第16讲-磁场对载流导线的作用

B2
0 I2 2 a
df1 B2 I1dl1
Idl2
df2
B1
df2 B1 I2dl2
导线1、2单位长度所受磁力：
I 1
I
2
df1 0 I1I2 dl1 2 a
df2 0 I1 I2 dl2 2 a
——电流单位“安培”的定义
4. 电流单位“安培”的定义
df2 0 I1I2 dl2 2 a
方向向右
I1
2
I2
1
b3
2
f2
2a a
I
2dlB1
sin
2
4
f4
2a a
0 I1 2 x
I2dx
aB
a
o
4
x
f2
f4
0 I1 I 2
2
ln 2
f2、f4方向相反。
整个线圈所受的合力：
F f1 f2 f3 f4 f1 f3
f1 f3
F
I2b
0 I1 a
(
1 2
1) 4
I2b
0 I1 4 a
cosθ sinθ
由对称性 dfx 0
F dfy IdlBsinθ (dl Rd )
0 IRB sin d
2RIB 方向沿y 轴正向
y
df× d×f y
×
×
×
B
××
df x
×
Idl
××
×R×
×
×
×a
× θ×
×
o
×
×
I
×
b
x
由此推知： 载流线圈在均匀磁场中
F合 0
载流线圈在a、b点的张力为 f RIB
• 如果为N匝平面线圈： Pm=NIS
I
Pm
nˆ
2 载流线圈在磁场中受到的力矩
Mo
电磁系列电表指针的转动，是由 于在永久磁铁的两极之间的空气 隙内放置的可绕固定轴转动的线 圈，通电后在磁场中受到力矩作 用的结果。
• 放在均匀磁场中的线圈受到的力矩为
I
B
Pmnˆ
o'
M Pm B
大小：M PmB sin NISBsin
线圈向左做平动
f1
I2b
0 I1 2 a
f3
I2b
0 I1 4 a
I1
2
I2
1
b3
a
B
a
o
4
x
二 磁场对载流线圈的作用
1 载流线圈的磁矩 • 定义：面积为S，通有电流I的 单匝载流线圈，其磁矩为
Pm ISnˆ S 是线圈(电流)所包围的面积.
nˆ 是线圈的正法线方向
大小: Pm=IS 方向: 线圈正法线方向(与电 流成右手螺旋关系)；
• 这个结论具有普遍意义，也适用于带电粒子沿任 意闭合回路的运动或自旋磁矩在磁场中受的力矩 。
例7：一半径为 R 的薄圆盘,放在磁感应强度为 B 的均匀磁场中,
B 的方向与盘面平行,如图所示,圆盘表面的电荷面密度为σ ,若圆
盘以角速度ω 绕其轴线转动,试求作用在圆盘上的磁力矩。
解：取半径为 r, 宽为dr的圆环。
若电流 I 保持不变
A F x
BIlx
. .. . .
.
I
. .
.. .B I.
....F
.... l
m I
x
当载流导线在磁场中运动时，若电流保持不变， 磁力所做的功等于电流强度与通过回路环绕面积 内磁通量增量的乘积。
2. 载流线圈 在磁场中转动时，磁力矩所做的功
M PmB
M Pm B sin ISB sin
8.5 磁场对载流导线的作用
一 安培定律
1 内容
Idl B
实验证明：电流元在磁场中受到的作
d F
用力（即安培力）等于电流元 Idl 与
磁感应强度 B 的矢量积, 即
dF Idl B
大小：dF=IdlBsinθ 方向：遵守右手螺旋定则。
——安培力，垂直于由 Idl 和 B 构成的平面。
2 一段电流在磁场中受力
圆环带电量：dq 2rdr
转动形成电流
dI dq dq T 2
rdr
dr
R
B
磁矩： dPm r 2dI r3dr 方向沿轴线向上
所受磁力矩：
dM
dPm
B
sin
2
dPmB Br3dr
M
dM
R
Br 3dr
BR 4
方向为
0
4
三 磁力的功
1. 载流导线 在磁场中运动时，磁力所做的功
OR I B F⊙
例题2
求：均匀磁场中半圆形载流导线所受的作用 力（已知：I 、B、R） 。
解： 建立坐标系
任取电流元 Idl
电流元受力大小
df BIdl
方向如图所示
Leabharlann Baidu
Idl B
y
df× d×f y
×
×
×
B
××
df x
×
Idl
××
×R×
×
×
×a
× θ×
×o
×
×
I
×
b
x
投影
df
ddff
x y
df df
0 I1 2a
sin
2
0 I1I 2L 2a
同理 I1 也受到 I2 的引力。
例4：在无限长载流直导线 I1 旁，垂直放置另一长为 L 的载流直导线 I2 , I2 导线左端距 I1 为 a，求导线 I2 所受 到的安培力。
解：建立坐标系,坐标原点选在 I1上，分割电流元， 长 度为 dx , 电流元受安培力大小为：
dF I 2dxB 1 sin
B1
0 I1 2x
,
2
dF
x B1
I1
I 2 dx
o
x
F
dF
aL
a I2B1 sin 2 dx
aL
aL a
I2
0 I1 2
dx x
0 I1I 2 2
ln
a
a
L
方向向上
例题5 无限长两平行载流直导线间的相互作用力。
解：
B2
Idl1
df1
a
B1
0 I1 2 a
计算方法：先分割成无限多电流
B
元，然后将各电流元受到的安培 Idl
力进行矢量积分。
F dF Idl B
b
3 均匀磁场中曲线电流受力
L
B
F
b
dF
b
b
Idl B I ( dl ) B
a
a
a
a
I
∵
b
dl L ， F I L B,
F ILBsin
a
θ= 90˚时，F = BIL
真空中的两条无限长平行直导线，各通有相等 的稳恒电流，当导线相距 1 米，每一导线每米 长度上受力为2×10-7牛顿时，各导线中的电流 强度为1 安培。
例题6 求一载流导线框在无限长直导线磁场中的受
力和运动趋势。
解： 1
3
f1
I2bB1
I2b
0 I1 2 a
方向向左
f3
I 2bB3
I2b
0 I1 4 a
均匀磁场中曲线电流受的安培力，等效于从起点 到终点的直线电流所受的安培力。
例1：在均匀磁场中，放置一半圆形半径为 R 通有 电流为 I 的载流导线，求载流导线所受的安培力。 解：由均匀磁场中曲线电流受力的结论：半圆形电 流受到的安培力相当于沿直径电流受到的安培；
F ILB sin 2RIB
2
例3：在无限长载流直导线 I1 旁，平行放置另一长为 L的载流直导线 I2 ,两根导线相距为 a，求导线 I2所受 到的安培力。
解：I2 各点处的 B 相同，
I2 受到的安培力方向如图所示，
大小：F I 2LB 1 sin
F
B1
0 I1 2a
,
F I2LB1 sin
2
I1
I2 L
a
B1
I2L