重复博弈囚徒困境

如果下列条件满足，企业 i 会选择合作均衡：
2 2 2 2 (a c) 2 (a c) 2 ( a c ) 9( a c ) ( a c ) ( a c ) 2 ... 2 ... 8 8 8 64 9 9
例如“信用困境”的所有纯战略收益的凸组合如图7 的阴影部分 企业2 收益 其纳什威胁点是e=(1,1)。无名氏 (5,0) (4,4) 定理告诉我们，如果 足够接近于1， 可行收益集合 由过点（1,1）的两条垂直线围成的可 企业1 (1,1) 行集合上的任意点都可以是一个子博 收益 o 弈精练纳什均衡的结果。 (0,5) 3、平均支付：假设贴现因子为 ，无穷收益系列为： 1 , 2 ,...，其贴现值之和为： x t 1 ；
2.5—2 无限重复博弈
1、合作解要在有限重复博弈申出现要求阶段 博弈 G 必须存在多重纳什均衡，但在无限重复 博弈中这一条件并不是必需的：即使阶段博弈 G只存在惟一纳什均衡，无限重复博弈中也可 以存在子博弈完美纳什均衡解，其中没有任何 一个阶段结果是G的纳什均衡。显然这和定理1 相对立，根本的原因就在于博弈可以进行无限 期。如果博弈是无限的，那么长远利益就要好 于短期利益。 2 、解开连锁店难题的办法之一是引入信息 的不完全性，或者博弈重复无限次，或者重复 未知的次数。

4、结论：当贴现因子 接近1(>1/4)，以牙还牙策 略组合是重复无限信用博弈的纳什均衡。
（四）无名氏定理
当贴现因子充分接近1，无限重复信用博弈存在合作解， 那么是否所有的无服重复博弈G( )都存在合作解 ?这就 引出了无名氏定理。
G(, ) 为以G为阶 无名氏定理：令G为一个n人阶段博弈， * a 段博弈的无限次重复博弈， 是G的一个纳什均衡（纯战 * 略或混合战略）， e (e1 , e2 ,..., en ) 是 a 决定的支付向
参与者j在某阶段选择欺骗将会使当期得到5的 收益，但却会触发参与者i的永远不合作策略，于 是未来每一阶段的收益都将成为1。 2 5 1 1 ... 5 （1） 收益现值为： 1 如果采取合作，设V为j在无限博弈中的最优反 映的收益现值，则有： a、 V 4 4 ... 4 (4 4 ...) 4 V （2） 4 商人1 故：V
（一）数学分析 假设利率r，则贴现率为：1/（1+r），贴现因子 ，一般 的有1/（1+r）= ； 有了贴现因子，我们就能比较无限博弈中的不 同收益值。 收益值计算法如下： 如果未来的收益系列为： R1 , R2 , R3 ,..., Rn 2 其收益流现值为： R1 R2 R3 ... t 1Rt
二、序贯博弈与重复博弈 1、序贯博弈：参与人在前一个阶段的行动选择决 定随后的子博弈结构，从后一个决策节开始的博 弈不同于从前一个决策节开始的博弈。 2、重复博弈：简单地说，就是同样结构的博弈重 复多次，其中的每次博弈称为“阶段博弈”。阶 段博弈可以是静态博弈，也可以是动态博弈； 3、重复博弈的三项特征： （1）阶段博弈之间没有“物质上”的联系；序贯 博弈涉及到物质上的联系。 （2）所有参与人观测到博弈过去的历史； （3）参与人的总支付是所有阶段博弈支付的贴现 值之和或加权平均值。
图2 信用困境（1）
逆推到第一阶段，将第二阶段的纳什均衡收 益代入，则如图3所示。 商人1 诚信 欺骗 有限重复博弈纳什 5，5 1，6 均衡是（欺骗，欺骗） 商 诚信 人 欺骗 6，1 2，2 2 此题解释了现实中 图3 信用困境（2） 存在的一类现象—— 普遍的欺诈行为；没有解释另一类现象——广泛 的合作。 为了在理论上容纳合作解，博弈论主要从三 个方面来加以发展： 一是引入多重均衡； 二是引入无限重复博弈； 三是引入信息不完全。
