连续介质力学2016年考试(2017年1月进行)

3.（不限求解方法）各向同性理想弹塑性材料（E=200GPa，v=0.3;屈服应力为500MPa）受单轴拉伸作用，设伸长率从0增加到0.1的变形过程中一直处于均匀变形状态，请完成以下分析和计算：（1）求变形梯度张量随伸长变化的各个分量，然后绘出曲线并进行比较（以加载方向伸长为横轴）；（2）计算右Cauchy-Green张量和左Cauchy-Green变形张量的各分量,并对其变化规律进行讨论；（3）计算其Green应变和对数应变分量，并对其变化规律进行讨论；（4）计算拉格朗日应力张量分量和柯西应力张量分量。
解：
（1）右Cauchy-Green变形张量：
线元dX和dx的长度分别为
式中 是右Cauchy-Green变形张量C的分量，其表达式为
引入 ，这样可以把转动的量滤掉，当物体没有伸长或缩短时， 。
（2）Green应变张量
在连续介质力学中，广泛地使用应变张量来度量物体的变形，当无变形时，应变张量
取零值。Green应变张量 自变量选用 ,定义为
连续介质力学考试试题（开卷）
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（2016年1月）
1. 参照右图图示物体的物质构形、当前构形和几何关系，设物质点 变形前后的几何关系由下式给出：
试根据上式分别给出参照L坐标系和E坐标系的构形物质变形梯度计算公式。
解：设在初始构型中，由一个从X到X’点的微线元dX，该微线元变形后变为在现时构型中的从x到x’的微线元dx，我们有
由线元dX和dx的长度和上式可得
上式也可用作 的定义，显然，当 时， 。
（3）Almansi应变张量
Almansi应变张量 自变量选用 ,定义为
由线元dX和dx的长度和上式可得
上式也可用作 的定义，显然，当 时， 。
（4）Euler变形率wk.baidu.com量
线元变形前后长度平方差的物质导数，得
式中 是Euler变形率张量，即伸长量对时间的变化率。
如果用物质坐标 作自由变量，由运动规律式，得
；
由此推出，在同一瞬时有
称 为物质变形梯度张量F的分量，定义F为
①
称 为空间变形梯度张量F-1的分量，定义F-1为
②
依题意：u=x-X+d，易得
X=x-u+d③
x=X+u-d④
将④式代入①，得
将③式代入②，得
2.当材料变形时，右图物质构形图中有向线段dX变为当前构形图的dx,试从两者长度变化的角度来讨论右Cauchy-Green变形张量、Green应变张量、Almansi应变张量以及Euler变形率张量的含义。