对流扩散方程有限差分方法

对流扩散方程有限差分方法
对流扩散方程有限差分方法
求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隐式差分格式。

3.1中心差分格式
时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了流扩散方程的显示格式。

处进行Taylor展开: 1)
式的中心差分格式[6]
n 1 n U j U j
n n
U j 1 U j 1 a
2h
n
U j 1
v
n n
2U j U j 1
h2
(3)
若令a h，
n 1 U j
n
U j
Vp，则
h
1 / n
2(U 1
(3)式可改写为
n n
U j 1) (U j 1
2u：n \
U j 1)
(4)
从上式我们看到, 在新的时间层n 1上只包含了一个未知量n
U j
1，它可以由时间层n上的值U；1，U j n，U；1直接计算出来。

因此, 中心差分格式是求解对
假定u(x,t)是定解问题的充分光滑的解，将n 1
U j n
U j
U； 1 分别在(X j,t n)
n
U
j
U(X j,t n 1) U(X j,t n) 0( 2)
n
U j 1
U(X j 1,t n) U(X j,t n)
n
U j 1 U(X j 1,t n) U(X j,t n) U n h2 2 U n X j 2 2 X j
U n h2
2
U n
X
j
2 2 X j
代入⑷式，有
T (X j,t n)
n 1
U
j
n
U
j
n n
U j 1 U j 1 a
2h
2U n
h2
n
0()
n
2
a 0(h )
2
U
2
X
n
2
v 0(h )
j
h
h
n
U j 1
0(h3)
0(h3)
n
U j 1
v ---
2
0( h )
显然，当
0, h 0时，T （X j ,t n ） 0，即中心差分格式与定解问题是
相容的。

由以上的讨论也可得知，对流扩散方程的中心差分格式的截断误差为
2
O( h )。

对于我们上面构造的差分格式，是否可以直接用于实际计算呢？也就是 说，如果初始
值有误差，在计算过程中误差会不会扩大传播呢？这就是接下来 我们要讨论的是差分方程的稳定性问题。

下面用Fourier 方法来分析中心差分格
式的稳定性。

上式可以改写为
由此得到差分格式（3）的稳定性限制为
n n 2
n
u
u u
a —— v — t j
x
j x
.
2
0( ) (a v) O(h )
令u ；
v n e ikjh ，代入到（
4): 式
n 1 ikjh
v e
v n e ikjh
1
(v n e ik(j 2
1)h
n ik( j 1)h\
v e
)
(v n e
ik(j 1)h
整理得
n 1
一 _
v [1 2
(1 cos kh) i
sin kh]v n
所以该差分格式的增长因子为：
G( ,k) 1 2 (1 coskh) i sin kh
2v n e ikjh v n e ik(j
1)h
)
1 (1 由于 1 coskh 0，
(1 coskh) coskh)[4
所以G （ ,k) 1 (1 4 2(1 coskh)2 2 4 (1 coskh) （即差分格式稳定） 2
coskh) (1 coskh) 0
2
(sin kh)2
2
2
(1 coskh)]
的充分条件为
(2 2
2)—^ 4 2 2 0
1
注意到』
coskh ）
[0,1]，所以上面不等式满足的条件为
(2 2
8
2
) 4 2 2
0， 4 2 2
0。

其模的平方为
G( ,k)
[1 2 (1 coskh)]2
2
(sin kh)2
2v
1
2
， V
N
a
h 2
故有结论：对流扩散方程的中心差分格式是条件稳定的。

根据Lax 等价定理,
我们可以知道，对流扩散方程的中心差分格式是条件收敛的。

3.2 Samarskii 格式
设a>0，先对方程（1）作扰动，得到另一个对流扩散方程 ⑺
2
u v 2 X
的解
用Taylor 级数展开有
再令
用Taylor 级数展开有
2
U n
2
V( 2)j O(h ) X
u(X j ,t n
) a U(X j 」n ) h
(
1 1 八 U(X j 1,t n ) 2U(X j ,t n ) U(X j 1,t n ) 1)v
R h 2
(5)
其中R
对于 n
U j
1
— ha ，当 2v （5）式，构造迎风格式
1 n
U j
h 0时, (5) 式化为（1）式
n
小 n
n
1 U j 1 2U j U j 1
v — 1 R h 2
差分格式（6）称为逼近对流扩散方程的 Samarskii 格式。

