随机信号分析 第4章随机信号功率谱密度(1)

e



| |

2
2 w2
例2.已知随机过程的自相关 函数为 1 R( ) (1 cos w0 )，求其功率谱密度。 2
1 解：G ( w) (1 cos w0 )e jw d 2 1 ( w) [e jw0 e jw0 ]e jw d 4 ( w)
练习二:
S X ( w)
w2 4 w4 10w2 9
w 4 10w 2 9 3 2 5 23 2 2 16 w 1 48 w 32
S X ( w)
w2 4
3 | | 5 3| | RX ( ) e e 16 48
0

1

0
G( w) cos w dw

下面简单给出只有正频率的单边功率谱密度FX(w) 和双边功率谱密度GX(w) 的关系。
G X ( w) 2 RX ( ) cos(w )d 0 1 R ( ) GX (w) cos(w )dw X 0
-1
1
w 2 sin ( ) 1 2 2 (1 ) cos w d 0 w ( )2 2
2
例1：已知随机电报信号的 自相关函数 1 1 2 | | R( ) (1 e )；求其功率谱密度。 4 4
1 1 2 | | jw 解：G ( w) (1 e )e d 4 4 1 2 | | jw ( w) e e d 2 16 1 ( w) 2 4 42 w2

G X ( w)

R
X
( )e
jw
d

表征的是功率谱密度和自 相关函数之间是傅立叶变 换关系.
1 RX ( ) 2


G X ( w)e jw dw
由于平稳随机过程的自相关函数是偶函数， G X (w)也是偶函数。所以上式可写成： G X (w)=2 R X ( ) cos w d ; R X ( )=
它称为样本函数的功率谱密度 1 记为G X(w, )= lim | X T ( w, ) |2 T 2T
w lim 1 2

1 1 2T 2 1


| X
T
( w, e) | 2 dw

[lim 2T
T
| X T ( w, e) | 2 ]dw

如果我们对所有样本的平均功率W取统计平均,就得到随机过程的 功率谱密度
W E[W ] lim lim 1 T 2T

T
T
E[| x(t , ) |2 ]dt
1 T 2 T E[| X (t ) | ]dt T 2T 1 1 1 Tlim 2T E[| X T (w, ) |]dw 2 2


G
X
FX ( w) 4 RX ( ) cos(w )d 0 1 R ( ) FX (w) cos(w )dw X 2 0
2GX ( w), w 0 式中FX ( w) 0, w 0
1 例4.2.若随机过程X(t) 的自相关函数为R X( )= cos w0 , 2 求功率谱密度。



1 s (t )dt 2
2


2

| s ( w) | dw

信号频谱密度存在的条件是它具有有限的能量.随机 信号的能量一般是无限的,但只要注意到它的平均功率是 有限的,我们就可以利用傅立叶变换这一工具.
1 W lim T 2T


T
T
| x(t ) | dt
e jw e jw cos w 2 e jw e jw sin w 2j
1-||，|| 1 例4.3.若随机过程X(t) 的自相关函数为R X( )= 0，||>1 求功率谱密度。
解：G X (w)= （ -||） jw d 1 e
因不是平稳过程，做一次时间平均， 1 T 1 T a2 a2 a2 W= lim E[X 2 (t)]dt lim [ sin(2w0t )] dt= T 2T -T T 2T -T 2 2
4.2功率谱密度与自相关函数的关系:
---------------维纳-辛钦定理
第4章随机信号的功率谱密度
4.1功率谱密度
如果一个确知信号是s(t),满足狄氏条件，且绝对可积，即满足



| s(t ) | dt 或等价条件 | s(t ) |2 dt (1)


则s(t)的傅氏变换存在，或者具有频谱
S （w）= s(t)e-jwtdt
- +
若以s(t)代表电流或电压，式(1)表明，要求s(t)总能量必须有限。S(w)一 般是个复函数，在S(w)和s(t)之间一般满足怕赛瓦尔定理：
( w)dw
由此可见,随机过程的平均功率可以由其均方值的时间平均得到，也 可以由它的功率谱密度在整个频域上的积分.
如果x(t)为平稳过程,均方值必为常数,则
1 W E[ X (t )] RX (0) 2
2

G
X
(w)dw
例4.1：随机过程 (t ) a cos(w0t ), 式中a, w0为常数， X

xT (t )e

jwt
dt xT (t )e jwt dt
T
T


X T ( w)e jwt dw
1 将式xT (t ) X T ( w)e jwt dw代入到 2 2 1 T W lim | x(t ) | dt 中得： T 2T T
2

首先考虑随机过程的一个样本函数x (t),并截取-T到T的 一段,记为xT(t) x(t ), | t | T xT (t ) 0, | t | T 由于截取的样本函数xT(t)满足频谱密度存在的条件,它的 傅里叶变换是存在的.
X T ( w) 1 xT (t ) 2
2
1 解：R( ) 2 1 2
w2 2 e jw dw w4 3w2 2
2 | |

1 1 jw w2 2 e dw 2 2 e 1 平均功率w R(0) 2 2
e jw0 2 ( w w0 ) sin(w0 t ) j [ ( w w0 ) ( w w0 )] cos(w0 t ) [ ( w w0 ) ( w w0 )]



2
[ ( w w0 ) ( w w0 )]
1 wk.baidu.com ( w)
4.3功率谱密度的性质
性质 : GX (w)是非负的， X (w) 0. 1 G
性质2：G X (w)是实函数。因为|XT (w)2|是实函数 所以它的数学期望必为实的。
性质3 : GX (w)是偶函数： X (w) GX (w)。 G
W lim 1 T | xT (t , ) |2 dt T 2T T 1 T 1 lim xT (t , )[ X T ( w, )e jwt dw]dt T 2T T 2 T 1 T 1 lim X T ( w, )[ xT (t , )e jwt dt]dw T 2T T 2 T 1 lim T 2T 1 1 | X T ( w, ) |2 ]dw 2 2

1 | X T ( w, ) |2 ]dw T 2T lim

所谓信号的功率谱密度指这样的频率函数： 1.当在整个频率范围内对它进行积分以后，就给 出了信号的总功率 2.它描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况
1 lim | X T ( w, ) |2 正具备了上述特性 T 2T
性质4：GX' (w)=w2GX (w)
性质5：有理谱密度是实际应用中最常见的一类功率谱密度， 自然界和工程实际应用中的有色噪声常常可用有理函数形式 的功率谱密度来逼近。
例4.5已知平稳随机过程 (t )的功率谱密度为 X w 1 S ( w) 4 ， 2 w 3w 2 求自相关函数 X ( )和平均功率W。 R
为在(0， )内均匀分布的随机变量 X (t )的平均功率W。 2 ，求
解：E[ X 2 (t )] E[a 2 cos 2( w0t )] a2 a2 E[ cos(2 w0t 2 )] 2 2 a2 a2 2 2 cos(2 w0t 2 )d 2 2 0 a2 a2 sin(2 w0t ) 2
1 解：G X ( w) cos w0 * e jw d 2 1 (e jw0 e jw0 )e jw d 4 1 (e j ( w w0 ) d e j ( w w0 ) )d 4



2
[ ( w w0 ) ( w w0 )]