高中数学专题系列--三角函数讲义

】

§1.1.1、任意角

1、 正角、负角、零角、象限角的概念.

2、 与角α终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+=,2παββ.

§1.1.2、弧度制

1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

2、 r

l =

α. 3、弧长公式：R R n l απ==180. 4、扇形面积公式：lR R n S 2

1

3602==π. §1.2.1、任意角的三角函数

1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：x

y

x y =

==αααtan ,cos ,

sin —

2、 设点(),A x y

为角α终边上任意一点，那么：

（设r =

sin y r α=

，cos x r α=，tan y x α=，cot x

y

α=

3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT

—

5、 特殊角0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.

"

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式

1、 平方关系：1cos sin 2

2=+αα 2、 商数关系：α

α

αcos sin tan =. 3、 倒数关系：tan cot 1αα= §1.3、三角函数的诱导公式

（概括为Z k ∈）

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质

1、记住正弦、余弦函数图象：

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. ；

3、会用五点法作图.

sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-1202

2

π

π

ππ（，）（，，）（，，）（，

，）（，，）.

y=tanx

3π2ππ2-3π2-π-π2o y

x y=cotx 3π2ππ22π-π-π2o y

x 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

x y sin = {

x y cos =

x y tan =

图象

定义域 R

…

R

},2

|{Z k k x x ∈+≠

ππ

值域

[-1,1]

[-1,1]

R

最值

max min 2,1

2

2,1

2

x k k Z y x k k Z y π

ππ

π=+

∈==-

∈=-时，时，

.

max min 2,12,1

x k k Z y x k k Z y πππ=∈==+∈=-时，时，

无 周期性

π2=T π2=T

】

π=T

奇偶性 奇

偶

奇

单调性 Z k ∈

在[2,2]2

2

k k ππππ-+上单调递增

,

在3[2,2]2

2

k k ππππ++上单调递减

在[2,2]k k πππ-上单调递增

在[2,2]k k πππ+上单调递减 在(,)22k k ππππ-+上单调递增 对称性 Z k ∈

对称轴方程：2

x k π

π=+

对称中心(,0)k π

[

对称轴方程：x k π=

对称中心(,0)2

k ππ

+

无对称轴 对称中心,0)(

2

k π

§1.4.3、正切函数的图象与性质 ）

1、记住正切函数的图象

2、记住余切函数的图象：

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

?

§1.5、函数()ϕω+=x A y sin 的图象 1、对于函数：

()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有：振幅A ，周期2T π

ω

=，初相ϕ，相位ϕω+x ，频率π

ω

21

=

=

T

f .

2、能够讲出函数x y sin =的图象与

()sin y A x B ωϕ=++的图象之间的平移伸缩变换关系.

3、三角函数的周期，对称轴和对称中心

函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||

T πω=

；函数tan()y x ωϕ=+，,2

x k k Z π

π≠+

∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||

T πω=

. 对于sin()y A x ωϕ=+和cos()y A x ωϕ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系. 求函数sin()y A x ωϕ=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2

x k k Z π

ωϕπ+=+

∈与

()x k k Z ωϕπ+=∈

-

解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.

4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征：max min 2A =

，max min

2

y y B +=.