弹塑性波与冲击动力学-第二章
弹性与塑性力学第2,3章习题答案
第二章2.1（曾海斌）物体上某点的应力张量σij 为σij =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1003100031001000000（应力单位） 求出：（a ）面积单位上应力矢量的大小，该面元上的法线矢量为n =（1/2，1/2，1/2）； （b ）应力主轴的方位；（c ）主应力的大小； （d ）八面体应力的大小； （e ）最大剪应力的大小。
解答：(a)利用式（2.26）计算应力矢量的分量nT i ，得n T 1=σ1j n j =σ11n 1+σ12n 2 +σ13n 3 = 0 ;同样 n T 2= j n j =272.47 nT 3=σ3j n j =157.31所以，应力矢量nT 的大小为=nT [(nT 1 )2+(nT 2 )2+(nT 3)2]1/2=314.62(b)(c)特征方程：σ3—I 1σ2 + I 2σ—I 3=0其中I 1 =σij 的对角项之和、I 2 =σij 的对角项余子式之和、I 3 =σij 的行列式。
从一个三次方程的根的特征性可证明： I 1 =σ1+σ2+σ3 I 2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1 I 3=σ1σ2σ3其中得，σ1=400、σ2=σ3=0 是特征方程的根。
将σ1、σ2和σ3分别代入（2.43），并使用恒等式n 12+ n 22 + n 32=1 可决定对应于主应力每个值的单位法线n i 的分量（n 1 、n 2 、n 3）： n i （1）=（0， ±0.866，±0.5） n i （2）=（0， 0.5，±0.866） n i （3）=（±1， 0，0）注意主方向2和3不是唯一的，可以选用与轴1正交的任何两个相互垂直的轴。
(d ）由式（2.96），可算σotc =1/3（0+100+300）=133.3τotc =1/3(90000+40000+10000+6*30000) 1/2=188.56(e) 已经求得σ1=400、σ2=σ3=0，则有（2.91）给出的最大剪应力为τmax =2002.2（曾海斌）对于给定的应力张量σij ，求出主应力以及它们相应的主方向。
最新弹塑性波与冲击动力学-第二章
弹塑性波与冲击动力学-第二章2-1材料坐标和空间坐标的连续介质力学的基本出发点之一，不是从微观角度考虑物体的真实材料结构，而是从宏观角度将物体视为连续粒子系统，也就是说，将物体视为一组连续粒子。
每个粒子在空间中占据一定的空间位置，不同的粒子在不同的时间占据不同的空间位置。
配置:在给定时间内粒子在物体中的位置排列。
如何描述粒子运动？定义坐标系(1)粒子命名(为了区分不同的粒子)，例如，xi(a，b，c) (2)描述了xi被粒子占据的空间位置。
I=1，一维；在连续介质力学中，经常使用两种观点和方法来研究介质的运动:拉格朗日法和欧拉法。
相应地，当研究杆的运动时，应该首先选择坐标系。
一般来说，有两种坐标系:拉格朗日坐标(即物质坐标，用介质粒子流来检验)和欧拉坐标(即空间坐标，用固定的空间位置来检验)。
拉格朗日描述(方法):当介质中的固定粒子观察物质的运动时，研究的是给定粒子上各种物理量随时间的变化，以及这些量从一个粒子到另一个粒子的变化。
这种描述介质运动的方法称为拉格朗日描述法，也称为按需法。
欧拉描述(方法):观察物质在固定空间点的运动。
所研究的是在给定空间点不同时间到达该点的不同粒子的各种物理量随时间的变化，以及这些物理量从一个空间点变化到另一个空间点时的变化。
这种描述介质运动的方法称为欧拉描述法，也称为局部法。
拉格朗日坐标:为了识别运动物体的粒子，一组数字(a，b，c)被用作其标记，不同的粒子由不同的数字(a，b，c)表示。
这组数字(a，b，c)被称为拉格朗日坐标(或物质坐标、卫星坐标)。
拉格朗日记法:t=t0位置，欧拉坐标:为了表示物体粒子在不同时间移动到空间中的一个位置，该位置由一组固定在空间中的坐标表示。
这组坐标称为欧拉坐标(或空间坐标)。
