MEWMA控制图ARL计算及参数优化_杜福洲

2006年8月第32卷第8期北京航空航天大学学报

Journa l o f Be iji ng U nivers it y of A eronauti cs and A stronauti cs A ugust 2006V o.l 32 N o 18

收稿日期:2005-09-14

基金项目:国家自然科学基金资助项目(50475005;70321001) 作者简介:杜福洲(1976-hou@163.co m.

ME WMA 控制图ARL 计算及参数优化

杜福洲 唐晓青

(北京航空航天大学机械工程及自动化学院,北京100083)

孙 静

(清华大学管理科学与工程系,北京100084)

摘 要:平均运行链长(ARL)是控制图性能评价的一个重要指标,深入研究ARL 是控制图参数优化、性能评价和实际应用的重要工作.在采样数据标准化处理的基础上,应用马尔可夫链进一步研究了多元指数移动平均(ME WMA )控制图中ARL 计算的数学模型,采用

M atlab 实现了算法,就算法的收敛性及计算结果进行分析.以ARL 为优化指标,给出了M E WMA 控制图参数优化的具体步骤、计算实例和参数优化结果.

关 键 词:质量控制;统计过程控制;多变量控制系统;马尔可夫过程;优化控制系统

中图分类号:T H 165+

.4;C 931.1文献标识码:A 文章编号:1001-5965(2006)08-0974-05

ARL co mput ati o n and para met ers optm i izati o n f orME WMA control chart

based on t he Markov chai n

Du Fuzhou

Tang X i a oq i n g

(Schoo l ofM echan i calEng i neeri ng and Au to m ati on,Beiji ng Un i versity ofA eron auti cs and A stronau tics ,B eiji ng 100083,Ch i na)

Sun Ji n g

(D epart m en t ofM anage m en t Science and Engi n eeri ng ,Ts i nghua Un ivers it y ,Beiji ng 100084,Ch i n a)

Abstr act :Average run leng t h (ARL)is one of the i m portant i n d ices i n perfor m ance eva l u ati o n on qua lity contro l charts ,t h e research on w hich w ill set up the foundation of quality con tro l chart para m eters opti m iza -ti o n ,perfor m ance evaluati o n and application .An ARL co mpu tation m odel based on the M ar kov chain w as stud ied for the m u ltivari a te exponenti a ll y w ei g hted m ov i n g average (M E WMA)control char,t the M atlab pro -gra m w as desi g ned and i m ple m en ted .The convergence of the algorithm and t h e perfor m ance o f the M E WMA contro l chart in d ifferent cond itions through t h e analysi s o f the co mpu tation resultsw ere analyzed .A procedure for para m eters opti m ization ofME WMA contro l chartw as proposed .An co m putation exa m ple and so m e opti m -i zation results w as presented .

Key w ords :quality contro;l statistical process contro;l mu lti v ariable contro l syste m s ;M ar kov pr ocesses ;opti m al contro l syste m s

多元质量控制图是通过监控过程中多个变量来控制产品质量常用的方法,对于控制图的性能,学术界和实际应用中常用ARL (Average Run Length)作为其评价指标.ARL 是指对给定的质量水平,控制图从开始应用到发出警报平均抽取的样本数.理想的控制图为:过程受控时,ARL 值尽可能大;过程失控时,ARL 值尽可能小.

应用马尔可夫链来计算控制图ARL 的思想

最早是由Brook 和Evans 在1972年提出的[1]

,用

于计算C U S UM 控制图的ARL ,随后马尔可夫链法在单变量控制图ARL 计算中得到了广泛的应用.Runger 和Prabhu 将其扩展到多元质量控制图的性能评价中,并提出了基于马尔可夫链的多元指数移动平均(ME WMA )控制图ARL 的计算方法[2]

.本文基于马尔可夫链的ME WMA 控制图ARL 计算的数学模型,采用M atlab 平台,对该模

型算法的实现及其收敛性进行了研究.最后针对计算结果分析了M E WMA控制图的性能,以ARL 为优化指标,提出了一种ME WMA控制图参数优化方法,给出了具体实现步骤、算例及优化结果.