首先推导（6）的截断误差。

设U （x,t ）是对流扩散方程（1）式的充分光滑
n n U j U j 1 a (6)
T j n
U(X j ,t n 1) U(X j ,t n ) U(X j ,t n ) U(X j 1 ,
t n )
1 U(X j 1,t n ) 2u(X j ,t n ) U V 1 R
(X j 1九) h 2
n U
(X j ,t n1)U (X j ,t n )
j
U(X j i ，t n )
2u(X j ,t n ) U(X j i ，t n )
h 2
2
(U 、n
)
O( h 2)
ah 2
u
）n
2
u、n Rv( 2)j X
2 厂O(h2)
由于 所以 a 』)n x
R 2
V~R
h 2 ha 2v )
h 2a 2 4v 2
(1
T j n
2
U
、n
2
—)j O(h ) x
a(—n O(h 2)
x
0(
h 2
)
2
2
2vha) O(h)
a (与
x
2
/ U
、
n
V( 2) j
x
O( h 2)
h 0 时，T j n
0，所以 Samarskii 格式与定解问题是相容的, 并且其截断误差为0( h 2) 现在看看Samarskii 格式的稳定性。

将 (6)式两边同时加上 2h (un 1 2un
u n i )，把(6)式化为 n 1 U j n n n U j U j 1 U j 1
a 2h n — n n ah 、U j 1 2U j U j 1 )
~2 2 h 令v 亠辿，则上式即为： 1 R 2
n 1 n
n U j U j U j 1
------- a -----
n U j 1
2h 根据中心显示格式稳定性的讨论，可以得到
1 h 2
2
2v
~2
a
v(—^― 1 R a
稳定性的第二个条件等价于
砂)一
2)h 2 v ah ) 1 R 2)
2v h a 2(1 R) a
n n n
U j 1 2U j U j 1
P
式的稳定性条件为
6)
2v
a (1 R) a 利用不等式
所以
a2(1 R)
2v
1
ah(1 R)
2v
(
ah(1 R))2
1 R hJ(2v
~~[ ah(1 R) __
2v
2v
2v
(ah(1 R))2
2v
1 ah(1 R)
2v ah(1 R)
2v
2v
a2(1 R) 利用稳定性的第一个条件, 2v
1
存1ah(1 R)) 2怙茁
2v
第二个条件可由第一个条件推出,
ah
由Lax等价定理可知,
2v h
77
a (1 R) a
1
-1,从而可知稳定性条件的
2
因此差分格式的稳定性条件为
ah)
2v) h2
1 ah/2v
1
h2 2
Samarskii格式也是条件收敛的。

3.3 Crank-Nicolson型隐式差分格式
前面讨论了求解对流扩散方程的两种显示格式，它们都是条件稳定的，为
现在考虑Crank-Nicolson型隐了放松稳定性条件, 可以采用隐式格式进行求解
式差分格式[8
]
n 1 U j
n
U j
n n
a u j 1 U j 1
2( 2h
n
U j
n 1
U j 1
2h ) n n n n 1
v Uj 1 2U j U j 1 U j 1 2(
h2h2
(7)
洽，则(7)式可化为
4( 1
n
)U j
n 1
)U j 1
(2 )u；1 4(1 n
)U j
(8)
4(1
2
) 4(1
2
)
(2
2
)
4(1 (
2 ) )4 2
(1
n 1
U
j 2
\
n 1
)U j 1
n
U 2
n
2
4(1
)
2
n
U
J 2
2
4(1
)
n
U j 1
(
2 )(u ：
U 1)
+
(9)
(
2 )(u
：
1
n 、
U j )
4(1 ) 2
( 2 )
4(1 )
2
设
A
(
2 )
4(1 ) 2
(
2 ) 4(1
)
4(1 )
2
2
4(1 )
2
B
2
4(1 )
2
2
4(1
)
n
U 2
(
2 )(U? 1
u?)
n
U 3
U n
F
则有
n
U j 2
n
U j 1
(
2 )(U
：
1
n
U j )
AU n 1
BU
n
F
下面讨论Crank-Nicolson 型格式的截断误差和精度。