两种方法的例子如下:城市公共交通部门使用两种方法来计算乘客量:①在每辆公共汽车上设置一个记录器来记录在不同时间(站)上下车的乘客数量(采用拉格朗日法，即跟随体法)；(2)在每个车站设置一个记录仪，记录不同时间进出车站的车辆数量(欧拉法，即当地法)。
冲击动力学
冲击动力学冲击动力学分为四章。
第一章包括两章：弹性波和弹塑性波。
第二部分介绍了不同应变率下的动态力学实验技术，总结了高应变率下材料的本构关系。
第三章着重分析了刚塑性梁板的动力响应，第五章介绍了惯性效应和塑性铰，第六章分析了悬臂梁的动力响应，第七章讨论了轴力和剪力对梁动力性能的影响，第八章介绍了模态分析技术、极限定理和刚塑性模型的适用性，第九章介绍了刚塑性板的动力响应分析。
第四章研究材料和结构的能量吸收，其中第10章讨论了材料和结构吸能的一般特征，第11章介绍了典型的吸能结构和材料。
”“碰撞动力学”着重阐述了碰撞动力学的基本概念、基本模型和基本方法。
文中还介绍了动态实验方法以及冲击动力学在冲击防护问题中的应用。
每章附有练习和主要参考文献，供教学和科研参考。
以冲击动力学为教材，可用于40门课程的研究生课程，为固体力学、航空航天、汽车工程、防护工程和国防工程研究生等前沿科学领域的冲击动力学及相关研究方法打下基础。
为他们进行相关的科学研究。
同时，也可供教师、科研人员、工程技术人员和相关专业大四学生自学参考。
作者简介余同希英国剑桥大学哲学博士、科学博士。
曾任北京大学力学系教授、博士生导师；英国曼彻斯特理工大学机械工程系教授。
1995年加入香港科技大学，先后任工学院副院长、机械工程系系主任、协理副校长、霍英东研究院院长等职。
研究主要集中于冲击动力学、塑性力学、结构与材料的能量吸收、复合材料与多胞材料等领域，擅长对工程问题建立力学模型并由此揭示其变形和失效机理。
已发表论文300余篇，担任《国际冲击工程学报》副主编、《国际机械工程学报》副主编，以及十余种学术刊物的编委。
目录绪论第一篇固体中的应力波第1章弹性波1.1 圆杆中的弹性波1.2 弹性波的分类1.3 波的反射和相互作用思考题习题第2章弹塑性波2.1 一维弹塑性波2.2 有限长度杆在高速冲击下的大变形2.2.1 taylor模型2.2.2 用能量法求解taylor杆问题。
弹塑性力学第二章教学内容
z y
z
技
大
学
力
学
教 研
应力张量：一点的应力状态是一个对称的二阶张量，
室 各应力分量即为应力张量的元素。
ij yxx
xy y
xz yz
,
i, j x,y,z
zx zy z
西 南 科 技
大 二维应力状态与平面问题的平衡方程
学
力 学 教 研 室
二维应力状态与平面问题的平衡方程
一、平面问题
物体所受的面力和体力以及应力都与某一个坐标
Ps在坐标轴x, y, z方向的投影Px, Py, Pz称为P点面力的分量，
指向坐标轴正方向的分量为正，反之为负。
力和应力的概念
2. 内力
西物
南 科
体 在外力作用下
技
大
学
变形
（改变 了质点 间距）
在物体内形成
力
学
当内力场足以和外
教
力平衡时，变形不
研
再继续
室
平衡
附加 的内 力场
二、应力的定义
西 南
科 技 大
化简后可得：xx
yx
y
Fbx
dxdy0
学 力
x
x
yx
y
Fbx
0
学 教 研
同理可求出：
y
y
xy
x
Fby
0
室
二维应力状态的平衡方程
x
x
yx y
Fbx
0
y
y
xy x
Fby
0
x
x
yx y
Fbx
0
西 南
y
y
xy x
弹塑性力学习题答案
第二章 习题解答2-1解：已知 0,0,===-==y x xy y xf f q τσσ1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂xy y yxx x y yx τστσ23()()⎩⎨⎧++s xy y s yx x l m m l σστστσ 有：lq t x -=代入（*4理、几何方程得：E x u x ==∂∂ε11E y v y ==∂∂ε0==∂∂+∂∂xy yux v γ ()()⇒=+∴0dyy df dx x dg 类似于教材题2-3，可求出 ()()wx v x g wy u y f +=-=00,001;1v wx qy Ev u wy qx Eu ++--=+---=∴υυ从v u ,表达式可见，位移分量是坐标的单值函数，满足位移单值条件。
