九年级圆与相似、三角函数结合(二)

圆与相似、三角函数结合（二）
1、已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于 A 、B 两点，点 C 为⊙O 上一点。

（1）如图 1，若 AC 为直径，求证：OP ∥BC ； （2）如图 2，若 sin ∠P ＝
13
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，求 tan ∠C 的值。

知识点一 圆与直角三角形斜边中线 【知识梳理】
如图：Rt △ABC 中，∠ABC =90°,以 AB 为直径作⊙O 交 AC 于 D ，基本结论有： （1）DE 切⊙O ⇔ E 是 BC 的中点；
（2）若 DE 切⊙O ，则：①DE=BE=CE ；②D 、O 、B 、E 四点共圆⇒∠CED =2∠A ；
③CD·CA=4BE 2,
BA
BC
BD CD R DE ==
图形特殊化：在（1）的条件下
如图 2：DE∥AB △ABC、△CDE是等腰直角三角形；
如图 3：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：①DE：EF=1:3；②BE：R=1：2
【例题精讲】
例1、如图，AB 是⊙O 的直径，点C为圆上一点，且∠BAC=30°，M 是线段 OA 上一点，过 M 作 AB 的垂线交 AC 于点 N，交 BC 的延长线于点 E，直线 CF 交 EN 于点 F，且∠ECF=∠E。

（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）设⊙O 的半径为 1，且 AC=CE，求EC和MO的长。

【课堂练习】
如图，AB 是半圆 O 的直径，C 为半圆上一点，N 是线段 BC 上一点（不与 B﹑C 重合），过N 作 AB 的垂线交 AB 于 M，交 AC 的延长线于 E，过 C 点作半圆 O 的切线交 EM 于 F。

（1）求证：△ACO∽△NCF；
（2）若 NC∶CF＝3：2，求 sinB 的值。

例2、如图，A 是以 BC 为直径的⊙O 上一点，AD⊥BC 于点 D，过点 B 作⊙O 的切线，与 CA 的延长线相交于点 E，G 是 AD 的中点，连结 CG 并延长与 BE 相交于点 F，延长 AF•与 CB 的延长线相交于点 P。

（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA 是⊙O 的切线；
（3）若 FG=BF，且⊙O 的半径长为32，求 BD 和 FG 的长度。

【课堂练习】
如图 D 为 Rt△ABC 斜边 AB 上一点，以 CD 为直径的圆分别交△ABC 三边于 E，F，G 三点，连接 FE，FG。

（1）求证：∠EFG＝∠B；
（2）若 AC＝2BC＝45，D 为 AE 的中点，求 FG 的长。

知识点二圆与等腰三角形结合
【知识梳理】
如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作⊙O，交 BC 于点 D，交 AC 于点 F，基本结论有：
（1）DE⊥AC DE切⊙O；
（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：①△DFC是等腰三角形；②EF=EC；③D是弧BF的中点。

【例题精讲】
例1、如图，△ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC 、BC 于点 D 、F ，连接 BD 交 OF 于点 E 。

（1）求证：OF ⊥BD ； （2）若 AB=
2
5
，DF=25，求 AD 的长。

【课堂练习】
如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以 AC 为直径的⊙O 与 AB 相交于点 E ，点 F 是 BE 的中点。

（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若 AE ＝14，BC ＝12，求 BF 的长。

例2、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，D 在劣弧 AC 上，∠ABD=45°。

（1）如图 1，BD 交 AC 于 E ，连 CD ，若 AB=BD ，求证：CD=2DE （2）如图2，连接AD 、CD ，已知tan ∠CAD=
5
1
，求sin ∠BDC 。

【课堂练习】
在⊙O 中，AB 为直径，PC 为弦，且 PA ＝PC 。

（1）如图 1，求证：OP ∥BC ；
（2）如图 2，DE 切⊙O 于点 C ，DE ∥AB ，求 tan ∠A 的值。

知识点三 圆与直角梯形结合 【知识梳理】
以直角梯形ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ， 基本结论有：
（1）如图1：①AD+BC ＝CD ； ②∠COD=∠AEB=90°； ③OD 平分∠ADC （或OC 平分∠BCD ）；（注：在①、②、③及④“CD 是⊙O 的切线”四个论断中，知一推三）
④AD ·BC ＝
AB 4
1
2=R 2； （2）如图2，连AE 、CO ，则有：CO ∥AE ，CO •AE=2R 2
(与基本图形2重合) （3）如图3，若EF ⊥AB 于F ，交AC 于G ，则：EG=FG.
【例题精讲】
例1、直角梯形ABCD 中，∠BCD=90°，AB=AD+BC ，AB 为直径的圆交BC 于E ，连OC 、BD 交于F. （1）求证：CD 为⊙O 的切线 （2）若
53 AB BE ，求
DF
BF
的值
【课堂练习】
图1
O E D C B A 图2F A B C D E O 图3G F
A B C D E O
（1）如图 1，点 D 在半圆 BC 上时 ，求证 ：BD+CD=2AD ；
（ 2）如图 2，点 D 在劣弧 AB 上时 ，直接写出 BD 、 CD 、 AD 间的数量关系_____________；
2、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧 AB 上两点，AB ＝13，AC ＝5。

（1）如图（1），若点 P 是弧 AB 的中点，求 PB 的长； （2）如图（2），过点 P 作 PD ⊥BC 于点 E ，交 AB 于点 D ，若
4
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EP DE ，求 PC 的长。

1、如图，在平行四边形 ABCD 中，AB ⊥AC ，以点 A 为圆心，AB 为半径的圆交 BC 于点 E 。

（1）求证：DE 为⊙A 的切线；
（2）如果 BE=4，CE=2，求 DE 的值。

2、如图，已知以 Rt △ABC 的斜边 AB 为直径作△ABC 的外接圆⊙O ，∠ABC 的平分线 BE 交AC 于 D ，交⊙O 于 E ，过 E 作 EF ∥AC 交 BA 的延长线于 F 。

（1）求证：EF 是⊙O 切线； （1）若 EF=8，tan ∠AEF=
2
1
，求 CD 的长。

3、如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，以 AB 的中点 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AC 于点 D ，E 是 BC 的中点，连接 DE ，OE 。

（1）判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
1
（2）若 cos ∠BAD=53，BE=3
14，求 OE 的长。

4、如图 1，△ABC 中，CA=CB ，点 O 在高 CH 上，OD ⊥CA 于点 D ，以 O 为圆心，OD 为半径作⊙O ，若 AC=5，AB=6。

（1）若 O 为 CH 的中点，⊙O 与 OH 相交于点 E ，连接 AE 、BE ，求△ABE 的面积；
（2）如图 2，若⊙O 过点 H ，且连接 DH ，求 tan ∠AHD 的值。