该格式涉及到时间层
n
n U 3
1
和时间层n 1上的X j 1 , X j , X j 1处六个点。

设u(x,t)是定解问题的充分光滑的
把(8)式用矩阵的形式
4(1 ) 2 (2 ) 4(1
)
2 n 1 U 2
u n i 分别在点（X j ,t n i/2）处进行Taylor 展开[9]
2 2
O( h )
显然，Crank-Nicolson 型格式的精度是二阶的。

再来看看该格式的稳定性情况, 我们还是用
Fourier 方法来分析。

人 n n ikjh 八、十,
「、
令u j v e j
，代入到（8）式
(2 )v n 1e
ik(j 1)h
4(1
)v n 1e
ikjh
(
2 )v n 1e
ik(j 1)h
(
2 )v n e
ik(j 1)h
n ikjh
4(1
)v e
(
2 )v n e ik(j
1)h
整理得
[4(1 )4 cos kh i 2 sin kh]v n 1
[4(1 )4 cos kh i 2 sin kh]v
所以Crank-Nicolson 型格式的增长因子是
cos kh) i —sinkh
2
解，把⑺式中各U ；的值用U （X j ,t n ）代替，然后将u ；1 ,
U j ，
n 1
n
u
j 1
, u
j 1 , U j ，
n 1 n
U j U j Tn
3
斗);
n 1 n 1
u . 1 u . 1
2h
(丄)n 1
X h2
(
3
u n 1 —)
j X
u n
(—)j
X
2 u
n
[)j
3
u n
R j
3
1 II n _ —)，
2
3 J
n n
u 1 u j 1
2h
u n
(—)j X
2
U n
Xt )j
3
1
u n _ u
_).
2 2丿j
h 2 6(
3
u n ~) j X
n
u j
1 2u ； n 1
U j 1
2
u
n
(T J
X
3 u
~2
X
2
T (
n
)
hj 12
1 n (f j 2
X
4
u n n u . 1 2u .
这里出现的u
n
U j 1 2
8（一 的各阶偏导数假设都是存在而且连续
的。

x 2)j n 2
)j 2 n
t 2)
j
于是
7） 4
1
u
n
-
_u ) 2
4 )
j
T j n
2
( 24
ah 2
( 6 ( 3
1 ii n
-
—).2
3 j
X
4
u 2 .2 X t
n
)j
.2
4 叫一 12
n
)
j
G( ,k)
(1
cos kh) i — sinkh
2
(1 coskh)2 (—si nkh)2
G(,k)2
------------------- 2
-------
(1 coskh)2 (—si nkh)
2
取 a 1， v 0.001， h 0.1，T max
1，此时上面给出的就是一个对流占
是怎样的呢？现在我们就来看看这个问题。

首先，根
据差分格式的稳定性条件，确定
(1) 中心差分格式：根据稳定性条件
其模的平方
改写上式
由于1 coskh G( ,k)2
1
-----
(1
0及上式的分母为正，故
4 (1 coskh) coskh)2
( sin kh)2
2
2
G( ,k) 1 0
2
即G( ,k) 1,从而得出Crank-Nicolson 型格式是无条件稳定的
根据Lax 等
价定理，Crank-Nicolson 型格式也是无条件收敛的
4、数值例子
给出如下对流扩散方程的初边值问题
[10]
2
u u u a v 2 t
x x 2
x [0,1]
u(0,t) e (a v)t
,u(1,t)
e
1 (a v)t
t 0
u(x,0) e
x x [0,1]
所讨论的对流扩散方程的精确解为 x (a v)t u(x,t) e 」 x [0,1]
4.1三种差分格式的比较
在各种对流扩散问题中，有许多对流相对于扩散来说在问题中起主导作用 对流占有扩散问题的数值求解面临很多困难。

因此，对流占有扩散问题的有效 数值解法一直是计算数学中重要的研究内容
[11]。

分格式稳定， 的取值必须满足: 0.002
的取值范围。

企，-可知，要使中心差
a 2 h 2 2
(2)Samarskii格式：根据稳定性条件ah v2-可
知，的
2 1 ah/2v h2 2
取值必须满足：0.099
(3)Crank-Nicolson格式：该差分格式是无条件稳定的，所以可以取任意值。