综合1）～4），。
q xy y x 为问题的正确解答0,=-==τσσ2-2x =σxy τ注意：y x ，代入均满足。
2）验证相容方程：0)(2=+∇y x σσ 亦满足。
3）验证应力边界条件： i) 主要边界：()0,2=±=h y yx yτσ满足ii) 次要边界：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰-=-=-=222222320)1(0h h lx xy h h l x x h h l x x Pdy ydy dy τσσ （1）、（2）满足，（3）式左=⎰-===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-223332212*41*618218hh P h I P h h I P dy y h I P 右 结论：所列xy y x τσσ,,满足平衡方程、相容方程；在主要边界上严格满足应力边界条件，次要边界近似满足应力边界条件，又为单连体，故在圣维南原理的前提下为问题的正确解。
2-3、证明：1）由,,yVf xV fy x∂∂-=∂∂-=则平衡微分方程为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂τ∂+∂-σ∂=∂τ∂+∂-σ∂⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂τ∂+∂σ∂=∂∂-∂τ∂+∂σ∂0x y V 0yx V 0y V x y 0x V y x yx y xyx yx y xy x （*） 类似于题2-10的推证过程，（*）式的通解为：y x x V yV 2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ∂ϕ∂=-σ∂ϕ∂=-σ;;即： yx V xV y2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ+∂ϕ∂=σ+∂ϕ∂=σ;;2） 对于平面应力问题，相容方程为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x y xυσσ12即：2222 2-4、x, y n l σσ2==2l 应力主向成∴l σn3-3、解： 1由x=0得： 2由 得： Fx Ex Cx Bx Ax y ++++=∴注：公式中已略去ϕ中与应力分量无关的一次项和常数项。
弹塑性力学2
− ω21 0
ω32
− ω31 − ω32 0
′ ω1 ω32 ′ ωi′ = ω2 = ω13 ω ′ ω 3 21
(PQ)= (ds )
2
2
= δ jk dX j dX k
(ds ) − (ds )
* 2
2
= (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k )dX j dX k = 2 E jk dX j dX k
1 (u j ,k + u k , j + ui,j ui,k ) 2
Green应变张量(二阶对称)
x X1, x1
第二章 运动与变形
一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
刚度分析
强度分析
元线段的相对伸长 两元线段的夹角变化
第二章 运动与变形 一、固体的运动与变形描述
一点邻域内的变形
X3 Q*
P: X
dx
P*
u+du
Q dX P
P*: x=X+u dx=dX+du Q*: x+dx =X+u+dX+du
（3）
等倾面
O
ωε
eicosωε
ωε
eicos(ωε-2π/3)
OP和1 轴之间的夹角， 称为应变形式指数或应 变状态的特征角。
第二章 运动与变形 二、应变张量
应变张量的其它特性和图形表示
（4）
应变星圆
第二章 运动与变形 二、应变张量
转动张量与转动矢量
1 ε = (u∇ + ∇u) 2
弹塑性力学第1,2章
2.2 张量的计算
①张量的下标记号法： A点坐标x，y，z : F矢量力 Fx，Fy，Fz:
xi
i 1,2,3
fi
i 1,2,3
