概率论及数理统计习题解答(第2章).doc

习 题 二
（A ）
三、解答题
1．一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数 (1) 试求X 的分布律； (2) 写出X 的分布函数．
解: (1)
分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次
中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有1-612⨯C （这里1
2C 指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为61
2⨯C 多
算了一次）或151
2
+⨯C 种，故{}36
11
3615361-611212=+⨯=⨯==C C X P ,其他结果类似可得.
(2)
⎪⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6
165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ，，，，，，，
⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6 165363554 3632
43 3627
323620
2136111 0 x x x x x x x ，
，，，，，，
2．某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖，以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律．
解：
注意，这里X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然{}126
1
299510===C X P . 3．设随机变量X 的分布律为0;,2,1,0,!
}{>===λλΛk k a
k X P k
为常数，试求常数a ．
解：因为1!
==-∞
=∑λλae k a
k k
，所以λ-=e a .
4．设随机变量X 的分布律为
(1) 求X 的分布函数；
(2) 求}21{≤X P ，}2
5
23{≤<X P ，}32{≤≤x P ．
解：
(1) ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤=+-=<≤--=<=3x 13
2432141-1x 03
x 132}2{}1{21}1{-1
x 0)(，，，，，，，，x x x X P X P x X P x f ，
(2) {}41121=-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤
X p X P 、 {}212252
3
===⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<X P X P , {}{}{}{}{}{}4
3
323232=
=+=====≤≤X P X P X X P X P Y . 5．设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,21
}{===k k X P k
求： (1) P {X = 偶数} (2) P {X ≥ 5} (3) P {X = 3的倍数}
解：(1) {}3121121121lim 212121222242=⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++==∞→i i i
X P ΛΛ偶数， (2) {}{}16116151415=-
=≤-=≥X P X P ， (3) {}712
1121121lim 2
1
33
33
1
3=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∞→∞
=∑i i i i X P 的倍数
.
6. 某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）
(1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率． (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率． 解：
(1) ()()5.15.0~P t P X = {}5.10-==e X P . (2) 5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P .
7. 某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概
解：设射击的次数为X ，由题意知().20400~，
B X , {}{},
98.002.011124001
0400k k k k
C X P X P -=∑-=≤-=≥9972.028.01!
818
1
0=-=-≈-=∑e k k K ，其中8=400×0.02.
8. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号．现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率．
解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数，().305~，
B X 则指示灯发出信号的概率
{}{})7.03.07.03.07.03.0(131********
55005C C C X P X P p ++-=<-=≥=
1631.08369.01=-=.
9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从参数为5指数分布．某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数．写出Y 的分布律，并求P {Y ≥ 1}． 解：因为X 服从参数为5的指数分布，则5
1)(x
e
x F --=，{}2
)10(110-=-=>e F X P ，
()
25~-e B Y ，,
则50,1,k ,)1()(}{5225Λ=-==---k
k k e e C k Y P .
0.516711}0{-1}1{5
2=--
===≥-）（e Y P Y P 10．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨
⎧
>≤=2
||,02||,cos )(π
πx x x a x f ，试求： (1) 系数a ； (2) X 落在区间)4
,
0(π
内的概率．
解：(1) 由归一性知：⎰⎰
-∞
+∞
-===
22
2cos )(1π
πa xdx a dx x f ，所以2
1
=
a . (2) .4
2|sin 21cos 21}4
0{404
===<
<⎰π
π
π
x xdx X P . 11．设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,
0)(2x x Ax x x F
(1) 系数A ；(2) X 落在区间(0.3，0.7)内的概率；(3) X 的概率密度． 解 （1）由F (x )在x =1的连续性可得)1()(lim )(lim 11F x F x F x x ==-
→+
→，即A=1.
（2）{}=<<7.03.0X P 4.0)3.0()7.0(=-F F .
（3）X 的概率密度⎩⎨
⎧<<='=
,01
0,2)()(x x x F x f .
