理解特征值、主振动和模态

为了分析上述方程和理解振动物理特性， 在绝大多数教科书中都是通过如下 的方式引入数学特征值的概念的。即假定 {x} = { X }sin( pt + ϕ ) (2) 其中 { X } 为各自由度的振动幅度， p和ϕ 分别为振动频率和初相位。 将式(2)代入方程(1)有 (− p 2 [ M ] + [ K ]){ X }sin( pt + ϕ ) = {0} 将 sin( pt + ϕ ) 约去可得
⎥ ⎥ φNN ⎦
φ1N ⎤ φ2 N ⎥ ⎥
2.1 解耦的条件
取变换
{x} = [Φ ]{q}
代入式方程(1)，
(4)
[ M ][Φ ]{q} + [ K ][Φ ]{q} = {0} (5) 解耦的充要条件是： {q}和{q} 前面的系数矩阵均为对角阵。对角阵当然应为 对称阵，但方程(5)不符合这个必要条件，因为 [ M ][Φ ]和[ K ][Φ ] 一般都不是对称 阵，尽管 [ M ]和[ K ] 确实是对称阵。 并为了保持系数矩阵的对称, 再左乘 [Φ ]T 有 [Φ ]T [ M ][Φ ]{q} + [Φ ]T [ K ][Φ ]{q} = {0} (6) 解耦的充分条件变为 [Φ ]T [ M ][Φ ]=[ M ]P (7)
3.2 示例
例 1: 求图 1 所示张紧细绳上均匀地分布着五个相同的集中质量，绳子张力 FT0 在微幅振动过程中近似认为是常数。分析系统的主振动的频率和主振型。
x1 x2 x3 x4 x5
图 1 五自由度弹簧质量振系
4
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解: 采用分离体法可以建立的振动微分方程(1)， 质量矩阵和刚度矩阵分别为: 1 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎢0 1 0 0 0⎥ ⎢ −1 2 −1 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [ M ] = m ⎢0 0 1 0 0 ⎥ ,[ K ] = k ⎢ 0 −1 2 −1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 0 1 0⎥ ⎢ 0 0 −1 2 −1⎥ ⎢ ⎢ ⎣0 0 0 0 1⎥ ⎦ ⎣ 0 0 0 −1 2 ⎥ ⎦ 6F 式中 k = T0 。 l 将具体的 [ M ]和[ K ] 代入特征多项式(15)，展开得到 (k − λ m)(2k − λ m)(3k − λ m)(k 2 − 4kmλ + m 2 λ 2 ) = 0 可解出五个特征根(按从大到小顺序排列) (2 − 3)k k 2k 3k (2 + 3)k 2 2 2 2 = p12 , λ2 = = p2 , λ3 = = p3 , λ4 = = p4 , λ5 = = p5 λ1 = m m m m m 其中 p1 ∼ p5 就是主振动频率。将这 5 个特征根代入特征方程，可以解出特征向 量矩阵(每个特征向量取最后一个元素数为 1), 1⎤ ⎡ 1 −1 1 −1 ⎢ ⎥ ⎢ 3 −1 0 1 − 3 ⎥ [Φ ] = ⎢ 2 0 −1 0 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 1 0 −1 − 3 ⎥ ⎢ ⎥ 1⎦ ⎣ 1 1 1 1 将 [Φ ] 代入(7)和(8)可验证 [Φ ] 确实能将质量矩阵和刚度矩阵对角化，其中的 主质量和主刚度分别为 M 1 = 12m, M 2 = 4m, M 3 = 3m, M 4 = 4m, M 5 = 12m
这是更熟悉的形式。之所以叫"广义"是因为 [ M ] 的存在。如果矩阵 [ M ] 恰好为单 位阵，那就是常规特征值问题。 总之, 方程(1)的解耦问题最终归结为特征值问题(13)，相应的特征值方程为 | [ K ] − λ[ M ] |= 0 (15) 一旦根据这个多项式解出特征根 λ 代回 (13) 式 , 便可以确定变换所需要的矩阵 [Φ ] 。
(− p 2 [ M ] + [ K ]){ X } = {0}
或者
λ[ M ]{ X } = [ K ]{ X }
2
(3)
其中 λ = p 。 式(3)就是广义特征值问题。 式(2)的假设当然最终是正确的，但是从理解角度来讲，这种假定有生硬的感 觉。首先解为什么要假定为简谐函数的形式？难道就没有其他形式的解吗？其 次， 即使假定了简谐形式， 为什么各个自由度规律都是以相同的频率振动？第三， 为什么振动的初相位对各自由度也相同？怎样直观地理解主振动呢？ 对上述问题，教科书是避而不谈的。本文将从对方程(1)解耦角度逻辑地过渡 特征值问题(3)。进一步采用了快照叠放图来实现对主振动的直观理解。
(8)
(8)的静力耦合。另一方面, 仅关系(7)也无法唯一确定 [Φ ] 。因为 [Φ ] 本身有 N 2 个 参数, [ M ]P 的对角线还有 N 个参数，所以总计有 N 2 + N 个参数要待定; 但的关 1 系(7)最多能提供 N ( N + 1) 个独立的方程，因为该式左端的矩阵对称自动减少了 2 1 N ( N − 1) 个独立方程)。同样若 [Φ ] 满足(8)关系, 可实现静力解耦, 未必能实现 2 动力解耦，当然也无法唯一确定所有的待定参数。 只有关系(7)和(8)联立起来，同时满足，才能同时实现静力解耦和动力解耦。 二者联合起来之后， 形式上有 N ( N + 1) 个独立的方程， 待定未知数则有 N ( N + 2) 。 不过回到关系(7)和(8), [Φ ] 确实不能完全确定, 因为若已找到一个 [Φ ] 同时满足 了关系(7)和(8)， 那么对这个 [Φ ] 乘以任意一个的对角阵之后也仍然同时满足关系 (7)和(8)。如果不计这个对角阵的差异，联合关系(7)和(8)有可能唯一确定 [Φ ] 。