二阶张量应力可以表示为： ij ( i , j 1,2,3 ) x xy xz 11 12 13 yx y yz 22 23 21 31 32 33 zx zy z 二阶张量应变可以表示为：
ij ij i1 i1 i2 i2 i3 i3
11 11 21 21 31 31
12 12 22 22 32 32 13 13 23 23 33 33
ai， i
a1 a2 a3 ai x1 x2 x3 xi
张量的内积
A ai i i 张量A与张量B内积：
1 2 m
B bj1 j2 jn
A B
从张量A中和张量B中各取1个下标，约定求和一次成
为一个（m+N-2）阶的张量的运算称之为张量内积。 两个一阶张量的内积
A ai B bi
A B= A B cos A B
A B=ai bi a1b1 a2b2 a3b3
弹塑性力学的分析方法和体系
求解的基本方程： ①力的平衡方程式 ②几何方程或称之为变形协调方程 ③物理方程 弹塑性力学问题最后归结为在给定边界条件下求解这 三大基本方程的问题。 弹性力学与塑性力学的最大区别，本构关系不同。
弹塑性力学的主要内容
1.弹塑性本构关系 本构关系是材料本身固有的一种物理关系，指材 料内任一点的应力和应变之间的关系 弹性本构关系 塑性本构关系 广义虎克定律 增量理论和全量理论
弹塑性波与冲击动力学
（1） 是否考虑介质微元体的惯性效应（ ma ）。
固体动力学与静力学区别：
固体力学的静力学理论所研究的是处于静力平衡状态下 的固体介质，以忽略介质微元体的惯性作用为前提，这只有 当载荷强度随时间不发生显著变化时，才是允许和正确的。 动力学理论是考虑介质微元体的惯性作用，考虑应力波在介 质中的传播。 （2） 材料的本构关系不同。
弹塑性波与冲击动力学
2013.2~5
攻击与防护
飞机/导弹的威胁 Aircraft Missile and Its Threat
2001年美国―911恐怖袭击事件‖
飞机防护 Aircraft Protection: turbine fragments, runway missiles, etc
塑性波支配方程的基础。
其他物体对于所考虑物体的作用称之为载荷。
一个弹塑性体在外部载荷作用下将会改变其原有的形状
和原来的运动状态，同时物体内各部分之间相互作用力
也随之发生，这些变化统称为弹塑性体对外部作用的响
应。 载荷的不同将会引起响应的不同。 载荷可分为静力载荷和动力载荷。
一般固体力学（静力学）——静力载荷
已知： 材料的动力学本构关系、状态方程以及破坏准则
研究（求解、预告）： 固体材料内引起的应力波传播现象和规律，以及材料 相应的响应特征和规律。
（2）材料动力学特性和结构响应的研究
已知： 借助于实验检测分析，获知应力波的传播规律 研究（求解）： 材料的本构关系、动态力学特性，或通过提出合乎实 际的科学模型，建立材料的本构方程和破坏判据。
防护技术的应用基础学科。
1-2 固体的动力学特征和课程主要内容
运动是物体存在的形式，是物质的固有属性。 机械运动是物质运动的最简单形态，是指物体的空间位 置形态，即物体的空间位置或物体的一部分相对于其他 部分来说空间位置随时间变化的过程。 弹塑性波动则是研究弹塑性物体在外界扰动下机械运动 规律的科学，属于经典力学的范畴，它是研究运动速度 远低于光速的宏观物体的运动，所以牛顿定律是建立弹
弹塑性波与冲击动力学-第二章
（2）忽略横向惯性效应。即忽略杆中质点横向运动的惯 性效应，忽略杆中质点横向膨胀或收缩对动能的贡献。 这一假定实际上与第一个假定密不可分。质点的横向运 动必然使得动能横向耗散，减小X方向的动能，从而导致X方 向应力波阵面的弯曲。如果忽略横向惯性效应，则 Y 和 Z 都 等于零，因而处于单向应力状态，且因为无横向能量耗散， 应力波阵面不会弯曲，保持平面状态。
X X ( x, t )
F ( X , t ) f ( x, t )
描述同一物理量Ψ，既可以用物质坐标也可以用空间坐 标来进行描述，二者还可以进行转换。
（1）物质坐标系中描述的物理量 述的物理量
由（2-1-2）、（2-1-3）式，有
空间坐标系中描
f ( x, t ) F ( X , t ) F [ X ( x, t ), t ]
的运动速度
x t X