12．设随机变量X 服从(0，5)上的均匀分布，求x 的方程02442
=+++X Xx x 有实根的概率．
解：因为X 服从（0，5）上的均匀分布，所以⎪⎩
⎪⎨⎧<<=其他05
051
)(x x f
若方程02442
2=+++X Xx x 有实根，则03216)4(2
≥--=∆X X ，即
12-≤≥X X ，所以有实根的概率为 {}{}5
3
510511252
15
2
==+=-≤+≥=⎰⎰
-∞-x dx dx X P X P p 13．设X ～N (3，4)
(1) 求};3{},2{},104{},52{>>≤<-≤<X P X P X P X P (2) 确定c 使得};{}{c X P c X P ≤=>
(3) 设d 满足9.0}{≥>d X P ，问d 至多为多少? 解: (1) 因为4)(3~，N X
所以
)2()5(}52{F F X P -=≤<
5328.016915.08413.01)5.0()1(=-+=-Φ-Φ=
{})4()10(104--=≤<-F F X P
9996
.019998.021
)5.3(21)5.3()5.3(=-⨯=-Φ=--Φ-Φ=
{}{}212≤-=>X P X P {}221≤≤--=X P
[])2()2(1---=F F [])5.2()5.0(1-Φ--Φ-= [])
5.0()5.2(1Φ-Φ-=3023.01-=6977.0=
{}{}313≤-=>X P X P )3(1F -=)0(1Φ-=5.01-=5.0=.
(2)
{}{}c X P c X P ≤-=>1，则{}2
1=≤c X P 2
1)2
3()(=-Φ==c c F ，
经查表得
21)0(=
Φ，即02
3=-c ，得3=c ；由概率密度关于x=3对称也容易看出。

(3) {}{}d X P d X P ≤-=>1)(1d F -=9.0)2
3
(1≥-Φ-=d ，
则1.0)23(≤-Φd ，即9.0)2
3-(≥-Φd ，经查表知8997.0)28.1(=Φ，
故28.12
3-≥-d ，即44.0≤d .
14．设随机变量X 服从正态分布),0(2σN ，若1.0}{(=>k X P ，试求}{k X P <． 解：{}
{}k X P k X P ≤-=>1{}k X k P ≤≤--=1)()(1σ
σk
k -
Φ+Φ-=
)(22σ
k
Φ-=1.0=
所以 95.0)(=Φσ
k
，}{95.0)()(=Φ==<σ
k k F k
X p ；由对称性更容易解出.
15．设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，试问：随着σ的增大，概率P {|X – μ | < σ}是如何变化的？
解：),(~2
σμN X 则 {}
}{σ
μσμσμ+<<-=<-X P X P
)()(σμσμ--+=F F )()(
σ
μ
σμσμσμ--Φ--+Φ= )1()1(-Φ-Φ= 0.68261)1(2=-Φ=.
上面结果与σ无关，即无论σ怎样改变，{}
σμ<-X P 都不会改变； 16．已知离散随机变量X 的分布律为
试求2
X Y =与X Z =的分布律． 解：由X 的分布律知
所以 Y 的分布律是
Z 的分布律为
17．设随机变量X 服从正态分布),(2
σμN ，求Y = e X 的概率密度． 解：因为X 服从正态分布),(2
σμN ，所以2
22)(21)(σμσ
π--
=
x X e
x f ，
{}
y e P y F X Y ≤=)(，
当0≤y 时，0)(=y F Y ，则0)(=y f Y 当0>y 时，{
}
{})lny (ln )()(X X
Y F y X P y e
P y Y P y F =≤=≤=≤=
2
2
2)(ln ''
211)(ln 1)](ln [)()(σμσ
π--
==
==y X X Y Y y
y f y y F y F y f e
所以Y 的概率密度为0
e
210
1
)(2
2
2)(ln ≤>⎪⎩⎪
⎨⎧=--
y y y
y f y Y σμσ
π；
18．设X ～U (0，1)，试求Y = 1 – X 的概率密度．
解 因为)1,0(~U X ，
100
1)(<<⎩⎨
⎧=x x f ，
{
}{})1(111)()(y F Y X P y X P y Y P y F X Y --=-≥=≤-=≤= 所以)]1(1[)()('
y F y F y f X Y Y --==
⎩⎨
⎧<<=⎩⎨⎧<-<=-=其他
其他)1(0,1
01,0,1101,y y y f X 19．设X ～U (1，2)，试求X e Y 2=的概率密度． 解：)2,1(~U X ，则其他