要使三种差分格式都是稳定的，不妨取0.002。

首先，我们通过表格看看三种差分格式的数值解与准确解之间的相对误差。

表4.1 t 0.2时三种差分格式结果的比较
中心差分Samarski Cran k-Nic 准
x 格式i格
式olson格式确
数误差数误数值误差解
值值差解
解解
0 1.2 0 1.2 0 1.21 0 1.2
192 192 92 192 0 1.1 -0.0 1.1 0.0 1.10 0.00 1.1 ■009 076 34 032 1 023 044 02
0 0.9
-0.0 1.0
0.0
0.99
0.00
0.9
■950 032
051 069 85 03 982 2
0 0.8 -0.0 0.9 0.0 0.90 0.00 0.9 ■999 033 110 078
35 03 032
0 0.8 -0.0 0.8 0.0 0.81 0.00 0.8
250 077 75 02 173 ■142 031
4
0 0.7 -0.0 0.7 0.0 0.73 0.00 0.7
467 072 97 02 395 ■367 028
5
0 0.6 -0.0 0.6 0.0 0.66 0.00 0.6
757 066 93 02 691 ■666 025
6
0 0.6 -0.0 0.6 0.0 0.60 0.00 0.6
114 06 56 02 054 ■031 023
7
0 0.5 -0.0 0.5 0.0 0.54 0.00 0.5
532 054 80 02 478 ■459 019
8
0 0.4 -0.0 0.5 0.0 0.49 0.00 0.4
59 02 957 ■931 026 006 049
9
1 0.4 0.4 0.44 0.4
485 0 485 0 85 0 485 ■
表4.2 t 0.4时三种差分格式
结果的比较
中心差分 Samarsk Crank-Nic 准
x 格式ii格式olson格式确数误差数误数值误差解
值值差解
解解
0 1.4 0 1.4 0 1.48 0 1.4
894 894 94 894 0 1.3 -0.0 1.3 0.0 1.34 0.00 1.3 ■450 537 79 477 1 027 06 02
0 1.2
-0.0 1.2
0.0
1.21
0.00
1.2
■144 050
301 107 99 05 194 2
0 1.0 -0.0 1.1 0.0 1.10 0.00 1.1 ■969 065
171 137 40 06 034 3
0 0.9 -0.0 1.0 0.0 0.99 0.00 0.9 ■915 069
137 153 90 06 984 4
0 0.8 -0.0 0.9 0.0 0.90 0.00 0.9 ■
966 068 191 157 40 06 034
0.8 -0.0 0.8 0.0 0.81 0.00 0.8
115 059 327 153 79 05
174
0.7 -0.0 0.7 0.0 0.74 0.00 0.7 333 063 539 143 02 06 396 0.6 -0.0 0.6 0.0 0.66 0.00 0.6 656 036 824 132 96 04 692 0.5 -0.0 0.6 0.0 0.60 0.00 0.6 982
074
176
12
62
06
056 0.5
0.5
0.54
0.5
479 0 479 0 79 0
479
表4.3 t 0.6时三种差分格
式的结果比较
5 0 ■
6 0
■
7 0
■
8 0
■
9 1
■
中心差分 x 格式
Samars kii 格式
Cran k-Ni 准 cols on 格确
式解
数误数误数值误
值差值差解差
解解
0 1.8 1.8 1.81 1.8
0 0 0
196 196 96 196 0. 1.6 -0. 1.6 1.64 1.6
0.0 0.0
1 433 003 538 67 464
1 074 003
0. 1.4 -0. 1.5 1.49 1.4
0.0 0.0
2 839 005 032 02 897
135 005
8
0. 1.3 -0. 1.3 1.34 1.3
0.0 0.0
3 397 008 660 87 480
18 007
3
0. 1.2 -0. 1.2 1.22 1.2
0.0 0.0
4 100 009 410 0
5 197
213 008
7
0. 1.0 -0. 1.1 1.10 1.1
0.0 0.0
5 923 011 269 4
6 036
233 01
3
0. 0.9 -0. 1.0 0.0 0.99 0.0 0.9
4
-0. 0.9
---------- 0.0 012 274
238 5
-0. 0.8
0.0 005 404
228 5
-0. 0.7
0.0 014 612
214 1
0.6
0 0
694
0.90
0.0 0.9
47 036
0.81 011
0.8
81 0.0 176
005
0.74 0.7
0.0
10 398
012
0.66 0.6
94 694
6
0. 7
0. 8
0. 9
1. 0 0.8 911
0.8 121
0.7 257
0.6 694
表4.4 t 0.8时三种差分格式结果的比较
中心差分Samars Crank-Ni 准
x格式kii 格式cols on
格确
式解数误差数误数值误
值值差解差
解解
0 2.2 0 2.2 0 2.22 0 2.2
229 229 29 229
0 2.0 -0.0 2.0 0.0 2.01 0.0
■073 204 17
1
04 091 004 0 1.8 -0.0 1.8 0.0 1.82 0.0 ■132 067
364 165 05 006 2
0 1.6 -0.0 1.6 0.0 1.64 0.0 ■366 101
691 224 76 009
3
0 1.4 -0.0 1.5 0.0 1.49 0.0 ■794 106
169 269 09 009
4
0 1.3 -0.0 1.3 0.0 1.34 0.0 ■325 157
784 302 96 014
5
0 1.2 -0.0 1.2 0.0 1.22 0.0 ■087 112
521 322 09 01
6
0 1.0 -0.0 1.1 0.0 1.10 0.0 ■839 199
370 332 56 018
7
0 0.9 -0.0 1.0 0.0 0.99 0.0 2.0 113
1.8 199
1.6 467
1.4 900
1.3 482
1.2 199
1.1 038
0.9
915 073
318 33 94 006 988
°.8 -0.0 O'9
809 358 229
0.8 0.8 177
177 0.90 0.9
n n 0.0 019
32 57
038
0.81
0.8
77 0 177
接下来，我们看看这三种差分格式在不同时间 t 的图形。