质点X 空间位置对时间的物质微商，即质点X
dx x v t X dt d
dt t v x
(2-2-3) (2-2-4)
d v dt t x
物理量Ψ为质点速度时，(2-2-4)式变为质点加速度的表达式 ： v dv v v a v (2-2-5) x t X dt t (2-2-4)式中，等式右边第一项通常称为局部变化率，显 然在定常场中该项为零；第二项称为迁移变化率，在均匀场 中该项为零。与此相对应，(2-2-5)式中，等式右边第一项通 常称为局部加速度，第二项称为迁移加速度。
Lagrange描述（方法）：
随着介质中固定的质点来观察物质的运动，所研究的是 在给定的质点上各物理量随时间的变化，以及这些量由一个 质点转到其他质点时的变化，这种描述介质运动的方法称为 Lagrange描述（方法） ，又叫随体法。
弹塑性力学第二章
u y
xy
v u x y
c
§2.4 几何方程 刚体位移
平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
2 9
思考题 下面这两句话正确吗？
1、如果物体的位移确定，则形变完全确定。
五、最大和最小剪应力
1 1 l= , max 1 2 2 2 min
* 发生在与主应力方向成45°的斜面上。
例题
已知 x 300MPa， y 200MPa， xy 100MPa 求：（1）主应力及主平面方位角; (2)l m 1
解
2 面上的正应力和剪应力。
1 x y 361.8 x y 2 Mpa, xy 2 138.2 2 2
2
1 x tan 1 0.618, 1 35.2。 xy
例题
已知 x 300MPa， y 200MPa， xy 100MPa 求：（1）主应力及主平面方位角; (2)l m 1 2 面上的正应力和剪应力。
px l ，p y m
l x m xy l , m y l xy m
§2.3 斜面上的应力 主应力
xy m x m , l l y xy
b
2 x y x y 2 xy 0
§2.3 斜面上的应力 主应力
tan 1 tan 2 1
在任一点P，一定存在两个互相垂直的主应力。 四最大和最小正应力
N l 2 1 m2 2
=l 1 (1 l ) 2
2 2
=l 2 1 2 2
应力波基础
这些系数应满足：
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
(2-45) (2-46)
与物质坐标中的式（2-23）和式（2-24）相对应。
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
式（2-45）给出了Euler波速c(=dx/dt)和Lagrange波速C(=dX/dt) 间的关系
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
式(2-46)与物质坐标中的式(2-24)完全相同，这是因为沿特征线 的相容条件体现了连续条件、动量守恒条件和材料物性方程，与 坐标系选择无关。 物质坐标中的基本方程式(2-12)(2-16)和空间坐标中的基本方程 式(2-42)(2-44)可以互相通过坐标变换得到。 变换公式为：
(2-41)
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
控制体积的质量守恒
即在空间微元dx中质量的增加率等于进入和离开该微元空间的质 量流之差
dx内动量的增加率应等于进入和离开该微元的动量流之差与净 外力之和
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
简化两式得Euler变量表述的杆的连续方程和动力学方程：
(2-42)
p(x) dx
p(x+dx)
x
欧拉空间坐标系描述的微元控制体积 对于细长杆中的一维应力平面纵波问题 考虑x及x+dx间的控制体积 假设：杆的横截面保持为平面 各物理量沿截面均匀分布 化为以x和t为自变量的一维空间问题
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
占有空间长度dx的杆的质量为
上式表示杆微元变形前后的质量守恒