210
1)(<<⎩⎨
⎧=x x f
{}{}y e P y Y P y F X Y ≤=≤=2)(
当0≤y 时，{}0)(2=≤=y e P y F X
Y ，
当0>y 时，
)(y F Y )ln 21(ln 21y F y X P X
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧≤=， 其他
其他
4
2''
212ln 21
0021
)
ln 2
1(21)]ln 21([)()(e x e y y y
y f y y F y F y f X Y Y <<⎪⎩⎪⎨⎧=<<
⎪⎩⎪
⎨⎧====
20．设随机变量X 的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨
⎧<<-=其他,011,23)(2
x x x f 试求下列随机变量的概率密度： (1) ;31X Y = (2) ;32X Y -= (3) 23X Y =．
解: (1) {}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=3)(11
⎭⎬⎫⎩⎨⎧
≤
=y X P 31)3
1(y F X = )31(31)]31([)()(''
11y f y F y F y f X Y Y ===
因为其他1
10
23)(2<<-⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f X
所以)31(31)(1y f y f X Y =其他,13
11,01812<<-⎪⎩⎪⎨⎧=y y 其他,3
3,0
1812<<-⎪⎩⎪⎨⎧=y y (2) {}{}{})3(133)(22
y F y X P y X P y Y P y F X Y --=-≥=≤-=≤=，
)3()]3(1[)()(''22y f y F x F y f X X Y Y -=--== 因为其他
1
10
2
3)(2<<-⎪⎩⎪⎨⎧=x x
x f X ，
所以)3()(2y f y f X Y -=⎪⎩⎪⎨⎧<-<--=其他0,131,)3(232y y ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他
0,4
2,)3(23
2y y
（3）{}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=2
3)(3
当0≤y 时，{}0)(2
3
=≤=y X
P y F Y ，0)()('33
==x F y f
Y Y
当0>y 时，{
}
())()(3y F y F y X y P y F X
X
Y --=≤≤-=， ()())]([21
)]([)()('
'33y f y f y
y F y F
x F y f X
X
Y Y -
+=-
-==
所以 ()0
,
0,
)]([21
)(3≤>⎪⎩⎪
⎨⎧-+=y y y f
y f y
y f X
X Y ，
因为其他
1
10
2
3)(2<<-⎪⎩⎪⎨⎧=x x
x f X ，
所以其他,1
0,0
23)(3<<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y f Y
四、应用题
1. 甲地需要与乙地的10个电话用户联系，每一个用户在1分钟内平均占线12秒，并且各个用户是否使用电话是相互独立的．为了在任意时刻使得电话用户在用电话时能够接通的概率为0.99，应至少有多少电话线路？
解：设X 为同时打电话的用户数，由题意知().20,10~
B X 设至少要有k 条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则
99.0!
8
.02.0}{0
1010
=≈=≤∑
∑=-=-k
i i
k
i i
i
i
e i C k X P λλ，其中,2=λ
查表得k=5.
2. 在一个电子仪器系统中，有10块组件独立工作，每个组件经过5小时后仍能正常工作的概率为λ
5-e
，其中λ 是与工艺、系统复杂性有关的因子．若该系统中损坏的组件不超过一
块，则系统仍能正常工作，那么，5小时后系统不能正常工作的概率（λ = 0.08）是多少？ 解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作
这一基本结果的概率为1-4
.0-e
，记X 为10块组件中不能正常工作的个数，则
)1,10(~4.0--e B X ，
5小时后系统不能正常工作，即{}2≥X ，其概率为
{}{}
.
