr eepar ameter w eibull distr ibutio n[ J] . J Q ual T ech , 1984, 16: 159. [ 4] F ei H L , Su D Q , Leng S M . Statistica l analysis fo r t he r esidua l life o f pr o gr essive str ess screening tests [ A ] . P ro ceeding s of International Confer ence o n Elect ro nic Components and M ater ials [ C ] . Beijing: Inter na tio nal A cademic Publisher s, 1992. 65- 68. [ 5] 茆诗松 , 王静龙 , 濮晓龙 . 高等数理统计 [ M ] . 北京 : 高等教育 出版社 , 1998. 114- 122.
+ ( N - n ) ( Y n: N + H )
2
1 N
n
( 5)
i: N
∑Y
i= 1
+ ( N - n) ( Y n: N + H )
2
.
对两参数威布尔分布定数截尾样本, 可得相应的矩估计方程为
∑X
i= 1
+ ( N - n) ( X n: N + H ) ,
2B i: N
B
1 XH = N - 1
2
,
( 3)
( 4)
其中 X0, X 为纠偏系数 .
3 纠偏
由 [ 2] 知
i
E ( Y i : N ) = H ∑
l= 1 i
1 , 1 ≤ i ≤ N , N - l+ 1 1 + - l + 1) 2
i
E ( Y i : N ) = H
2 2
∑ (N
l= 1 i
∑N
l= 1 i
1 - l+ 1
Moment Estimation of the Two-parameter Weibull Distribution Under Type-Ⅱ Censoring
S UN L i bin
( D epar tment o f M athematics , Xuzho u N o rmal U niv ersit y, Xuzho u 221009, China )
(1 ∫
0
t
F ( y ) ) dy ,
称 m ( t ) 为产品工作到时间 t 仍能正常工作时的平均剩余寿命. 若 X ～Exp( H ) , 即分布函数 F( x ) = 1 - ex p 0, 其中 H > 0. 根据指数分布的特性 , 易知对P t≥ 0, 有 m ( t) = H . ( 1) x , H x ≥ 0, x < 0,
2 B
1 - ex p 0,
y , H
y ≥ 0, y < 0.
我们知道 E ( Y ) = H , Var( Y ) = H . 相应的次序统计量为 Y 1: N ≤ Y 2: N ≤…≤ Y n: N . 令 U= S 2 = 1 N
n
∑Y
i= 1 n i= 1 n
i: N
n n 2 2 ∑Y i: N + ( N - n) ( Y n: N + H) i= 1
1 N
n
∑Y
i= 1 n
i: N
+ ( N - n) ( Y n: N + H )
2
1 2 N - n 2 2( N - n ) N - n 2 = N ∑E ( Y i: N ) + E ( Y n: N ) + H E ( Y n: N ) + N N N H i= 1 2 2( N - n ) 2( N - n ) E ( Y i : N Y n: N ) H E ( Y i: N ) ∑ E ( Y i: N Y j : N ) - N ( N - 1) ∑ N ( N - 1) ∑ N ( N - 1) ∑ i= 1 j = i + 1 i= 1 i= 1