量， v (v1 , v2 ,..., vn )是一个任意可行的支付向量，V是 可行支付向量集合。那么，对于任何满足 vi ei 的 v V (i) ，存在一个贴现因子 * 1 使得对于所有的 v (v1 , v2 ,..., vn )是一个特定的子博弈精练纳什均 *， 衡结果。 子博弈精练纳什均衡的多重性是无限次重复博弈的 普遍问题。
t 1
如果每一期的收益都是R，则贴现值为：wenku.baidu.com
2 n R (1 ... ) lim n
R 1
例4：仍考察信用困境博弈 商人1 1、单阶段博弈是： 诚信 欺骗 4，4 （欺骗，欺骗） 0，5 商 诚信 人 5，0 1，1 2、无限重复博弈中子 2 欺骗 图6 信用困境（1） 博弈精练纳什均衡有可能为： 每一阶段都是合作：（诚信，诚信）； 3、此博弈的可能完美均衡： 触发策略，又叫冷酷战略；
例：无限重复库诺特双头垄断下的共谋
c c q q 1、在纳什均衡下，库诺特均衡产量： 1 2 (a c) / 3 c (a c)2 / 9 库诺特均衡利润： 1c 2 2、在垄断情况下：垄断产量： (a c) / 2 M 2 垄断利润： (a c) / 4 3、无穷次重复博弈，考虑冷酷战略： 首先选择生产 qi q M / 2 ，继续选择生产 qi q M / 2 ； i M c q q / 2 q 直到有一个企业选择生产： ，然后生产： i （1）给定企业 j 坚持冷酷战略，证明其为纳什均衡： 企业 i 坚持合作，每期利润为： M / 2 (a c)2 / 8 如果企业 i 选择短期最优产量： qi (a c)3/ 8 当期利润为： id (a c)2 9/ 64 (a c)2 / 8 c 2 2 但随后的利润流量为： i (a c) / 9 (a c) / 8
1
诚信 商 人 2 诚信 欺骗 欺骗
b、
4 5 1 1
4，4 5，0
0，5 1，1


1 4
图6 信用困境（1）
当且仅当下式成立，选择诚信才是最优的。
2、再证明此战略是子博弈精练纳什均衡
无限重复博弈的每一子博弈都等同于原博弈，而触发 策略是无限重复信用博弈的纳什均衡，因而它同样是任 意一个子博弈的纳什均衡，根据完美均衡的定义可知触 发策略是一个子博弈精练纳什均衡。在无限重复信用困 境的触发策略纳什均衡中，当博弈进行到t阶段时，存在 两个可能的历史过程：(1)所有以前阶段的结果都是(诚信， 诚信 ) 的子博弈； (2) 至少有一个前面阶段的结果不是 ( 诚 信，诚信)的子博弈。如果参与者在整个博弈中采取触发 策略，则：(1)参与者在第一类子博弈中的最优策略同样 是触发策略，我们已证明它是整个博弈的一个纳什均衡； (2)参与者在第二类子博弈中的最优策略是永远单纯重复 阶段博弈的均衡(欺骗，跃骗)，它本身就是阶段博弈G的 纳什均衡。这就证明了无限重复信用困境中的冷酷战略 纳什均衡是子博弈精练的。
2.5—1 有限次重复博弈：连锁店悖论
例1：见下图市场进入博弈，假定同样的市场有20 个，其均衡会与单个市场不同吗？ 均衡1：进入者总是选择进入，在位者选择默许； 均衡2：在位者选择斗争，进入者总是选择不进入。
在位者 默许 进入 进 入 者 不进入 斗争
40，50 0，300
-10，0 0，300
1.6 重复博弈
