对流扩散方程有限差分方法

对流扩散方程有限差分方法

对流扩散方程有限差分方法

求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隐式差分格式。

3.1中心差分格式

时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了流扩散方程的显示格式。

处进行Taylor展开: 1)

式的中心差分格式[6]

n 1 n U j U j

n n

U j 1 U j 1 a

2h

n

U j 1

v

n n

2U j U j 1

h2

(3)

若令a h，

n 1 U j

n

U j

Vp，则

h

1 / n

2(U 1

(3)式可改写为

n n

U j 1) (U j 1

2u：n \

U j 1)

(4)

从上式我们看到, 在新的时间层n 1上只包含了一个未知量n

U j

1，它可以由时间层n上的值U；1，U j n，U；1直接计算出来。因此, 中心差分格式是求解对

假定u(x,t)是定解问题的充分光滑的解，将n 1

U j n

U j

U； 1 分别在(X j,t n)

n

U

j

U(X j,t n 1) U(X j,t n) 0( 2)

n

U j 1

U(X j 1,t n) U(X j,t n)

n

U j 1 U(X j 1,t n) U(X j,t n) U n h2 2 U n X j 2 2 X j

U n h2

2

U n

X

j

2 2 X j

代入⑷式，有

T (X j,t n)

n 1

U

j

n

U

j

n n

U j 1 U j 1 a

2h

2U n

h2

n

0()

n

2

a 0(h )

2

U

2

X

n

2

v 0(h )

j

h

h

n

U j 1

0(h3)

0(h3)

n

U j 1

v ---

2

0( h )

显然，当

0, h 0时，T （X j ,t n ） 0，即中心差分格式与定解问题是

相容的。由以上的讨论也可得知，对流扩散方程的中心差分格式的截断误差为

2

O( h )。

对于我们上面构造的差分格式，是否可以直接用于实际计算呢？也就是 说，如果初始

值有误差，在计算过程中误差会不会扩大传播呢？这就是接下来 我们要讨论的是差分方程的稳定性问题。 下面用Fourier 方法来分析中心差分格

式的稳定性。

上式可以改写为

由此得到差分格式（3）的稳定性限制为

n n 2

n

u

u u

a —— v — t j

x

j x

.

2

0( ) (a v) O(h )

令u ；

v n e ikjh ，代入到（

4): 式

n 1 ikjh

v e

v n e ikjh

1

(v n e ik(j 2

1)h

n ik( j 1)h\

v e

)

(v n e

ik(j 1)h

整理得

n 1

一 _

v [1 2

(1 cos kh) i

sin kh]v n

所以该差分格式的增长因子为：

G( ,k) 1 2 (1 coskh) i sin kh

2v n e ikjh v n e ik(j

1)h

)

1 (1 由于 1 coskh 0，

(1 coskh) coskh)[4

所以G （ ,k) 1 (1 4 2(1 coskh)2 2 4 (1 coskh) （即差分格式稳定） 2

coskh) (1 coskh) 0

2

(sin kh)2

2

2

(1 coskh)]

的充分条件为

(2 2

2)—^ 4 2 2 0

1

注意到』

coskh ）

[0,1]，所以上面不等式满足的条件为

(2 2

8

2

) 4 2 2

0， 4 2 2

0。

其模的平方为

G( ,k)

[1 2 (1 coskh)]2

2

(sin kh)2

2v

1

2

， V

N

a

h 2

故有结论：对流扩散方程的中心差分格式是条件稳定的。 根据Lax 等价定理,

我们可以知道，对流扩散方程的中心差分格式是条件收敛的。

3.2 Samarskii 格式

设a>0，先对方程（1）作扰动，得到另一个对流扩散方程 ⑺

2

u v 2 X

的解

用Taylor 级数展开有

再令

用Taylor 级数展开有

2

U n

2

V( 2)j O(h ) X

u(X j ,t n

) a U(X j 」n ) h

(

1 1 八 U(X j 1,t n ) 2U(X j ,t n ) U(X j 1,t n ) 1)v

R h 2

(5)

其中R

对于 n

U j

1

— ha ，当 2v （5）式，构造迎风格式

1 n

U j

h 0时, (5) 式化为（1）式

n

小 n

n

1 U j 1 2U j U j 1

v — 1 R h 2

差分格式（6）称为逼近对流扩散方程的 Samarskii 格式。

首先推导（6）的截断误差。设U （x,t ）是对流扩散方程（1）式的充分光滑

n n U j U j 1 a (6)

T j n

U(X j ,t n 1) U(X j ,t n ) U(X j ,t n ) U(X j 1 ,

t n )

1 U(X j 1,t n ) 2u(X j ,t n ) U V 1 R

(X j 1九) h 2

n U

(X j ,t n1)U (X j ,t n )

j

U(X j i ，t n )

2u(X j ,t n ) U(X j i ，t n )

h 2

2

(U 、n

)

O( h 2)

ah 2

u

）n