第二章 一维杆中的应力波-塑性波
例:半无限长杆,处于静止的自然状态,在初始t=0时刻杆端受到一撞 击载荷,若杆端质点速度随时间的变化
v0 ( )
已知. 问题归
弹塑性力学-陈明祥版的-课后习题答案++
◆ 所有与坐标系选取无关的量，统称为物理恒量。
◆ 在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明
的物理量，统称为标量。例如温度、质量、功等。
◆ 在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向
的物理量，称为矢量。例如速度、加速度等。
x j xk
（I-25）
4.张量的分解
张量一般是非对称的。若张量 ai的j 分量满足
aij a ji
（I-27）
则 aij称为对称张量。 如果 的分ai量j 满足
aij a ji
（I-28）
则称为反对称张量。显然反对称张量中标号重复的
分量(也即主对角元素)为零，即 a11 a22 。a33 0
弹塑性力学与材料力学同属固体力学的 分支学科，它们在分析问题解决问题的基本 思路上都是一致的，但在研究问题的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：
(1) 受力分析及静力平衡条件 (力的分析)
物体受力作用处于平衡状态，应当满足的条件 是什么？（静力平衡条件）
(2) 变形的几何相容条件 (几何分析)
材料是均匀连续的，在受力变形后仍应是连续 的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠 ”， 此时材料变形应满足的条件是什么？（几何相 容条件）
建立起普 遍适用的理 论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解
法的严密性和普遍适用性为特点；
2、弹塑性的工程解答一般认为是精确的；
3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠
进行度量。
四、 弹塑性力学的基本任务
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
弹塑性力学2
§2.1 体力和面力
物体外力
——分为两类
体力 面力
体力和面力分别为物体单位体积或者单位面 积的载荷。
工学院应用力学与工程系
§2.2
应力与应力张量
内力——外界因素作用下，物体内部各个部 分之间的相互作用力。
附加内力
应力
pn lim
S 0
应力矢量
F S
pn随截面的法线方向n的方向改变而变化
工学院应用力学与工程系
如果 s1=s2=s3
则
l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3 l1l3+m1m3+n1n3 均可为零或者不为零。 任何方向都是应力主方向。
•因此问题可证。 •1.若s1≠s2≠s3，应力主轴必然相互垂直； •2.若s1＝s2≠s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1 和s2可以是垂直的，也可以不垂直； •3. 若s1=s2=s3，任何方向都是应力主轴。
工学院应用力学与工程系
应力矢量沿坐标分解 ——没有工程意义 正应力和切应力 正应力s n与切应力t n
与结构强度关系密切
根据截面方位不能完全确定切应力
应力分量——应力张量
应力张量可以描述一点应力状态
工学院应用力学与工程系
应力张量
s x t xy t xz s 11 s 12 s 13 s ij t yx s y t yz s 21 s 22 s 23 t t zy s z s 31 s 32 s 33 zx
和
l2+m2+n2=1
工学院应用力学与工程系
则可求应力主方向。
应力不变量性质 不变性
弹塑性力学最全课件2
2.全量应力-应变简化模型
二、弹性-线性强化模型 （材料有显著强化率）
s
E
E
加载
d 0
E
s
1 E
1 E
sign
卸载
d 0 d d E
0 s
s E
19
2.全量应力-应变简化模型
三、弹性-幂次强化模型
k n 0
E
1