一、有限重复博弈 定义： 对于完全信息博弈 G ( I , S , u) ，其中 S {S1 ,..., Sn } 为所有参 I＝(1,2,…,n)为参与者集合， 与者的策略空间， u {u1 ,..., un } 为所有参与者的 收益函数，如果 G在时间上 (程序上 ) 不断重复， 并且在下一次博弈G开始前，所有以前博弈的历 史都被观察到，那么它构成的动态博弈就称之为 重复博弈，G就为重复博弈中的阶段博弈。如果 G 重复进行 T 次，那么 G(T) 就表示重复进行 T 次 的有限重复博弈。如果 G 重复进行 次，那么 G( )就表示无限重复博弈。
4、参与人在某一阶段的博弈选择依赖于其 他参与人过去的行动历史，所以，参与 人在重复博弈中的战略空间远远大于和 复杂于在每一个阶段博弈中的战略空间。 这一点意味着，重复博弈可能带来一些 “额外的”均衡结果，这些均衡结果在 一次性博弈中是从来不会出现的。 5、影响重复博弈均衡结果的主要因素是博 弈的重复次数。重复次数的重要性来源 于参与人在短期利益和长远利益之间的 权衡。
1
4 2 4 3 ... 4 t 2 ... t 1
1 t 1 1 t 1 4 1 1
2
1 4
2、后悔要比永远欺骗好； 2 （3）式大于（1）式： 5 0 4 1 5 1 当贴现因子为 >1/4时，参与者j选择后悔，以求得 重新合作要优于永远欺骗。 3、证明永远诚信比欺骗之后再后悔要优 ，等于证 明（2）式大于（3）式； 4 4 2 1 50 4 1 1
（五）对无名氏定理的三点说明：
1、惩罚点（纳什威胁点）：在上述定理中，阶段博弈的 纳什均衡 a* 可能是混合战略均衡也可能是纯战略均衡； 由 a* 决定的支付向量 e (e1 , e2 ,..., en ) 是达到任何精练均 衡的结果v的惩罚点。 2、可行支付：v (v1 , v2 ,..., vn ) 称为一个可行支付向量，如 果它是阶段博弈G的纯战略支付的凸组合；所有可行支 付向量构成可行支付集合V。 凸组合：假设 r (r1 ,..., rn ) 为参与者选择纯策略组 合下所有可能收益组合的集合（r为向量），向量 n a (a1 ,..., an ) 中的任意一个元素 ai 0，且 ai 1 1 a r a r ... a r 那么， 11 n n 就称之为凸组合。
图1 市场进入博弈
定理1 、如果阶段博弈 G有惟一的纳什均衡，则对 任意有限的T，重复博弈G(T)有惟一的子博弈完 美纳什均衡，即G的纳什均衡结果在每一个阶段 重复进行。 注意：此定律的一个重要条件是：单阶段博弈存 在“唯一”的纳什均衡。 例2：重复博弈举例 1、参与人：商人1， 商人2； 2、行动空间：都是诚信、欺骗； 商人1 3、博弈次数：两次； 诚信 欺骗 4，4 4、支付函数： 0，5 商 诚信 人 欺骗 见图2所示。 5，0 1，1 2
（三）以牙还牙战略也是此博弈的子博弈精练纳 什均衡，可类似以上进行证明。 1、先后悔比后后悔好； （1）0阶段欺骗，1阶段后悔的收益现值 4 V 5 0 4 2 4 3 ... 4 t (3) 1 （2）0阶段欺骗，t阶段后悔的收益现值 4 2 t (4) V 5 ... 0

t 1
t
另假设有无穷收益系列： , ,... ，其贴现值之和 /(1 )；要求 成为无穷序列 1 , 2 ,...的平均支付， 为： 要求： 因此有： t 1 t (1 ) t 1 t 1 t 1 t 1 即：平均支付是贴现值之和的标准化（标准化因子是 (1 ) ）
（二）证明冷酷战略 战略表述：在第一阶段选择诚信，且如果所有前 面t一1阶段的结果都是(诚信，诚信)，则在第t 阶段，选择诚信，否则选择欺骗，并永久欺骗 下去。 1、先证明此战略是纳什均衡：即如果给定参与 者j的策略为触发策略，那么参与者i的最优反 应也是触发策略，即触发策略是彼此策略的最 优反应。假设 与1足够接近的条件下，我们用 计算来证明；