高考数学解题方法探讨_数学破题36计(28-36计)

第28计 三角开门 八面玲珑

●计名释义

三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点： 1.公式多，变换多，技巧多；

2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；

3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.

●典例示范

【例1】 设a ,b ∈R ，a 2+2b 2=6，则a+b 的最小值是 （ ） A.-22 B.535- C.-3 D.2

7- 【解答】 a 2+2b 2=63262b a +⇒

=1. 设⎪⎩⎪⎨⎧==θ

θsin 3cos 6y x (θ∈［0，2π］)，则 a+b =6cos θ+3sin θ=3cos(θ-φ)，其中cos φ=

36，sin φ=3

3

，∴a+b ≥-3，选 C . 【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.

【例2】 已知正数x,y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2的最大值是 . 【思考】 对于本题，以下解法并不鲜见； 由条件y 2=3x -

2

3x 2

. ∴x 2+y 2=x 2+2

1

2332-=⎪⎭⎫ ⎝

⎛-

x x x 2+3x =21-(x -3)2+29.

∴当且仅当x =3时，（x 2+y 2）max =

2

9

. 你能发现这种解法有什么毛病吗？ 先检验一下，如x =3,会有什么情况发生，将x =3代入已知条件，得： 3³9+2y 2=18. ∴2y 2=-9.

显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢？是没有分析条件所暗示的变量x,y 的范围，正确的解法是:

∵y 2=3x -23x 2≥0，∴x 2-2x ≤0. 得x ∈［0,2］，而x 2+y 2=21-(x -3)2+29. 令z =2

1-(x-3)2+29

，则当x ≤3时，z 为增函数，已求x ∈［0,2］，故当x =2时，

z max =21(2-3)2+2

9

= 4，即(x 2+y 2)max = 4.

【评注】 本题若用三角代换，可以避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得： (x -1)2+

3

2y 2

=1. 设⎪⎩

⎪⎨⎧=+=θ

θ•y •x sin 23

cos 1， 则

x 2+y 2=(1+cos θ)2+

23sin 2θ=2

-cos 2θ+2cos θ+22-(cos θ-2)2+2. 由于cos θ∈［-1,1］,故当cos θ=1时，(x 2+y 2)max =21-+2

9

=4.

此时，x =2，y =0.

【例3】 设抛物线y 2=4px (p >0)的准线交x 轴于点M ，过M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，求AB 中点的轨迹方程.

【解答】 抛物线y 2=4px 的准线为x = -p ，交x 轴于M (-p ,0), 设过M 的直线参数方程为：⎩⎨

⎧=+-=θ

θ

sin cos t y t p x (t 为参数)代入y 2=4px ：

t 2sin 2θ-4pt cos θ+4p 2=0 (1) 方程(1)有相异二实根的条件是：

,1cot 0

)sin (cos 160

sin 22

22>⇒⎩⎨⎧>-=∆≠θθθθp 1, 设方程(1)之二根为t 1，t 2，则t 1+t 2=

.sin cos 42

θ

θ

o 设AB 之中点为Q (x,y )， ∵t =θ

θ

2

21sin cos 22p t t =+. ∴⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=∙=+-=∙+-=θθθθθθθθcot 2sin sin cos 2cos 2cos sin cos 222

2p p y p p p p x ， 消去θ得：y 2=2p (x+p ), ∵|cot θ|>1，∴|y |>2p ，即所求AB 中点的轨迹方程为：y 2=2p (x+p )(|y |>2p ). 【点评】 直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，由于它能减少变量(由x,y 两个变量减为一个变量t ).所以其运算过程常比一般方程简便. 但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式：⎩⎨

⎧+=+=θ

θ

sin cos 00t y y y x x

其中P (x 0，y 0)为定点，θ是直线的倾斜角:参数t 表示动点M (x,y )与定点P (x 0，y 0)所连有向线段的数量，若M 在P 上方则t >0，反之t <0.

【例4】 两圆O 1与O 2外离，其半径分别为r 1，r 2，直线AB 分别交两圆于A 、C 、D 、B ,且AC =DB ，过A ，B 的切线交于E ，求证：

2

1

r r EB EA = . 【思考】本例是平面几何题吗?不是，谁要试图仅用平几知识证明，肯定难以成功，但若引入三角，则不然.

【解答】 作两圆直径AF ，BG ，连

CF ，DG ，命∠EAB =∠F =∠α,∠EBA =∠G =∠β, 那么AC =2r 1sin α，BD =2r 2sin β,

已知AC=BD ，∴2r 1sin α=2r 2sin β，

α

β

sin sin 21=

r r , △EAB 中，由正弦定理：

,sin sin αβ=EB EA ∴2

1

r r EB EA =. 【例5】某矿石基地A 和冶炼厂B 在铁路MN 的两侧，A 距铁路m 千米，B 距铁路n 千米. 在铁路上要建

造两个火车站C 与D ，并修两条公路AC 与BD . A 地的矿石先用汽车由公路运至火车站C ，然后用火车运至D ，再用汽车运到冶炼厂B （如图所示）A 、B 在铁路MN 上的投影A ′、B ′距离为l 千米.若汽车每小时行u 公里，火车每小时行v 公里（v>u ）,要使运输矿石的时间最短，火车站C 、D 应建在什么地方？

【分析】 求的是C 、D 建的地方， 为了将问题简化，暂不考虑车站D ，

设法求出从A 经过C 到B ′所需最短时间. 【解答】 ∵AC =

,cos A

m

A ′C =mtanA , ∴C

B ′=A ′B ′-A ′

C =l-mtanA

∴从A 经过C 到B ′所需时间为 例5题图

t =A A

u v

v

m v l A v A A u m v l v A m l A u m cos sin cos sin cos 1

tan cos -∙

+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+ 由于v l ，v m ，a v 为常数，问题转化为求y =A A

u v

cos sin - 的最小值. ∵y ′=A

A u v

2cos 1

sin -，令y ′=0,得u v

A =sin 时， sin A <1.

sin A u

v

时，y ′>0.

故函数y ，从而函数t 当sin A =u v 时，取得极小值：.122min u u v v u v u u v y -='

⎪⎭

⎫ ⎝⎛--

=

∵ sin A =

v u ，∴A ′C =mtanA =22u v mu -，即车站C 距A ′为22u

v mu -千米，它与l 的长短无关.

同理，站D 距B ′为

2

2

u

v nu -千米.

【点评】 本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.