1M E WMA控制图

设t时刻采样数据为X t=[x1t x2t,

x pt],X t服从多元正态分布,均值向量为L0,协方

差矩阵为20,p为过程变量维数.设M E WMA控制图的统计量为W,其表达式为[3]

W t=r Y t+(1-r)W t-1

W0=0

(1)式中,Y t为t时刻标准化处理后的过程采样值,即

Y t=2-1/2

0(X t-L0);r为ME WMA控制图的平滑系数.当过程发生偏移时,其偏移系数为

D=(L-L0)c2-10(L-L0)(2)式中,L为偏移后的均值向量.已证明,M E WMA 控制图的ARL只与过程偏移系数有关,而与过程偏移后的均值向量无关[4];Y t与原始变量X t具有相同的偏移系数,因此两者具有相同的ARL.

M E WMA控制图打点量为

Q t=W c t2-1W W t(3)式中,2W=[r/(2-r)]2Y;2Y为Y t的协方差矩阵,其为单位阵.所以式(3)变为

Q t=b+W t+2(4)式中,b=r/(2-r);当Q t>H时,表示过程出现异常;H为给定初始ARL时的控制线,通常取此时的平均运行链长L0=200,即控制图的置信度为0.005.

2基于马尔可夫链的ARL计算

2.1数学模型

利用马尔可夫链的无后效性,将ME WMA控制图的打点过程近似为一个马尔可夫过程,过程受控时有以下定理[2]:

定理1对于给定+W1+,+W2+,,, +W t+的W t,其概率分布函数为球面S(+W t+),其中+W t+为半径.

定理2Q t打点过程可近似为马尔可夫链.

选用变量q t=+W t+作为打点量,由定理2可知q t可近似为马尔可夫链,其上控线U cl为

U cl=b-1/2H1/2(5)对于转换后的M E WMA控制图的合格区域可以看作半径为U cl的超球体,将该超球体划分为m

+1个部分,每部分代表

一个马尔可夫链的状

态,表示为S i,i=0,1,,,m,S0为半径r=0.5g的

超球体,而S i(i=1,2,,,m)均为厚度为g的超

球壳,g=2U cl/(2m+1).图1为受控状态下,p=2

时q t马尔可夫链状态空间划分示意图.当

+W t+>U cl时,过程失控,设此时的状态S m+1为

马尔可夫链的吸收态,这样M E WMA控制图的

ARL就转化为该马尔可夫链从非吸收态转移到

吸收态所经历状态的平均次数.

图1受控状态马尔可夫链状态空间划分示意图

当过程均值发生偏移时,因为ME WMA控制

图的运行链长只与过程偏移系数D有关,不失一

般性,设其均值偏移向量为

L-L0=D e

e=[10, 0]

(6)

将W i分为2部分,均值为D的一维随机向量W t1

和均值为0的p-1维的随机向量W t2,即

q t=+W t+=W2t1+W c t2W t21/2(7)

q t近似为一个二维的马尔可夫链,此时状态

空间的划分可以用一个二维的坐标系来表示,如

图2所示,其中W t1为马尔可夫链W t1的状态划

分,+W t2+为马尔可夫链W t2的状态划分.

图2失控状态马尔可夫链状态空间划分示意图

W t1所对应的马尔可夫链,沿着W t1轴的方

向,将受控区域[-U cl,+U cl]划分为2m1+1个

等距离的区间,每个区间代表马尔可夫链的一个

状态,设其状态空间为h i,i=1,2,,,2m1+1.W t2

所对应的马尔可夫链,参照受控状态下马尔可夫

链状态空间的划分方法,设其状态空间为v j,j=

0,1,2,,,m2.q t所对应的二维马尔可夫链的状

975

第8期杜福洲等:M E WM A控制图ARL计算及参数优化