角平分线背景下线段倒数和定值问题(修订版)

例题1、如图，OQ 平分∠AOB ，点P 为OQ 上一点，过点P 作一直线分别交OA 、OB 于点M 、N ，若OP =a ，∠AOB =α，则ON

OM 11+

是否为定值？【解析】

方法一、相似法

过点P 作PE ∥OA

△NPE ∽△NMO ，∴OM PE ON NE =，即OM PE ON OE -ON =，即1=+OM

PE ON OE 易证△OPE 为等腰三角形，∴OE =PE ∴OE ON OM 111=+/PE 1，2

2αcos OP OE =∴

OP 2a cos ON OM 211=+.方法二、面积法

过点P 分别向OA 、OB 作垂线，垂足分别为E 、

F

ONP OMP MON S S S △△△+=，即ONsinαOM αsin OP ON αsin OP OM ⋅=⋅⋅+⋅⋅2

121212121化简得αsin OP sinαON OM OM ON 21⋅=⋅+，由于sinα=2sin α21αcos 21⋅.化简完即为OP 2

a cos ON OM 211=

+by 万开同老师

【思考】

①条件有哪些隐晦的表达方式？

例如：角平分线可以如何隐藏？如何设置好背景，避开结果中三角函数值的出现？②结论可以作哪些延伸问法？例如：ON OM 11+化简后为ON

OM ON OM ⋅+，既然为定值，若再添加“OM +ON 为定值”，则可提问△OMN 的面积问题.

例如：由于结果涉及到α2

1的三角函数值，所以一般条件会设置好角度，比如120°、90°、60°，那么结果将只与线段OP 相关.所以若∠AOB 不变，当OP 发生变化时，必然有ON

OM 11+的最值问题.【习题】

1、（2105·河池）如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则AN

AM 11+是否为定值？

2、（2015·无锡）如图，C 为∠AOB 的边OA 上一点，OC ＝6，N 为边OB 上异于点O 的一动点，P 是线段CN 上一点，过点P 分别作PQ ∥OA 交OB 于点Q ，PM ∥OB 交OA 于点M ．当点N 在边OB 上运动时，四边形OMPQ 始终保持为菱形．问：1OM －1ON

的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．

3、在直角坐标系xOy 中，已知反比例函数y =

x k （x ＞0）图象经过点（4，3），点D 为反比例函数y =x

k （x ＞0）上的任意一点，以D 为圆心的圆始终与y 轴相切于点A ．如图，当⊙D 与x 轴相切于点E 时，过点D 作直线l ，分别交x 轴的正半轴于点M ，交y 轴的正半轴于点N ，则ON

OM 11+是否为定值？若是，请证明：若不是，请说明理由．

4、（2018·锡山区期末）如图，已知二次函数c bx x -y ++=23

1的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C （0，3），且抛物线的对称轴为直线x ＝3．

（1）直接写出b 的值及点A 的坐标；

（2）∠BAC 的平分线交y 轴于点D ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．当直线l 绕点D 旋转时，AN AM 11+是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由．

5、（2015·慈溪市一模）在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上，且OA ＞OB ，以AB 为直径的⊙P 过点C ，若C 的坐标为（0，2），AB =5，经过A 、B 、C 三点的抛物线为c bx ax y ++=2．

（1）求点A 、B 的坐标及抛物线的解析式．

（2）若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，交圆于点E ．

①求证：PE ⊥x 轴；

②试求直线l 对应的一次函数的解析式．

（3）过点D 任作一直线l 分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ，则

CN CM 11+的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．