数学动点问题专题讲解

A

B C

D E O l A ′ 中考动点专题（无图题查作业帮有的有误）

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开

放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

关键:动中求静.

数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想

注重对几何图形运动变化能力的考查

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究

手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。图形在动点

的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变

化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本

质。

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函

数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关

系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.

例1(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O

为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.

(1)求证: △ADE ∽△AEP.

(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP 的长.

（二）线动问题

在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E.

(1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长；

(2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝4

1AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 4

3长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．

(2)①92+=x AC ，9412+=

x AO ，)9(1212+=x AF ，x x AE 492+=

A 3(2)

3(1)

∴AF 21⋅=∆AE S AEF x x 96)9(22+=，x

x x S 96)9(322+-= x

x x S 968127024-+-= (333<

x x ，01=x (舍去)，582=x ∵35

82<=x ∴不存在这样的x ，使圆A 与直线l 相切． [类题]09虹口25题．

（三）面动问题

如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的

两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的

异侧作正方形DEFG .

（1）试求ABC ∆的面积；

（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；

（3）设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关

于x 的函数关系式，并写出定义域；

（4）当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长．

[题型背景和区分度测量点]

本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原

题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D 点在AB 边上运动时，正方形DEFG 整体动起来，GF 边落在BC 边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比

大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD 的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属

于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二．

[区分度性小题处理手法] 图3-5图3-4

图3-3

图3-1

C C C C C

1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正方形和

矩形包括两种情况．

2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决．

3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段.

[ 略解]

解：（1）12=∆ABC S .

（2）令此时正方形的边长为a ，则446a a -=，解得5

12=a . C

（3）当20≤x 时， 22253656x x y =⎪⎭

⎫ ⎝⎛=， 当52 x 时， ()2252452455456x x x x y -=-⋅=

. （4）7

20,1125,73125=AD . [类题] 改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时”,去掉，同时加

到第（3）题中.

已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30º，BC =6，点D 在边BC

上，点E 在线段DC 上，DE =3，△DEF 是等边三角形，边

DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ．

（1）求证：△BDM ∽△CEN ；

（2）设BD =x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，求y

关于x 的函数解析式，并写出定义域． （3）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切,

如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由．

例1：已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在⊙O 上变化（不与A 、B ）重合，求∠ACB 的

大小 .

分析：点C 的变化是否影响∠ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点C 改变一下,如何变化呢？可能在

优弧AB 上，也可能在劣弧AB 上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C 在优弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO 、BO ，则由于AB=OA=OB ，即三角形ABC 为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的

关系得出：∠ACB=21

∠AOB=300，

当点C 在劣弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是优弧AB ，它的大小为优弧AB 的一半，由∠AOB=600

得，优弧AB 的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关

系得出：∠ACB=1500， 因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.

反思：本题通过点C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从

而需要分类讨论。这样由点C 的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。

变式1：已知△ABC 是半径为2的圆内接三角形，若32=AB ，求∠C 的

大小.

本题与例1的区别只是AB 与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上 A B F D E M N

C