0
E k n
0 0
0
k 0
E
n
20
2.全量应力-应变简化模型
(1)塑性应变增量的方向与主应力轴的方向一致；
(2)
d
p ij
d
g
ij
, d 为一非负的比例常数，称为塑性因子。
则称 g( ij ) 为塑性势函数。
Drucker塑性共设
34
3.塑性理论基础
二、流动法则
1、Druker塑性公设，必然得出 f g
2、 f g 即屈服函数与塑性势函数相等，称为相关联流动法则； f g 即屈服函数与塑性势函数相等，称为非关联流动法则。
35
3.塑性理论基础
三、硬化法则 1、各向同性强化(各向同性后继屈服准则) 2、随动强化(随动后继屈服准则) 3、混合强化(混合后继屈服准则)
36
3.塑性理论基础
三、硬化法则
1、各向同性强化(各向同性后继屈服准则)
f ij , k f0 ij K k 0
K k 是一个强化函数或增函数，用来确定屈服面的大小。k 是一个强化
T
T
2、随动后继屈服准则：材料进入塑性后，弹性
0T
范围的大小保持不变，而弹性范围的中心移动。
2 0T
C
C
【冲击动力学】第2讲 低速冲击动力学
v vo m1 p
2021/4/3
接触模型、压缩与恢复、速度交换
接触力与接触位移 关系
接触力与时间关系
冲量-时间关系 速度-冲量关系
速度-时间交换
一些高等专题
• 光滑碰撞（smooth collision）和粗糙碰撞（rough collision）； • 能量恢复系数（energetic restitution coefficient）； • 黏弹性体的撞击：
waves by engineering instruments to transmit and receive radio; Died at age 36; The scientific unit of frequency – cycles per second – was named the "hertz"
算球体之间的接触弹簧的基本参数，估算峰值撞击力和特征撞击时间。
本节内容结束
球棒和球体在打击过程中不发生明显的全局变形；
研究“球杆-球体”撞击的几种模型
除了接触区域模型（接触弹簧）之外，同时考虑撞击物体的变形和约束
条件【多体动力学、连续介质力学】
各种撞击分析模型
各种撞击分析模型
• Stereomechanical模型（原型力学）：只考虑碰撞 前后的状态变化，利用动量守恒定律、能量守恒 定律、及补充条件进行分析； • 刚体碰撞模型：研究刚体的动力学特性，用接触 弹簧等元件模拟刚体之间在碰撞时刻的相互作用； • 柔性约束模型：补充附加条件考虑球杆在碰撞过 程的边界运动关系； • 连续介质模型：用连续介质体模拟球杆的运动和 变形现象。
也无法判断总接触时间； • 基于动量守恒方程分析撞击前后质点速度的变化，还需补充方程。
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察） Euler坐标（即空间坐标，固定空间位置来考察）。
Lagrange描述（方法）： 随着介质中固定的质点来观察物质的运动，所研究的是
在给定的质点上各物理量随时间的变化，以及这些量由一个 质点转到其他质点时的变化，这种描述介质运动的方法称为 Lagrange描述（方法） ，又叫随体法。
X
表示法一：介质的运动可表示为质点X在不同的时间t占据不
同的空间位置x ，即x是X 和t 的函数
x x (X,t)
(2-1-1)
如果固定X，上式给出了质点X如何随时间运动；如果固 定t，上式给出了某时刻各质点所占据的空间位置。一般来说， 在给定时刻，一个质点只能占有一个空间位置，而一个空间 位置也只能有一个质点。
空间微商（Euler微商）：在给定空间位置x上，物理量Ψ对 时间t的变化率，即
t
x
f
x,t
t
x
(2-2-1)
物质微商（Lagrange微商或随体微商）：随着给定的质点X 来观察物理量Ψ对时间t 的变化率，即
t
X
d
（1）物质坐标系中描述的物理量 述的物理量
空间坐标系中描
由（2-1-2）、（2-1-3）式，有
f (x,t) F( X ,t) F[X (x,t),t]
（2）空间坐标系中描述的物理量
述的物理量 F(X ,t) f (x,t)
