2018重庆中考几何专题教师版

25．在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°．

（1）如图1，若AB=AC，∠BAD=30°，AD=6，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；

（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP=CP

【分析】（1）在直角三角形中，利用锐角三角函数求出AB，即可；

（2）先利用互余判断出，∠BDP=∠PEC，得到△BDP和△CEQ，再用三角形的外角得到∠EPC=∠PQC，即可；

【解答】（1）解：∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AD=6，

∴cos∠BAD=，

∴AB===12，

∴AC=AB=12，

∵点P、M分别为BC、AB边的中点，

∴PM=AC=6，

（2）如图2，

在ED上截取EQ=PD，

∵∠ADB=90°，

∴∠BDP+∠ADE=90°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED，

∵把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，∴∠AEC=∠ADB=90°

∵∠AED+∠PEC=90°，

∴∠BDP=∠PEC，

在△BDP和△CEQ中，

，

∴△BDP≌△CEQ，

∴BP=CQ，∠DBP=∠QCE，

∵∠CPE=∠BDP+∠DBP，∠PQC=∠PEC+∠QCE，

∴∠EPC=∠PQC，

∴PC=CQ，

∴BP=CP

25．在△ABC中，AB=AC，点D，点E在边BC上不同的两点，且∠ADE=75°．

（1）如图1，若∠BAC=90°，CD=，求BC的长；

（2）如图2，若∠BAC=90°，∠EAD=45°，求证：DC=BE；

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）作DG⊥AC于G，证明出△ABC是等腰直角三角形，进而求出AG的长，即可求出BC的长；

（2）作DH⊥AE于H，设DC=a，利用a表示出BC、DE和CD的长，根据线段之间的关系得到结论；

【解答】解：（1）如图1所示，作DG⊥AC于G，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠1=∠B=45°，

∵∠ADE=75°，

∴∠2=60°，∠DAG=30°，

∴DG=CG=CD=1，AD=2DG=2，

∴AG==，

∴AC=AG+CG=+1，

∴BC=AG=+；

（2）如图2所示，作DH⊥AE于H，设DC=a，则DG=CG=a，

∴AD=2DG=a，AG=a，

∴AC=AG+CG=a，

∴BC=AC=（+1）a，

∵∠EAD=45°，

∴△ADH是等腰直角三角形，

∴AH=DH=AD=a，

∵∠4=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=60°，

∴DE=2EH，

∴DE=DH÷=a，

∴BE=BC﹣DE﹣CD=a=DC，∴DC=BE ；

25.（1）如图1，若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC 边上，且∠EDF=90°，连接AD、EF，当BC=5，FC=2时，求EF的长度；

（2）如图2，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；M为EF的中点，连接CM，当DF∥AB时，证明：3ED=2MC；

【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，证得△ADE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等，求得AE=CF=2，最后在在Rt△AEF中根据勾股定理求得EF的长；

（2）先设等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，在Rt△MND中求得MN的长，最后根据CM与DE的长度之比求得3ED=2MC；

【解答】解：（1）如图1∵点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点

∴AD⊥BC，AD=BC=CD=，∠DAE=∠C=45°

∴AC=CD=5

又∵∠EDF=90°，FC=2

∴∠ADE=∠CDF，AF=5﹣2=3

在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF（ASA）

∴AE=CF=2

∴在Rt△AEF中，EF==

（2）设等边三角形边长为2，则BD=CD=1

∵等边三角形ABC中，DF∥AB

∴∠FDC=∠B=60°

∵∠EDF=90°

∴∠BDE=30°

∴DE⊥BE

∴BE=，DE=

如图2，连接DM，则Rt△DEF中，DM=EF=FM ∵∠FDC=∠FCD=60°

∴△CDF是等边三角形

∴CD=CF=1

∴CM垂直平分DF

∴∠DCN=30°

∴Rt△CDN中，DN=，CN=，DF=1

∴在Rt△DEF中，EF==

∵M为EF的中点

∴FM=DM=

∴Rt△MND中，MN==

∴CM=+=

∴==

∴3ED=2MC

25.在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF 与点A在BC的同侧，连结BE，点G是BE的中点，连结AG、DG．

（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，已知AC=32，CD=2，求AG的长度；

（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；

【答案】(1)、5；(2)、AG⊥GD，AG=DG；证明过程见解析；

【解析】

试题分析：(1)、延长DG与BC交于H，先证△BG△≌EGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证△ABH≌△ACD，得出∠BAH∠=∠CAD，AH=AD，进而求得∠HAD=90°，即可；(2)、延长DG与BC交于H，先证△BG△≌EGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证△ABH ≌△ACD，得出∠BAH∠=∠CAD，AH=AD，得到△H△AD为等边三角形，即可；(3)、延长DG 与BC交于H，先证△BG△≌EGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证△ABH≌△ACD，得出∠BAH∠=∠CAD，AH=AD，得到△H△AD为等腰三角形，即可．

试题解析：(1)、如图1，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，

∵四边形D CEF是正方形，∴DE=DC，DE∥CF，∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，∵G是BC的中点，

∴BG=EG，在△BGH和△EGD中，∵∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，BG=EG，∴△BGH ≌△EGD（AAS），

∴BH=ED，HG=DG，∴BH=DC，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DCF=90°，