8916.0 )()1()()1(1 1121104.014.0110104.004.0010=----=≤-=≥-----e e C e e C X P X P
3. 测量距离时，产生的随机误差X 服从正态分布N (20，402)，做三次独立测量，求： (1) 至少有一次误差绝对值不超过30m 的概率； (2) 只有一次误差绝对值不超过30m 的概率． 解：因为)40,20(~2
N X ，所以
)30()30(}3030{}30{--=≤≤-=≤F F X P X P
31
49.018944.05187.01)25.1()25.0()40
20
30()402030(
=-+=-Φ+Φ=--Φ--Φ=
设Y 表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则)4931.0,3(~B X ，
(1) 8698.00.5069-1)4931.01(4931.01}0{1}1{3
3
003==--==-=≥C Y P Y P .
(2) 3801.05069.04931.0}1{2
113=⨯==C Y P .
4. 假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而无故障的情况下工作2小时便关机．试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数．
解：当0<y 时，}{y Y ≤是不可能事件，知0)(=y F ，
当20<≤y 时，Y 和X 同分布,服从参数为5的指数分布，知5
5
15
1)(y
y
x
e dx e y F ---==⎰
，
当2≥y 时，}{y Y ≤为必然事件,知1)(=y F ，
因此，Y 的分布函数为
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥<≤<=-2,120e -10
, 0)(5y y y y F y
，；
5. 有甲乙两种颜色和味道都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全挑出来，算是试验成功一次．
(1) 某人随机去挑，问他试验成功的概率是多少？
(2) 某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的还是确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）． 解：(1) 挑选成功的概率70
1
14
8==
C p ； (2) 设10随机挑选成功的次数为X ，则该⎪⎭
⎫ ⎝
⎛70110~，B X ， 设10随机挑选成功三次的概率为：
0.00036)70
1
1()701(
}3{73
10≈-==k C X P ， 以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。

（B ）
1．设随机变量的概率密度为
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它063,92
10,31
)(x x x f
若k 使得3/2}{=≥k X P ，求k 的取值范围．
解：由概率密度可得分布函数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-+<<≤≤<=6
,163),3(923131,3
1
10,31
0,0)(x x x x x x x x F
{}32=
≥k X P 由于，即3
1
)(=k F ，易知31≤≤k ； 2．设随机变量X 服从(-1，2)上的均匀分布，记⎩⎨
⎧<-≥=0
,
10,
1X X Y ，试求Y 的分布律．
解： X 服从）
（2,1-的均匀分布，其他，，2
10
31)(<<-⎪⎩⎪⎨⎧=x x f ，又,,0011<≥⎩⎨⎧-=X X Y ，， 则{
}3
23
1
)(}0{120
2
=
==≥==⎰
x
dx x f X P Y P ， 3
1
}0{-1}0{}1{=≥=<=-=X P X P Y P
所以Y 的分布律为
3．设随机变量X 的概率密度为,)
1(1
)(2
x x f +=
π求随机变量31X Y -=的概率密度)(y f Y ．
解：])1[(1})1({]1[)(3
33y F y X P y X P y F X Y --=-≥=≤-=，
[]{}[][][]
3
233'3)1()1(3)1()1(])1[(1)()(y f y y y f y F y F y f X X Y Y --='---=--='
=
[]
R y y y ∈-+-=,)1(1)1(36
2
π； 4．设X 为连续型随机变量，其概率密度为f X (x )是偶函数，令Y = – X ，证明Y 与X 有相同的概率密度．
证明：因)(x f x 是偶函数，故)()(x f x f x x =-，
}{1}{}{}{)(y X P y X P y X P y Y P y F Y -≤-=-≥=≤-=≤=)
(1y F x --=所以