−1 由于 [ M ]P 和[ K ]P 均为对角阵， [ M ]P [ K ]P 可合并为一个对角阵
(10)
(11)
⎡ λ1 0 ⎢0 λ 2 1 ⎢ [Λ ] = [ M ]− [ ] K = P P ⎢ ⎢ ⎣0 0
0⎤ 0⎥ ⎥ ⎥ ⎥ λN ⎦
(12)
其中对角元素
λi =
这样式(11)变为
2.2 解特征值问题
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为此将关系(7)变为 [Φ ]T =[ M ]P [Φ ]-1[ M ]−1 ，代入关系(8)得
[ M ]P [Φ ]-1[ M ]−1[ K ][Φ ] = [ K ]P
上式可变为
−1 [ K ][Φ ] = [ M ][Φ ][ M ]P [ K ]P
Ki Mi
( i =1,2,...,N )
[ K ][Φ ] = [ M ][Φ ][Λ ] (13) 上 式 就 是 矩 阵 理 论 中 的 广 义 特 征 值 问 题 。 如 果 将 矩 阵 [Φ ] 按 列 分 开 [Φ ]=[{φ}1 ,{φ}2 , ,{φ}N ] ，则式(13)就变为如下的关系 [ K ]{φ}1 = λ1[ M ]{φ}1 [ K ]{φ}2 = λ2 [ M ]{φ }2 [ K ]{φ}N = λN [ M ]{φ }N
对 N 自由度无阻尼线性系统或系统作微幅振动， 最后都得到如下的振动微分 方程组 [ M ]{x} + [ K ]{x} = {0} (1) 其中 {x} 表征各自由度位移的 N ×1 向量，[ M ]和[ K ] 均为 N × N 的实对称矩阵，其 中 [ M ] 正定而 [ K ] 半正定。
1. 传统处理中的问题
[Φ ]T [ K ][Φ ] = [ K ]P
其中 [ M ]P 和[ K ]P 均应为如下的对角阵
0 ⎤ 0 ⎤ ⎡ M1 0 ⎡ K1 0 ⎢ 0 M ⎥ ⎢ 0 ⎥ 0 K2 0 ⎥ 2 ⎢ ⎢ ⎥ (9) [ M ]P = ,[ K ]P = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 MN ⎦ KN ⎦ ⎣ 0 ⎣0 如果选择的 [Φ ] 满足了关系(7), 那么可实现动力解耦，但是未必能保证关系
因此具有固定的振动模式(mode or pattern)。 (2)当 φ j1i 和 φ j2 ,i 符号相反时, 在 j1和j2 两点之间至少存在一个点，其振幅始终 为 0，也就是节点。因为它的位置固定不变，所以我们可以用肉眼观察到。 由于上述特征，若只以一个固有频率 pi 振动，则整个系统的运动有明显的模 式， 所以称之为模态振动。 相应的振动模式完全由列阵 {φ}i 所控制， 所以称 {φ}i 为 模态向量，又称振型向量。 每个模式都对应方程组(16)中的一个方程。对每个独立方程, qi 前的系数 M i 类似于单自由度情形的等效质量，所以称为模态质量或广义质量，而 qi 前的系数 K i 相当于等效刚度，称为模态刚度或广义刚度。每个单自由度的固有频率 pi 也 称为模态频率。 对于任意自由振动，可能有多个 Ai 不为零，那么上述的特点(1)和(2)消失， 没有固定的振动模式。但根据式(18)，它们仍可以分解为模态振动的迭加，而每 个模态的运动都是简单的简谐振动。由于这种分解，我们又把模态振动称为主振 动(principle vibration), 相应上述物理量又称为主质量、主刚度、主振动频率，以 及主振型等。
(14)
3. 主振动
假定 [Φ ] 已经找到，那么式(6)变为 N 个独立的方程 M 1q1 + K1q1 = 0 ⎫ M 2 q2 + K 2 q2 = 0 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ M N q2 + K N qN = 0 ⎪ ⎭ 它们都是无阻尼单自由度系统的振动方程, 相应的解为 ⎧q1 (t ) = A1 sin( p1t + α1 ) ⎪q (t ) = A sin( p t + α ) ⎪ 2 2 2 2 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩qN (t ) = AN sin( pN t + α N )
1
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变换。线性变换的数学表现是乘以一个矩阵。为此引入如下的新向量 {q} 和非奇 异变换矩阵 [Φ ] ,
⎧ q1 ⎫ ⎡ φ11 φ12 ⎪q ⎪ ⎢φ φ22 ⎪ 2⎪ {q} = ⎨ ⎬ ,[Φ ] = ⎢ 21 ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎩qN ⎪ ⎭ ⎣φN 1 φN 2