t=0.2
1.3
1纠
1.1 .
1 r
0.9 .
0.8 .
0.7 b
0.6 .
0.5 b
0.4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
+
中心格式
Samarskii 格式
.. Crank-Nicolson 格式
准确解
1.4
1.3
* 中心格式
Samarskii 格式 Crank-Nicolson
格式 准确解
■
1.2
一
-
1.1
▼
r
1
£
X.
-
0.9
-
-
*
0.8
-
■
*
0.7
*
0.6
4 =-
0.5 1
1
1
r
■ ■■r
t=0.4
1.5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8 0.9 1
图4.1 t 0.2时三种差分格式结果的比较 图4.2
t 0.4
时三种差分格式结果的比较
图4.3 t 0.6时三种差分格式结果的比较 图
4.4 t 0.8时三种差分格式结果的比较
4.2结果分析
由表格中的数据以及图示可以看出，对于对流扩散方程的数值求解，三种 差分格式的稳
定性都比较好，其中以 Crank-Nicolson 格式的效果最好。

5.小结
对流扩散问题的数值求解一直是许多计算工作者比较重视的一类问题。

本 文分析了对流扩散方程的中心差分格式、 Samarskii 格式以及Crank-Nicolson 格
式。

中心差分格式和Samarskii 格式是显式格式，所以很适合于并行计算，但由 于稳定性条件的限制，必须采用非常小的时间步长来计算。

Crank-Nicolson 格式
是隐式格式，它是无条件稳定的，但在每一时间层上要求解线性方程组，实现 并行计算有一定
困难。

中心差分格式的优点是简单易算，但由于截断误差为
0( h 2
)，又仅当
金，V-y -时才稳定和收敛，所以想要算得略为精确一点，就要缩小 。

a h 2
并且注意到 最大为vp ，若h 缩小一半，
就要缩小为四分之一，这将大大增
h 加工作量。

Samarskii 格式的截断误差也为O(
h 2)，稳定性条件相对于中心差分格式
有所放松，为乎 七盘 卞2，但计算量稍多于中心差分格式
Crank-Nicolson 格式的截断误差为O( 2 h 2)，它关于时间以及空间均为二
阶精度，但该格式形成的系数矩阵不一定满足对角占优条件，且计算量大。

鉴于本人的理论水
平有限，论文中有些地方还需要加以完善。

对于对流扩
1.8
1.6
1.4 1.2
中心格式
中心格式~
Samarskii 格式
2.4
Samarskii 格式 Crank-Nicolson 格式
Crank-Nicolson 格式
准确解 2.2, E.
准确解
■
2
k *
r
1.8
u * .
-
1.6
| 单
*
1.4
* '
*
1.2
r *■ r
・
r ■
・ ；・ ・ ・
0.8
■
・
■
a
■
2.6
散方程的差分格式，在以后的理论发展中，还会提出一些具有更好性质的差分方法，使对流扩散方程的差分方法得到更加完善的补充。