)()()()('
y f y f y F y f x x Y Y =-==
5．设随机变量X 的概率密度为
⎪⎩⎪
⎨⎧∈=其它
,0]8,1[ ,31
)(32
x x x f F (x )是X 的分布函数．求随机变量Y = F (X )的分布函数． 解：随机变量X 的分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<≤=8 ,181 ,1-1
, 0)(3x x x x x F ，显然]1,0[)(∈x F ，
})({}{)(y X F P y Y P y F Y ≤=≤=，
当0<y 时，})({y X F ≤是不可能事件，知0)(=y F Y ，
当10<≤y 时，y y X P y X P y F Y =+≤=≤-=})1({}1{)(3
3，
当1≥y 时，})({y X F ≤是必然事件，知1)(=y F Y ，
即 ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=1 ,110
,0 , 0)(y y y y y F Y 。

6．设随机变量X 的概率密度为
⎩⎨
⎧≤>=-0
,00
,)(x x e x f x 试求下列随机变量的概率密度： (1) ;121+=X Y
(2) ;2X
e Y =
(3) 2
3X Y =．
（1）}2
1
-{}12{}{)(11y X P y X P y Y P y F Y ≤
=≤+=≤= 当02
1
≤-y 时，即1≤y 时，00}21-{)(21
-1==≤
=⎰-∞dx y X P y F y Y ， 当02
1
>-y 时，即y >1时，2
121
0-1}21-{)(1y
y x Y e dx e y X P y F ---==≤
=⎰，
所以
其他，，11
,021)(211>⎪⎩⎪
⎨⎧≤=-
y y e y f y
Y ；
（2）}{}{)(22y e P y Y P y F X
Y ≤=≤=，
当0≤y 时，}{y e
X
≤为不可能事件，则0}{)(2=≤=y e P y F X Y ，
当10≤<y 时，0ln ≤y ，则{}00ln }{)(ln 2==≤=≤=⎰
∞
-dx y X P y e
P y F y
X
Y ，
当1>y 时，0ln >y ，则{}y
dx e y X P y F y
x Y 1
1ln )(ln 0
2-
==
≤=⎰
-， 根据)()(22y F y f Y Y '=得
⎪⎩⎪
⎨⎧>≤=1,11 ,0)(22y y
y y f Y ； （3）}{}{)(2
33y X P y Y P y F Y ≤=≤=，
当0≤y 时，0}{)(2
3=≤=y X P y F Y ， 当0>y 时，{
}
y
y
x Y e dx e y X y P y X
P y F -
--==≤
≤-=≤=⎰1}{)(0
2
3，
所以 ⎪⎩
⎪⎨⎧>≤=-0,20
,0)(3y y e y y f y
Y ；
7．设随机变量X 服从参数为1/2的指数分布，试证X
e Y 21-=和X
e
Y 221--=都服从区间
(0，1)上的均匀分布．
(1) 证明：由题意知0
,,02)(2≤>⎩⎨⎧=-x x e x f x 。

}{}{21211
y e P y Y P y F e Y X Y x ≤=≤==--）（，， 当0≤y 时，01=）（y F Y 即01
=）（y f Y ， 当10<< y 时，y dx e y X P y e
P y F y x
X
Y ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧
-≥
=≤=⎰∞+---2
ln 2222ln }{)(1， 当1≥y 时，122ln )(021==⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≥=⎰∞+-dx e y X P y F x
Y ，
故有 1
0,
,01)(1<<⎩⎨⎧=y y f Y ，可以看出1Y 服从区间（0，1）均匀分布； （2） }-1{}-1{}{)(2212222y e P y e P y Y P y F e
Y X X Y x
≥=≤=≤==---，
当01≤-y 时，1}-1{)(22=≥=-y e P y F x
Y ，
当110<-<y 时，
y dx e y X P y e P y F y x X
Y ==⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
--≤=≥=⎰----2
)
1ln(0
2222)1ln(}-1{)(2
）（，
当11≥-y 时，002)1ln(}-1{)(2
)
1ln(22==⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
--≤=≥=⎰--∞
--dx y X P y e
P y F y X
Y ，
由以上结果，易知 1
0,,01)(2<<⎩
⎨⎧=y y f Y ，可以看出2Y 服从区间（0，1）均匀分布.。