材料力学第7章弯曲变形

再积分一次得挠曲线方程
式中C,D——积分常数。
等截面直梁的EIz为常量，积分时可提出积分号。 在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是已知的。例如，在固定端，挠度和
转角都等于零(见图7.5(a))；在铰支座处，挠度等于零(见图7.5(b))。再比
如，在弯曲变形的对称点上，转角应等于零。这类条件统称为边界条件。此 外，挠曲线应该是一条连续光滑的曲线，不应有如图7.6(a) 和(b)所示的不
达到某种要求。例如，叠板弹簧(见图7.2)应有较大的变形，才可以更好地
起到缓冲减振作用；弹簧扳手(见图7.3)要有明显的弯曲变形，才可以使测 得的力矩更准确；对于高速工作的内燃机、离心机和压气机的主要构件，需
要调节它们的变形使构件自身的振动频率避开外界周期力的频率，以免引起
强烈的共振。
图7.2
图7.3
此外，在求解弯曲超静定问题和冲击问题时，也需考
虑梁的变形。求解弯曲变形的方法很多，主要有积分 法、叠加法、奇异函数法、共轭梁法、能量法、有限
差分法等，本章主要介绍积分法和叠加法。
7.2挠曲线的微分方程 讨论弯曲变形时，以变形前的梁轴线为x轴，垂直向上的轴为y轴(见图 7.4(a))，xy平面为梁的纵向对称面。在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴 线将成为xy平面内的一条曲线，称为挠曲线。挠曲线上横坐标为x的任意点 的纵坐标，用v表示，它代表坐标为x的横截面的形心沿y方向的位移，称为 挠度。这样，挠曲线的方程式可以写成
图7.7
例7.1悬臂梁受均布载荷作用，如图7.8所示。求梁的转角方程和挠度方程，
并求自由端B的挠度vB和转角θ B。
图7.8
解(1)求支座反力
由静力平衡方程可求得 (2)列弯矩方程
建立如图7.8所示坐标系，则弯矩方程为
(3)建立挠曲线近似微分方程并积分
由式(7.5)得挠曲线近似微分方程
积分两次后得
第7章 弯曲变形
7.1概述 梁在载荷作用下，产生应力的同时也会发生变形。在许多工程问题中，梁不
仅要满足强度条件，同时还必须满足刚度条件，即梁的变形必须控制在工程
规定的许可范围之内，否则会影响正常工作。 例如，图7.1所示的齿轮轴，若弯曲变形过大，将影响齿轮的啮合和轴承的
配合，造成磨损不匀，产生噪声，降低寿命，还会影响加工精度。再比如，
桥式起重机大梁在起吊重物时，若变形过大，将使梁上小车行走困难，出现 爬坡现象，还会引起较严重的振动；管道变形过大，将影响管道内物料的正
常输送，出现积液、沉淀和法兰连接不密等现象；楼板梁变形过大，将使下
面的抹灰层开裂、脱落。因此，若变形超过允许范围，即使仍然是弹性的， 也被认为是一种失效。
图7.1
工程中虽然经常限制梁的变形，但在另一些情况下，又常常利用弯曲变形来
注意式中参数E，Iz非负，而在如图7.4(b)所示的坐标系中v″的符号与弯矩 的符号始终保持一致，所以上式改写为
式(7.5)是挠曲线的近似微分方程。 对于静定梁，弯矩可由截面法求得。因此，求等截面直梁的变形问题可归结 为求解一个二阶常微分方程。该方程可用不同方法求解。
7.3用积分法求弯曲变形 将挠曲线近似微分方程(7.5)积分一次得转角方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率间的关系为公式(7.1)，即
横力弯曲时，梁截面上既有弯矩也有剪力。虽然式(a)只揭示了弯矩对弯曲
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变形的影响，但对于跨度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以
忽略，所以式(a)也可作为横力弯曲变形的基本方程，此时1/ρ 为x的函数， 即
由数学知识可知，平面曲线的曲率可写成
图7.4
弯曲变形中，梁的横截面绕中性轴转过的角度，亦即横截面对其原来位置转 过的角度θ ，称为截面转角。根据平面假设，弯曲变形前垂直于轴线(x轴)
的横截面，变形后仍然垂直于挠曲线。因此，截面转角θ 就是y轴与挠曲线
法线的夹角。它应等于挠曲线的倾角，即等于x轴与挠曲线切线的夹角。所 以有
挠度与转角是度量弯曲变形的两个基本量，二者都是梁截面位置x的函数。 在如图7.4所示的坐标系中，向上的挠度和逆时针的转角为正。
连续和不光滑的情况。即在挠曲线的任意点处，有唯一确定的挠度和转角。
这就是连续性条件。根据边界条件和连续性条件，就可以确定积分常数。
图7.5
图7.6
现以图7.7所示的连续梁ACBD为例说明积分常数的确定。AC，CB，BD 3段弯 矩各不相同，应分3段建立挠曲线近似微分方程并分别积分，运算中共有6个 积分常数。在固定端A处，挠度和转角为零；在可动铰支座B处，挠度为零,即 共有3个边界条件。在AC，CB段，挠曲线应连续，在C点处有相同的挠度；在CB， BD段，挠曲线应光滑、连续，在B点处有相同的挠度及转角。即共有3个连续性条 件。因此，利用边界条件、连续性条件即可确定所有的积分常数。
代入式(b)得
式(7.3)是挠曲线的微分方程，它是非线性的，适用于弯曲变形的任何情况。
为了求解的方便，在小变形的情况下，可将方程式(7.3)线性化。因为在工 程问题中，梁的挠度一般都小于跨度，挠曲线v=f(x)是一条非常平坦的曲线 ，转角θ 也是一个非常小的角度，于是公式(7.2)可以写成
由于挠曲线极其平坦，v′很小，v′2与1相比可以忽略，于是式(7.3)改写为
和
将x=0和x=l分别代入式(g)，得A，B两支座处截面的转角，分别为
故
发生在A支座处。
为求最大挠度，令 置。将其代入式(h)，求得
(4)确定积分常数 因左端为固定端，所以有边界条件
代入式(c)和式(d)，得C=0，D=0
(5)挠曲线方程及转角方程 将C，D代入式(c)和式(d)，得
(6)求指定截面挠度和转角
自由端处，x=l，代入以上两式即得自由端B处的转角与挠度，分别为
例7.2简支梁在左端支座处承受集中力偶作用，如图7.9所示。求梁的转角方
程和挠度方程，并确定 和
图7.9
解(1)计算简支梁的支反力，写出弯矩方程为
(2)建立挠曲线近似微分方程并积分 利用式(7.5)建立挠曲线近似微分方程，积分两次后得
(3)确定积分常数 铰支座处的挠度等于零，即
代入式(e)和式(f)，得
(4)挠曲线方程及转角方程 将C，D代入式(e)和式(f)，得
(5)求