(2-1-4) 物质坐标系中描
由（2-1-1）、（2-1-3）式=有
为Euler坐标（或空间坐标）
两种方法的举例说明：
城市公共交通部门采用两种方法统计客运量： ①在每一辆公交车上安排记录员，记录每辆车在不同时 刻（站点）上下车人数（采用Lagrange法，即随体法）； ②在每一站点设记录员，记录不同时刻经过该站点的车 辆上下车人数，（采用Euler法，即当地法）。
构形：一个物体中各质点在一定时刻的相互位置的配置。
如何描述质点运动？
定义坐标系 （1）质点命名（为了区别不同的质点），如 Xi(a,b,c) （2）描述质点所占据的空间位置xi。i=1，一维；i=3，三维 （3）时间坐标t
在连续介质力学中，往往采用两种观点和方法来研究 介质的运动： Lagrange方法 Euler方法。
F( X ,t) f (x,t) f [x( X ,t),t]
(2-1-5)
x x (X,t)
2-2 时间微商与波速
三种微商： 空间微商（Euler微商） 物质微商（Lagrange微商或随体微商） 随波微商
两种波速： 空间波速（Euler波速） 物质波速（Lagrange波速）
应用Euler方法，可将物理量Ψ表达为空间坐标x和时间t 的函数：Ψ = f (x, t )。自变量x即为Euler坐标（空间坐标）。
显然，对于同一物理量Ψ，有
Ψ = F (X , t ) = f (ｘ, t )
(2-1-3)
X X (x,t)
F(X ,t) f (x,t)
描述同一物理量Ψ，既可以用物质坐标也可以用空间坐 标来进行描述，二者还可以进行转换。
Euler描述（方法）：
在固定的空间点上来观察物质的运动，所研究的是在给定 的空间点上以不同时间到达该点的不同质点的各物理量随时 间的变化，以及这些物理量从一个空间点转换到另一空间点 时的变化，这种描述介质运动的方法称为Euler描述（方法） ，又叫当地法。
Lagrange坐标： 为了识别运动中物体的一个质点，以一组数（a，b，c）
第二章 弹塑性波基本方程
2-1 物质坐标和空间坐标 2-2 时间微商与波速 2-3 物质坐标描述的杆中纵波控制方程 2-4 特征线与特征线上的相容关系 2-5 空间坐标描述的控制方程与特征线 2-6 波阵面上的守恒方程
2-1 物质坐标和空间坐标
连续介质力学的基本出发点之一，是不从微观上考虑物 体的真实物质结构，而只是在宏观上把物体看成是连续不断 的质点所组成的系统，即把物体看成是质点的连续集合。每 个质点在空间上占有一定的空间位置，不同的质点在不同的 时间占有不同的空间位置。
X
x x (X,t)
表示法二：反过来只要运动是连续单值的，（2-1-1）式可反
演为
X X (x,t)
(2-1-2)
即X是ｘ和t 的函数。
（2-1-1）式和（2-1-2）式是描述一维长杆中介质运动的两 种形式，二者是可是互换的。
在一维情况下，应用Lagrange方法，可将物理量Ψ表达 为质点X和时间t 的函数：Ψ = F (X , t )。自变量X即为 Lagrange坐标（物质坐标）。
f
[x( X ,t),t]] t
x
f
[x(X ,t),t] x
t
作为其标记，不同的质点以不同的数来（a，b，c）表示，这 组数（a，b，c）就称为Lagrange坐标（或物质坐标、随体 坐标）。
Lagrange表示法：t=t0 时位置来表示，(a0 , b0 , c0 )
Euler坐标：
为了表示物体质点在不同时刻运动到空间的一个位置，以
一组固定于空间的坐标 a1,a2,a3 表示该位置，这组坐标称
以长杆中一维运动为例：
X
质点命名（质点在参考时刻的空间位置坐标）：X 质点任一时刻t 在空间所占位置： x
质点X 物理含义：质点在参考时刻t0时在参考空间坐标系 中所占据的位置坐标。参考时刻可以取t0=0时刻，或其它适 当的时刻；参考空间坐标系可以与描述运动所用的空间坐标 系一致，也可以不同，选取原则取决于研究问题的方便性。
dt
F
(X t
,
t
)
X
(2-2-2)
t
X
d
dt
F
(X t
,
t
)
X
对于（2-2-2）式应用复合函数求微商的连锁法则，有
d
dt
F
(X t
,
t
)
X
f
[
x( X t
,
t
),tΒιβλιοθήκη ] X